【聚焦典型题】(苏教版)2014届高考一轮数学(理)《与圆锥曲线有关的定值最值与范围问题》

与圆锥曲线有关的定值、最值与范围问题分层训练A级基础达标演练(时间：30分钟满分：60分)一、填空题(每小题5分，共30分)1．若α∈0，π2，方程x2sinα＋y2cosα＝1表示焦点在y轴上的椭圆，则α的取值范围是________．解析由x21sinα＋y21cosα＝1表示焦点在y轴上的椭圆，得1cosα1sinα0，即sinαcosα0.又α∈0，π2，所以π4απ2.答案π4，π2[来源:Zxxk.Com]2．已知椭圆C：x22＋y2＝1的两个焦点为F1、F2，点P(x0，y0)满足0x202＋y201，则PF1＋PF2的取值范围是________．解析由题意，得点P在椭圆x22＋y2＝1的内部，所以2c≤PF1＋PF22a，即2≤PF1＋PF222.答案[2,22)．3．(2012·江苏丹阳中学模拟)已知椭圆x24＋y2＝1的焦点为F1，F2，在长轴A1A2上任取一点M，过M作垂直于A1A2的直线交椭圆于点P，则使得PF1→·PF2→0的点M的概率为________．解析设点P的坐标为(m，n)，则PF1→·PF2→＝(－3－m，－n)·(3－m，－n)＝m2－3＋n2＝m2－3＋1－m24＝3m24－20，解得－263m263，∴PF1→·PF2→0的概率为P＝2×2632×2＝63.答案634．已知F1(－c,0)，F2(c,0)是椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)的焦点，P是椭圆上一点，且PF1→·PF2→＝0，则椭圆离心率e的取值范围是________．解析设|PF1→|＝m，|PF2→|＝n，则由PF1→·PF2→＝0，得PF1→⊥PF2→，所以有m2＋n2＝F1F22＝4c2.又由椭圆定义，得m＋n＝2a.于是由不等式m2＋n22≥m＋n22，得2c2≥a2，所以e2＝c2a2≥12.又0e1，所以22≤e1.答案22，15．(2013·南京金陵中学月考)已知椭圆方程为x2a2＋y2b2＝1(ab0)，当a2＋16ba－b取最小值时，椭圆的离心率e＝________.解析a2＋16ba－b≥a2＋16b＋a－b22＝a2＋64a2≥2a2·64a2＝16，当且仅当a2＝8，b2＝14a2＝2时等号成立，此时c2＝a2－b2＝6，所以e＝ca＝32.答案326．(2012·镇江模拟)设F1、F2分别是椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)的左、右焦点，若在直线x＝a2c上存在点P使线段PF1的中垂线过点F2，则椭圆离心率e的取值范围是________．解析设Pa2c，y，F1P的中点Q的坐标为b22c，y2，当y≠0时，有kF1P＝cya2＋c2，kQF2＝cyb2－2c2，由kF1P·kQF2＝－1得y2＝a2＋c2c2－b2c2，y2≥0，但注意到b2－2c2≠0，即2c2－b20，即3c2－a20，即e213，故33e1.当y＝0时，b2－2c2＝0，此时kQF2不存在，此时F2为PF1中点，a2c－c＝2c，得e＝33，综上得33≤e1，故填33，1.答案33，1二、解答题(每小题15分，共30分)7．已知椭圆x24＋y22＝1上的两个动点P，Q，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)且x1＋x2＝2.(1)求证：线段PQ的垂直平分线经过一个定点A；(2)设点A关于原点O的对称点是B，求PB的最小值及相应的P点坐标．(1)证明∵P(x1，y1)，Q(x2，y2)，且x1＋x2＝2.当x1≠x2时，由x21＋2y21＝4x22＋2y22＝4，得y1－y2x1－x2＝－12·x1＋x2y1＋y2.设线段PQ的中点N(1，n)，∴kPQ＝y1－y2x1－x2＝－12n，∴线段PQ的垂直平分线方程为y－n＝2n(x－1)，∴(2x－1)n－y＝0，则直线恒过一个定点A12，0.当x1＝x2时，线段PQ的中垂线也过定点A12，0.综上，线段PQ的垂直平分线恒过定点A12，0.(2)解由于点B与点A关于原点O对称，故点B－12，0.∵－2≤x1≤2，－2≤x2≤2，∴x1＝2－x2∈[0,2]，PB2＝x1＋122＋y21＝12(x1＋1)2＋74≥94，∴当点P的坐标为(0，±2)时，PBmin＝32.8．(2011·四川)如图过点C(0,1)的椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的离心率为32.椭圆与x轴交于两点A(a,0)、B(－a,0)．过点C的直线l与椭圆交于另一点D，并与x轴交于点P.直线AC与直线BD交于点Q.(1)当直线l过椭圆右焦点时，求线段CD的长；(2)当点P异于点B时，求证：OP→·OQ→为定值．(1)解由已知得b＝1，ca＝32，解得a＝2，所以椭圆方程为x24＋y2＝1.椭圆的右焦点为(3，0)，此时直线l的方程为y＝－33x＋1，代入椭圆方程化简得7x2－83x＝0.解得x1＝0，x2＝837，代入直线l的方程得y1＝1，y2＝－17，所以D点坐标为837，－17.故CD＝837－02＋－17－12＝167.(2)证明当直线l与x轴垂直时与题意不符．设直线l的方程为y＝kx＋1(k≠0且k≠12)．代入椭圆方程化简得(4k2＋1)x2＋8kx＝0.[来源:学科网ZXXK]解得x1＝0，x2＝－8k4k2＋1，代入直线l的方程得y1＝1，y2＝1－4k24k2＋1，所以D点坐标为－8k4k2＋1，1－4k24k2＋1.又直线AC的方程为x2＋y＝1，直线BD的方程为y＝1＋2k2－4k(x＋2)，联立解得x＝－4k，y＝2k＋1.因此Q点坐标为(－4k,2k＋1)．又P点坐标为－1k，0.所以OP→·OQ→＝－1k，0·(－4k,2k＋1)＝4.故OP→·OQ→为定值．分层训练B级创新能力提升1．(2012·南京市、盐城市一模)设椭圆恒过点(1,2)，则椭圆的中心到准线的距离的最小值是________．解析因为1a2＋4b2＝1，所以b2＝4a2a2－1(a25)，所以e2c＝a2a2－b2＝a2a2－a2－5＝a2－＋20a2－5＋9≥45＋9＝2＋5，当且仅当a2＝5＋25时等号成立．答案2＋5[来源:Z§xx§k.Com]2．(2013·南京模拟)已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1、F2，离心率为e，若椭圆上存在点P，使得PF1PF2＝e，则该离心率e的取值范围是________．解析因为PF1＝ePF2，PF1＋PF2＝2a，所以PF1＝2ae1＋e，PF2＝2a1＋e，因为e∈(0,1)，所以PF1＜PF2.由椭圆性质知a－c≤PF1≤a＋c，所以a－c≤2ae1＋e≤a＋c，即a－c≤2aca＋c≤a＋c，即a2－c2≤2ac≤(a＋c)2，即e2＋2e－1≥0.又0＜e＜1，所以2－1≤e＜1.答案[2－1,1)3．(2012·苏锡常镇调研)已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，其上的动点M到一个焦点的距离最大为3，点M对F1、F2的张角最大为60°.(1)求椭圆C的方程；[来源:学科网ZXXK](2)设椭圆C在x轴上的两个顶点分别为A，B，点P是椭圆C内的动点，且PA·PB＝PO2，求PA→·PB→的取值范围．解(1)设M(x0，y0)，由椭圆的第二定义，知MF2＝ea2c－x0＝a－ex0.∵－a≤x0≤a，∴当x0＝－a时，(MF2)max＝a＋ea＝a＋c，∴a＋c＝3.①又MF1＝2a－MF2＝a＋ex0，F1F2＝2c，∵(∠F1MF2)max＝60°，∴(cos∠F1MF2)min＝12.而cos∠F1MF2＝MF21＋MF22－F1F222MF1·MF2＝MF1＋MF22－2MF1·MF2－F1F222MF1·MF2＝a2－c2MF1·MF2－1＝a2－c2a2－e2x20－1.故当x0＝0时，(cos∠F1MF2)min＝a2－c2a2－1＝a2－2c2a2，∴a2－2c2a2＝12.即a＝2c.②由①②，得a＝2，c＝1，∴b＝3.故椭圆C的方程为x24＋y23＝1.(2)设P(x，y)，则x24＋y231，x＋2＋y2·x－2＋y2＝x2＋y2.③④由④，得y2＝x2－2.⑤[来源:学*科*网Z*X*X*K]∴x2≥2，⑤代入③，得x24＋x2－231.∴x2207.∴2≤x2207.∴PA→·PB→＝(－2－x，－y)·(2－x，－y)＝x2＋y2－4＝x2＋(x2－2)－4＝2x2－6∈－2，－27.故PA→·PB→的取值范围为－2，－27.4．给出双曲线x2－y22＝1.(1)求以A(2,1)为中点的弦所在的直线方程；(2)若过点A(2,1)的直线l与所给双曲线交于P1，P2两点，求线段P1P2的中点P的轨迹方程；(3)过点B(1,1)能否作直线m，使得m与双曲线交于两点Q1，Q2，且B是Q1Q2的中点？这样的直线m若存在，求出它的方程；若不存在，说明理由．解(1)设弦的两端点为P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则2x21－y21＝2，2x22－y22＝2，两式相减得到2(x1－x2)(x1＋x2)＝(y1－y2)(y1＋y2)，又x1＋x2＝4，y1＋y2＝2，所以直线斜率k＝y1－y2x1－x2＝4.故求得直线方程为4x－y－7＝0.(2)设P(x，y)，P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，按照(1)的解法可得y1－y2x1－x2＝2xy，①由于P1，P2，P，A四点共线，得y1－y2x1－x2＝y－1x－2，②由①②可得2xy＝y－1x－2，整理得2x2－y2－4x＋y＝0，检验当x1＝x2时，x＝2，y＝0也满足方程，故P1P2的中点P的轨迹方程是2x2－y2－4x＋y＝0.(3)假设满足题设条件的直线m存在，按照(1)的解法可得直线m的方程为y＝2x－1.考虑到方程组y＝2x－1，x2－y22＝1无解，因此满足题设条件的直线m是不存在的.