【成才之路】2014-2015高中数学人教A版第选修1-1综合素质检测1(7295860)

第一章综合素质检测时间120分钟，满分150分。一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．命题“对任意的x∈R，x3－x2＋1≤0”的否定是()A．不存在x∈R，x3－x2＋1≤0B．存在x∈R，x3－x2＋1≥0C．存在x∈R，x3－x2＋10D．对任意x∈R，x3－x2＋10[答案]C[解析]全称命题的否定是特称命题，将“任意”改为“存在”，将“≤”改为“”．2．若命题“p∨q”为真命题，“¬p”为真命题，则()A．p真q真B．p假，q真C．p真q假D．p假q假[答案]B[解析]∵“¬p”为真命题，∴p为假命题，又“p∨q”为真命题，∴q为真命题．3．设a∈R，则“a1”是“1a1”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件[答案]A[解析]a1⇒1a1，1a1⇒/a1，故选A.4．有下列四个命题①“若b＝3，则b2＝9”的逆命题；②“全等三角形的面积相等”的否命题；③“若c≤1，则x2＋2x＋c＝0有实根”；④“若A∪B＝A，则A⊆B”的逆否命题．其中真命题的个数是()A．1B．2C．3D．4[答案]A[解析]“若b＝3，则b2＝9”的逆命题：“若b2＝9，则b＝3”，假；“全等三角形的面积相等”的否命题是：“不全等的三角形，面积不相等”，假；若c≤1，则方程x2＋2x＋c＝0中，Δ＝4－4c＝4(1－c)≥0，故方程有实根；“若A∪B＝A，则A⊆B”为假，故其逆否命题为假．5．命题“所有奇数的立方是奇数”的否定是()A．所有奇数的立方不是奇数B．不存在一个奇数，它的立方是偶数C．存在一个奇数，它的立方是偶数D．不存在一个奇数，它的立方是奇数[答案]C[解析]“所有奇数的立方是奇数”的否定是“存在一个奇数的立方不是奇数”，故选C.6．“若a⊥α，则a垂直于α内任一条直线”是()A．全称命题B．特称命题C．不是命题D．假命题[答案]A[解析]命题中含有全称量词，故为全称命题，且是真命题．7．“B＝60°”是“△ABC三个内角A、B、C成等差数列”的()A．充分而不必要条件B．充要条件C．必要而不充分条件D．既不充分也不必要条件[答案]B[解析]在△ABC中，若B＝60°，则A＋C＝120°，∴2B＝A＋C，则A、B、C成等差数列；若三个内角A、B、C成等差，则2B＝A＋C，又A＋B＋C＝180°，∴3B＝180°，B＝60°.8．“a0”是“方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个负数根”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件[答案]A[解析]当a0时，Δ＝4－4a0，∴方程ax2＋2x＋1＝0有两个不等实根，不妨设两根分别为x1、x2.则x1＋x2＝－2a0，x1x2＝1a0，故方程ax2＋2x＋1＝0有一正根一负根.当a＝0时，方程ax2＋2x＋1＝0有一负根为－12，∴a0⇒方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个负数根，方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个负数根⇒/a0，故选A.9．“a＝－1”是方程“a2x2＋(a＋2)y2＋2ax＋a＝0”表示圆的()A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分也非必要条件[答案]C[解析]当a＝－1时，方程为x2＋y2－2x－1＝0，即(x－1)2＋y2＝2表示圆，若a2x2＋(a＋2)y2＋2ax＋a＝0表示圆，则应满足a2＝a＋2≠02a2－4a30，解得a＝－1，故选C.10．若集合A＝{1，m2}，B＝{2,4}，则“m＝2”是“A∩B＝{4}”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件[答案]A[解析]由“m＝2”可知A＝{1,4}，B＝{2,4}，所以可以推得A∩B＝{4}，反之，如果“A∩B＝{4}”可以推得m2＝4，解得m＝2或－2，不能推得m＝2，所以“m＝2”是“A∩B＝{4}”的充分不必要条件．11．下列命题中的真命题是()A．∃x∈[0，π2]，sinx＋cosx≥2B．∀x∈π2，π，tanxsinxC．∃x∈R，x2＋x＝－1D．∀x∈R，x2＋2x4x－3[答案]D[解析]∵对任意x∈R，有sinx＋cosx＝2sin(x＋π4)≤2，∴A假；∵x∈(π2，π)时，tanx0，sinx0，∴B假；∵x2＋x＋1＝(x＋12)2＋340，∴方程x2＋x＝－1无解，∴C假；∵x2＋2x－(4x－3)＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2≥2，∴对任意x∈R，x2＋2x－(4x－3)0恒成立，故D真．12．下列命题错误的是()A．命题“若m0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题为“若方程x2＋x－m＝0无实根，则m≤0”B．对于命题p：“∃x∈R，使得x2＋x＋10”，则¬p：“∀x∈R，均有x2＋x＋1≥0”C．若p∧q为假命题，则p、q均为假命题D．“x＝1”是“x2－3x＋2＝0”的充分不必要条件[答案]C[解析]若p∧q为假命题，则p、q均为假命题，或p、q一真一假，故选C.二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，将正确答案填在题中横线上)13．命题“∀x∈[－2,3]，－1x3”的否定是________．[答案]∃x∈[－2,3]，x≤－1或x≥3[解析]全称命题的否定是特称命题，将“∀”改为“∃”，将“－1x3”改为“x≤－1或x≥3”．14．命题“∃x∈(－1,1)，2x＋a＝0”是真命题，则a的取值范围为________．[答案](－2,2)[解析]设f(x)＝2x＋a，由题意得函数f(x)在(－1,1)内有零点，∴(a＋2)(a－2)0，∴－2a2.15．给出命题：“若函数y＝f(x)是幂函数，则函数y＝f(x)的图象不过第四象限”．在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是________．[答案]1[解析]因为命题：“若函数y＝f(x)是幂函数，则函数y＝f(x)的图象不过第四象限”是真命题，其逆命题“若函数y＝f(x)的图象不过第四象限，则函数y＝f(x)是幂函数”是假命题，如函数y＝x＋1.再由互为逆否命题真假性相同知，在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是1.16．给出下列四个命题：①∀x∈R，x2＋2x4x－3均成立；②若log2x＋logx2≥2，故x1；③命题“若ab0，且c0，则cacb”的逆否命题是真命题；④“a＝1”是“直线x＋y＝0与直线x－ay＝0互相垂直”的充分不必要条件．其中正确的命题为________(只填正确命题的序号)．[答案]①②③[解析]①中，x2＋2x4x－3⇔x2－2x＋30⇔(x－1)2＋20，故①正确．②中，显然x≠1且x0若0x1，则log2x0，logx20，从而log2x＋logx20，与已知矛盾，故x1，故②正确③中，命题“若ab0，且c0，则cacb”为真命题，故其逆否命题是真命题，∴③正确．④“a＝1”是直线x＋y＝0与直线x－ay＝0互相垂直的充要条件，故④不正确．三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本题满分12分)判断下列命题的真假：(1)∀x∈R,2x0；(2)∀x∈Q，x2－3x－1是有理数；(3)∃x∈N,2x＝x2；(4)∃x、y∈Z，x2＋y2＝10.[解析](1)真命题，对任意的x,2x0恒成立．(2)真命题，对于任意的有理数x，x2－3x－1都是有理数．(3)真命题，x＝2,4时，2x＝x2成立．(4)真命题，x＝1，y＝3时，x2＋y2＝10成立．(1)(2)(3)(4)都是真命题．18．(本题满分12分)写出命题“若x2＋7x－8＝0，则x＝－8或x＝1的逆命题、否命题、逆否命题，并分别判断它们的真假．”[解析]逆命题：若x＝－8或x＝1，则x2＋7x－8＝0.逆命题为真．否命题：若x2＋7x－8≠0，则x≠－8且x≠1.否命题为真．逆否命题：若x≠－8且x≠1，则x2＋7x－8≠0.逆否命题为真．19．(本题满分12分)判断下列命题是全称命题还是特称命题，并判断其真假．(1)对数函数都是单调函数；(2)至少有一个整数，它既能被11整除，又能被9整除；(3)∀x∈{x|x0}，x＋1x≥2；(4)∃x0∈Z，log2x02.[解析](1)本题隐含了全称量词“所有的”，其实命题应为“所有的对数函数都是单调函数”，是全称命题，且为真命题．(2)命题中含有存在量词“至少有一个”，因此是特称命题，真命题．(3)命题中含有全称量词“∀”，是全称命题，真命题．(4)命题中含有存在量词“∃”，是特称命题，真命题．20．(本题满分12分)对于下列命题p，写出¬p的命题形式，并判断¬p命题的真假：(1)p：91∈(A∩B)(其中全集U＝N*，A＝{x|x是质数}，B＝{x|x是正奇数})；(2)p：有一个素数是偶数；(3)p：任意正整数都是质数或合数；(4)p：一个三角形有且仅有一个外接圆．[解析](1)¬p：91∉A或91∉B；假命题．(2)¬p：所有素数都不是偶数；假命题．(3)¬p：存在一个正整数不是质数且不是合数；真命题．(4)¬p：存在一个三角形至少有两个外接圆或没有外接圆；假命题．21．(本题满分12分)设命题p：(4x－3)2≤1；命题q：x2－(2a＋1)x＋a(a＋1)≤0，若¬p是¬q的必要不充分条件，求实数a的取值范围.[解析]由(4x－3)2≤1，得12≤x≤1，令A＝{x|12≤x≤1}．由x2－(2a＋1)x＋a(a＋1)≤0，得a≤x≤a＋1，令B＝{x|a≤x≤a＋1}．由¬p是¬q的必要不充分条件，得p是q的充分不必要条件，即AB，∴a≤12a＋1≥1，∴0≤a≤12.∴实数a的取值范围是[0，12]．22．(本题满分14分)(2014·马鞍山二中期中)设命题p：f(x)＝2x－m在区间(1，＋∞)上是减函数；命题q：x1，x2是方程x2－ax－2＝0的两个实根，且不等式m2＋5m－3≥|x1－x2|对任意的实数a∈[－1,1]恒成立，若(¬p)∧q为真，试求实数m的取值范围．[解析]对命题p：x－m≠0，又x∈(1，＋∞)，故m≤1，对命题q：|x1－x2|＝x1＋x22－4x1x2＝a2＋8对a∈[－1,1]有a2＋8≤3，∴m2＋5m－3≥3⇒m≥1或m≤－6.若(¬p)∧q为真，则p假q真，∴m1，m≥1或m≤－6，∴m1.