【立人教育】一元一次不等式知识点及两套试题

立人教育——己欲立而立人己欲达而达人不等式及其应用知识点◆知识讲解1．不等式及一元一次不等式的概念用不等号表示不等关系的式子，叫做不等式。类似于一元一次方程，含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式叫做一元一次不等式．2．不等式的解和解集不等式的解：与方程类似，我们可以把那些使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解．不等式的解集：对于一个含有未知数的不等式，它的所有的解的集合叫做这个不等式的解集．它可以用最简单的不等式表示，也可以用数轴来表示．求不等式的解集的过程，叫做解不等式。需要掌握用数轴表示不等式的方法3．不等式的性质性质1：不等式两边加上（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向不变，即如ab，那么a±cb±c．性质2：不等式两边乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，即如果ab，c0，那么acbc（或acbc）．性质3：不等式两边乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，即如果ab，c0，那么acbc（或acbc）．不等式的其他性质：①若ab，则ba；②若ab，bc，则ac；③若a≥b，且b≥a，则a=b；④若a≤0，则a=0．4．一元一次不等式的解法步骤：解一元一次不等式的一般步骤：（1）去分母（2）去括号（3）移项（4）合并同类项（5）将x项的系数化为1一元一次不等式的解法与一元一次方程的解法类似，但要特别注意不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数时，不等号要改变方向．5、求不等式组的解集的方法若a＜b，当时，x＞b；（同大取大）当时，x＜a；（同小取小）当时，a＜x＜b；（大小小大取中间）当时无解，（大大小小无解）5．一元一次不等式的应用列一元一次不等式解实际应用问题，可类比列一元一次方程解应用问题的方法和技巧，不同的是，列不等式解应用题，寻求的是不等关系，因此，根据问题情境，抓住应用问题中“不等”关系的关键词语，或从题意中体会、感悟出不等关系十分重要．◆例题解析例1解不等式2110136xx≥54x-5，并把它的解集在数轴上表示出来．【分析】一元一次不等式的解法的一般步骤与一元一次方程相同，不等式中含有分母，应先在不等式两边都乘以各分母的最小公倍数去掉分母，在去分母时不要漏乘没有分母的项，再作其他变形．【解答】去分母，得4（2x-1）-2（10x+1）≥15x-60．去括号，得8x-4-20x-2≥15x-60移项合并同类项，得-27x≥-54系数化为1，得x≤2．在数轴上表示解集如图所示．2o【点评】①分数线兼有括号的作用，分母去掉后应将分子添上括号．同时，用分母去乘不等式各项时，不要漏乘不含分母的项；②不等式两边都乘以（或除以）同一个负数时，不等号的方向必须改变；③在数轴上表示不等式的解集，当解集是xa或x时，不包括数轴上a这一点，则这一点用圆圈表示；当解集是x≤a或x≥a时，包括数轴上a这一点，则这一点用黑圆点表示；④解不等式（组）是中考中易考查的知识点，必须熟练掌握．立人教育——己欲立而立人己欲达而达人例2若实数a1，则实数M=a，N=23a，P=213a的大小关系为（）A．PNMB．MNPC．NPMD．MPN【分析】本题主要考查代数式大小的比较有两种方法：其一，由于选项是确定的，我们可以用特值法，取a1内的任意值即可；其二，用作差法和不等式的传递性可得M，N，P的关系．【解答】方法一：取a=2，则M=2，N=43，P=53，由此知MPN，应选D．方法二：由a1知a-10．又M-P=a-213a=13a0，∴MP；P-N=213a-23a=13a0，∴PN．∴MPN，应选D．例3若不等式-3x+n0的解集是x2，则不等式-3x+n0的解集是_______．【分析】一方面可从已知不等式中求出它的解集，再利用解集的等价性求出n的值，进而得到另一不等式的解集．例4某公司为了扩大经营，决定购进6台机器用于生产某种活塞．现有甲，乙两种机器供选择，其中每台机器的价格和每台机器日生产活塞的数量如下表所示．经过预算，本次购买机器所耗资金不能超过34万元．甲乙价格/（万元/台）75每台日产量/个10060（1）按该公司要求可以有几种购买方案？（2）若该公司购进的6台机器的日生产能力不低于380个，那么为了节约资金应选择哪种购买方案？【解析】（1）可设购买甲种机器x台，然后用x表示出购买甲，乙两种机器的实际费用，根据“本次购买机器所耗资金不能超过24万元”列不等式求解．（2）分别算出（1）中各方案每天的生产量，根据“日生产能力不低于380个”与“节约资金”两个条件选择购买方案．解（1）设购买甲种机器x台，则购买乙种机器（6-x）台，则7x+5（6-x）≤34解得x≤2又x≥0∴0≤x≤2∴整数x=0，1，2∴可得三种购买方案：方案一：购买乙种机器6台；方案二：购买甲种机器1台，乙种机器5台；方案三：购买甲种机器2台，乙种机器4台．（2）列表如下：日生产量/个总购买资金/万元方案一36030方案二40032方案三44034由于方案一的日生产量小于380个，因此不选择方案一；方案三比方案二多耗资2万元，故选择方案二．例5某童装加工企业今年五月份，工人每人平均加工童装150套，最不熟练的工人加工的童装套数为平均套数的60%．为了提高工人的劳动积极性，按照完成外商订货任务，企业计划从六月份起进行工资改革．改革后每位工人的工资分两部分：一部分为每人每月基本工资200元；另一部分为每加工1套童装奖励若干元．（1）为了保证所有工人的每月工资收入不低于市有关部门规定的最低工资标准450元，按五月份工人加工的童装套数计算，工人每加工1套童装企业至少应奖励多少元（精确到分）？（2）根据经营情况，企业决定每加工1套童装奖励5元．工人小张争取六月份工资不少于1200元，问小张在六月份应至少加工多少套童装？【分析】（1）五月份工人加工的最少套数为150×60%，若设平均每套奖励x元，则该工人的新工资为（200+150×60%x），由题意得200+150×60%x≥450；（2）六月份的工资由基本工资200元和奖励工资两部分组成，若设小张六月份加工了y套，则依题意可得200+5y≥1200．【解答】（1）设企业每套奖励x元，由题意得：200+60%×150x≥450．解得：x≥2.78．因此，该企业每套至少应奖励2.78元；（2）设小张在六月份加工y套，由题意得：200+5y≥1200，解得y≥200．立人教育——己欲立而立人己欲达而达人例题讲解1、已知关于x的不等式2x+m-5的解集如图所示，则m的值为（）A,1B,0C,-1D,32、不等式2x+1a有3个正整数解，则a的取值范围是？3、关于x的不等式组010xax的整数解共有3个，则a的取值范围是多少？4、若方程组3,23xykyx的解满足1,1yx且，求整数k的取值范围。5、若不等式组无解，求a的取值范围.6、已知不等式组2665axaxb的解集是1＜x＜b．则a＋b的值？9、某工厂现有甲种原料360千克，乙种原料290千克，计划利用这两种原料生产A、B两种产品共50件，已知生产一件A种产品用甲种原料9千克，乙种原料3千克，可获利700元；生产一件B种产品用甲种原料4千克，乙种原料10千克，可获利1200元。（1）按要求安排A、B两种产品的生产件数，有哪几种方案？请你设计出来；（2）设生产A、B两种产品总利润为y元，其中一种产品生产件数为x件，试写出y与x之间的函数关系式，并利用函数的性质说明那种方案获利最大？最大利润是多少？3、如果不等式组230xxm无解，则m的取值范围是；4、X是哪些非负整数时，的值不小于与1的差5若方程组212xyxym的解x、y的值都不大于1，求m的取值范围。6、不等式组的整数解共有5个，则a的取值范围是7、用若干辆载重为8吨的汽车运一批货物，若每辆汽车只装5吨，则剩下10吨货物，若每辆车装满8吨，则最后一辆汽车不空也不满，请问有多少辆汽车？8、某校准备组织290名学生进行野外考察活动，行李共100件，学校计划租用甲乙两种型号的汽车共8辆，经了解，甲种汽车每辆最多载40人和10件行李；乙种汽车每辆最多载30人和20件行李。（1）设租用甲种汽车x辆，请你帮助学校设计所有可能的方案（2）如果甲乙两种汽车每辆的租车费分别为2000，1800元，请你选择最省钱的一种租车方案。9、为执行中央“节能减排，美化环境，建设美丽新农村”的国策，我市某村计划建造A、B两种型号的沼气池共20个，以解决该村所有农户的燃料问题．两种型号沼气池的占地面积、使用农户数及造价见下表：已知可供建造沼气池的占地面积不超过365m2，该村农户共有492户．(1)满足条件的方案共有几种?写出解答过程．(2)通过计算判断，哪种建造方案最省钱．型号占地面积(单位:m2/个)使用农户数(单位:户/个)造价(单位:万元/个)A15182B20303523x312x1230xax立人教育——己欲立而立人己欲达而达人◆强化训练一、填空题1．若不等式axa的解集是x1，则a的取值范围是______．2．不等式x+312x的负整数解是_______．3．不等式5x-9≤3（x+1）的解集是______．4．不等式4（x+1）≥6x-3的正整数解为______．5．已知3x+4≤6+2（x-2），则│x+1│的最小值等于______．6．若不等式a（x-1）x-2a+1的解集为x-1，则a的取值范围是______．7．满足22x≥213x的x的值中，绝对值不大于10的所有整数之和等于______．8．小明用100元钱去购买笔记本和钢笔共30件，已知每本笔记本2元，每支钢笔5元，那么小明最多能买______支钢笔．9．某商品的进价是500元，标价为750元，商店要求以利润不低于5%的售价打折出售，售货员最低可以打______折出售此商品．10．有10名菜农，每个可种甲种蔬菜3亩或乙种蔬菜2亩，已知甲种蔬菜每亩可收入0.5万元，乙种蔬菜每亩可收入0.8万元，若要总收入不低于15.6万元，则最多只能安排_______人种甲种蔬菜．二、选择题11．不等式-x-5≤0的解集在数轴上表示正确的是（）ABCD12．如图所示，O是原点，实数a，b，c在数轴上对应的点分别为A，B，C，则下列结论错误的是（）A．a-b0B．ab0C．a+b0D．b（a-c）013．如图所示，一次函数y=kx+b的图象经过A，B两点，则不等式kx+b0的解集是（）A．x0B．x2C．x-3D．-3x214．如果不等式213x+113ax的解集是x53，则a的取值范围是（）A．a5B．a=5C．a-5D．a=-515．关于x的不等式2x-a≤-1的解集如图所示，则a的取值是（）A．0B．-3C．-2D．-116．初中九年级一班几名同学，毕业前合影留念，每人交0.70元，一张彩色底片0.68元，扩印一张照片0.50元，每人分一张，将收来的钱尽量用掉的前提下，这张照片上的同学最少有（）A．2个B．3个C．4个D．5个17．四个小朋友玩跷跷板，他们的体重分别为P，Q，R，S，如图所示，则他们的体重大小关系是（）A．PRSQB．QSPRC．SPQRD．SPRQ18．某班学生在颁奖大会上得知该班获得奖励的情况如下表：三好学生优秀学生干部优秀团员市级323校级18612已知该班共有28人获得奖励，其中只获得两项奖励的有13人，那么该班获得奖励最多的一位同学可能获得的奖励为（）A．3项B．4项C．5项D．6项三、解答题19．解下列不等式，并把解集在数轴上表示出来．（1）342163xx；（2）x-3≥354x．20．王女士看中的商品在甲，乙两商场以相同的价格销售，两商场采用的促销方式不同：在甲商场一次性购物超过100元，超过的部分八折优惠；在乙商