【成才之路】2014-2015高中数学人教A版选修2-1综合素质检测2章[来源学优高考网154624

第二章综合素质检测时间120分钟，满分150分。一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1．(2013·四川文，5)抛物线y2＝8x的焦点到直线x－3y＝0的距离是()A．23B．2C.3D．1[答案]D[解析]由y2＝8x可得其焦点坐标(2,0)，根据点到直线的距离公式可得d＝|2－3×0|12＋－32＝1.2．已知椭圆x2a2＋y225＝1(a5)的两个焦点为F1、F2，且|F1F2|＝8，弦AB经过焦点F1，则△ABF2的周长为()A．10B．20C．241D．441[答案]D[解析]由椭圆定义可知，有|AF1|＋|AF2|＝2a，|BF1|＋|BF2|＝2a，∴△ABF2的周长L＝|AB|＋|AF2|＋|BF2|＝|AF1|＋|AF2|＋|BF1|＋|BF2|＝2a＋2a＝4a.由题意可知b2＝25,2c＝8，∴c2＝16a2＝25＋16＝41，∴a＝41，∴L＝441，故选D.3．椭圆x2m2＋y23－m＝1的一个焦点为(0,1)，则m＝()A．1B．－1±172C．－2或1D．－2或1或－1±172[答案]C[解析]∵焦点在y轴上，∴3－mm2.由3－m－m2＝1得m＝1或－2，∴选C.4．设双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的虚轴长为2，焦距为23，则双曲线的渐近线方程为()A．y＝±2xB．y＝±2xC．y＝±22xD．y＝±12x[答案]C[解析]∵2b＝2,2c＝23，∴b＝1，c＝3，∴a2＝c2－b2＝3－1＝2，∴a＝2，故渐近线方程为y＝±22x.5．(2013·天津理，5)已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的两条渐近线与抛物线y2＝2px(p0)的准线分别交于A，B两点，O为坐标原点．若双曲线的离心率为2，△AOB的面积为3，则p＝()A．1B．32C．2D．3[答案]C[解析]∵e＝2，∴b2＝3a2，双曲线的两条渐近线方程为y＝±3x，不妨设A＝(－p2，3p2)，B(－p2，－3p2)，则AB＝3p，又三角形的高为p2，则S△AOB＝12×p2×3p＝3，即p2＝4，又p0，∴p＝2.6．已知ab0，e1，e2分别为圆锥曲线x2a2＋y2b2＝1和x2a2－y2b2＝1的离心率，则lge1＋lge2()A．大于0且小于1B．大于1C．小于0D．等于1[答案]C[解析]∵lge1＋lge2＝lga2－b2a＋lga2＋b2a＝lga4－b4a2lga2a2＝lg1＝0，∴lge1＋lge20.7．(2014·长春市期末调研)经过双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的右焦点，倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线的离心率为()A．2B．3C.2D．5[答案]A[解析]由条件知，双曲线的渐近线与此直线平行，∴ba＝tan60°＝3，∴b＝3a，代入a2＋b2＝c2中得4a2＝c2，∴e2＝4，∵e1，∴e＝2，故选A.8．(2014·天津理，5)已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的一条渐近线平行于直线l：y＝2x＋10，双曲线的一个焦点在直线l上，则双曲线的方程为()A.x25－y220＝1B．x220－y25＝1C.3x225－3y2100＝1D．3x2100－3y225＝1[答案]A[解析]由于一个焦点在直线y＝2x＋10上，则一个焦点为(－5,0)，又由渐近线平行于直线y＝2x＋10.则ba＝2，结合a2＋b2＝c2，c＝5得，a2＝5，b2＝20，∴双曲线标准方程为x25－y220＝1，选A.9．(2013·新课标Ⅱ理，11)设抛物线C：y2＝3px(p0)的焦点为F，点M在C上，|MF|＝5，若以MF为直径的圆过点(0,2)，则C的方程为()A．y2＝4x或y2＝8xB．y2＝2x或y2＝8xC．y2＝4x或y2＝16xD．y2＝2x或y2＝16x[答案]C[解析]由已知F(34p,0)，A(0,2)，M(y203p，y0)，∵AF⊥AM，∴kAF·kAM＝－1，即2－34p×2－y0－y203p＝－1，∴y20－8y0＋16＝0，∴y0＝4，∴M(163p，4)，∵|MF|＝5，∴5＝34p－163p2＋16，∴(34p－163p)2＝9.∴3p4－163p＝3或3p4－163p＝－3，∴9p2－36p－64＝0，①或9p2＋36p－64＝0，由①得∴p＝－43(舍)，p＝163.由②得p＝43(p＝－163舍)，∴C的方程为y2＝4x或y2＝16x.10．(2014·淄博市临淄中学学分认定考试)设椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的左、右焦点分别为F1、F2、P是C上的点，PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30°，则椭圆C的离心率为()A.36B．13C.33D．12[答案]C[解析]由题意，设|PF2|＝x，∵∠PF1F2＝30°，∴|PF1|＝2x，∵PF2⊥F1F2，∴|F1F2|＝3x，∴由椭圆的定义知2a＝3x，又∵2c＝3x，∴离心率为e＝ca＝2c2a＝3x3x＝33，故选C.11．探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一部分，光源位于抛物线的焦点处，已知灯口的直径为60cm，灯深40cm，则抛物线的标准方程可能是()A．y2＝254xB．y2＝454xC．x2＝－452yD．x2＝－454y[答案]C[解析]如果设抛物线的方程为y2＝2px(p0)，则抛物线过点(40,30)，302＝2p×40,2p＝452，所以抛物线的方程应为y2＝452x，所给选项中没有y2＝452x，但方程x2＝－452y中的“2p”的值为452，所以选项C符合题意．12．(2013·新课标Ⅰ理，10)已知椭圆E：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交椭圆于A、B两点．若AB的中点坐标为(1，－1)，则E的方程为()A.x245＋y236＝1B．x236＋y227＝1C.x227＋y218＝1D．x218＋y29＝1[答案]D[解析]设A点坐标的(x1，y1)，B点坐标为(x2，y2)，∴x21a2＋y21b2＝1，x22a2＋y22b2＝1.两式相减得，x21－x22a2＝y22－y21b2，即x1－x2x1＋x2a2＝y2－y1y2＋y1b2，∵x1＋x2＝2，y1＋y2＝－2，∴k＝y2－y1x2－x1＝b2a2，又∵k＝－1－01－3＝12，∴b2a2＝12，又∵c2＝a2－b2＝2b2－b2＝b2，c2＝9，∴b2＝9，a2＝18，即标准方程为x218＋y29＝1，故选D.二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上)13．椭圆x24＋y23＝1的两焦点为F1、F2，点P在椭圆上，使∠F1PF2＝90°的点P有________个．[答案]0[解析]设ab0，c＝a2－b2，以O为圆心，以c为半径画圆；当cb时，圆与椭圆无公共点，此时椭圆上无满足要求的点；当c＝b时，圆与椭圆切于短轴的两个端点，此时满足要求的点有两个，即椭圆短轴两个端点；当cb时，椭圆与圆有四个交点，此时满足条件的点有这四个点，这里a2＝4，b2＝3，∴c＝1，b＝3，因此这样的点P不存在．14．(2014·湖北部分重点中学高二期中)过抛物线x2＝18y的焦点作直线交抛物线于A、B两点，线段AB的中点M的纵坐标为2，则线段AB的长为________．[答案]32[解析]分别过A、B、F、M作准线的垂线，垂足依次为A1、B1、F1、M1，则|MM1|＝12(|AA1|＋|BB1|)＝12(|AF|＋|BF|)＝12|AB|，又|MM1|＝yM＋132＝2＋132＝6532.∴|AB|＝6516.15．(2013·辽宁理，15)已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的左焦点为F，C与过原点的直线相交于A，B两点，连接AF，BF.若|AB|＝10，|AF|＝6，cos∠ABF＝45，则C的离心率e＝________.[答案]57[解析]本题考查椭圆的几何性质，解三角形问题．在△ABF中，由余弦定理得，cos∠ABF＝|AB|2＋|BF|2－|AF|22|AB|·|BF|，∴|BF|2－16|BF|＋64＝0，∴|BF|＝8，设右焦点为F1，因为直线过原点，∴|BF1|＝|AF|＝6，∴2a＝|BF|＋|BF1|＝14，∴a＝7，∵O为Rt△ABF斜边AB的中点，∴|OF|＝12|AB|＝5，∴c＝5，∴e＝57.16．方程x24－t＋y2t－1＝1表示曲线C，给出以下命题：①曲线C不可能为圆；②若1t4，则曲线C为椭圆；③若曲线C为双曲线，则t1或t4；④若曲线C为焦点在x轴上的椭圆，则1t52.其中真命题的序号是________(写出所有正确命题的序号)．[答案]③④[解析]显然当t＝52时，曲线为x2＋y2＝32，方程表示一个圆；而当1t4，且t≠52时，方程表示椭圆；当t1或t4时，方程表示双曲线；而当1t52时，4－tt－10，方程表示焦点在x轴上的椭圆，故③④为真命题．三、解答题(本大题共6个大题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分12分)(2014·云南景洪市一中期末)设F1、F2分别是椭圆E：x2＋y2b2＝1(0b1)的左、右焦点，过F1的直线l与E相交于A、B两点，且|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列．(1)求|AB|.(2)若直线l的斜率为1，求b的值．[解析](1)求椭圆定义知|AF2|＋|AB|＋|BF2|＝4，又2|AB|＝|AF2|＋|BF2|，得|AB|＝43.(2)l的方程式为y＝x＋c，其中c＝1－b2，设A(x1，y1)，B(x1，y1)，则A、B两点坐标满足方程组y＝x＋c，x2＋y2b2＝1，消去y化简得(1＋b2)x2＋2cx＋1－2b2＝0.则x1＋x2＝－2c1＋b2，x1x2＝1－2b21＋b2.因为直线AB的斜率为1，所以|AB|＝2|x2－x1|，即43＝2|x2－x1|.则89＝(x1＋x2)2－4x1x2＝41－b21＋b22－41－2b21＋b2＝8b41＋b2，解得b＝22.18．(本小题满分12分)(2014·银川九中一模)已知直线l：y＝x＋m，m∈R.(1)若以点M(2,0)为圆心的圆与直线l相切于点P，且点P在y轴上，求该圆的方程．(2)若直线l关于x轴对称的直线为l′，问直线l′与抛物线C：x2＝4y是否相切？说明理由．[解析]设所求圆的半径为r，则圆的方程为(x－2)2＋y2＝r2.依题意，所求圆与直线l：x－y＋m＝0相切于点P(0，m)，则4＋m2＝r2，|2－0＋m|2＝r，解得m＝2，r＝22.所以所求圆的方程为(x－2)2＋y2＝8.(2)因为直线l的方程为y＝x＋m，所以直线l′的方程为y＝－x－m.由y＝－x－m，x2＝4y.得x2＋4x＋4m＝0.Δ＝42－4×4m＝16(1－m)．①当m＝1，即Δ＝0时，直线l′与抛物线C相切；②当m≠1，即Δ≠0时，直线l′与抛物线C不相切．综上，当m＝1时，直线l′与抛物线C相切；当m≠1时，直线l′与抛物线C不相切．19．(本小题满分12分)已知双曲线的中心在原点，焦点F1、F2在坐标轴上，一条渐近线方程为y＝x，且过点(4，－10)．(1)求双曲线方程；(2)若点M(3，m)在此双曲线上，求MF1→·MF2→.[解析](1)由题意知双曲线的方程是标准方程．∵双曲线的一条渐近线方程为y＝x，∴设双曲线方程为x2－y2＝λ.把点(4，－10)代入双曲线方程得，λ＝6.∴所求双曲线方程为x2－y2＝6.(2)双曲线的焦点为F1(－23，0)、F2(23，0)．∵M点在双曲线上，∴32－m2＝6，m2＝3.∴MF1→·MF2→＝(－23－3，－m)·(23－3，－m)＝(－3)2－(23)2