【解析版】广东省珠海市2013年高考数学一模试卷(理科)

2013年广东省珠海市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）（2004•贵州）已知集合M={0，1，2}，N={x|x=2a，a∈M}，则集合M∩N=（）A．{0}B．{0，1}C．{1，2}D．{0，2}考点：交集及其运算．专题：计算题．分析：集合N的元素需要运用集合M的元素进行计算，经过计算得出M的元素，再求交集解答：解：由题意知，N={0，2，4}，故M∩N={0，2}，故选D．点评：此题考查学生交集的概念，属于基础题2．（5分）（2012•安徽模拟）设a是实数，且是实数，则a=（）A．B．1C．D．2考点：复数代数形式的混合运算．分析：复数分母实数化，化简为a+bi（a、b∈R）的形式，虚部等于0，可求得结果．解答：解．设a是实数，=是实数，则a=1，故选B．点评：本题考查复数代数形式的运算，复数的分类，是基础题．3．（5分）（2007•浙江）若函数f（x）=2sin（ωx+φ），x∈R（其中ω＞0，）的最小正周期是π，且，则（）A．B．C．D．考点：三角函数的周期性及其求法．分析：先根据最小正周期求出ω的值，再由求出sinφ的值，再根据φ的范围可确定出答案．解答：解：由．由．∵．故选D点评：本题主要考查三角函数解析式的确定．属基础题．4．（5分）（2011•广东模拟）下面四个说法中，正确的个数为（）（1）如果两个平面有三个公共点，那么这两个平面重合（2）两条直线可以确定一个平面（3）若M∈α，M∈β，α∩β=l，则M∈l（4）空间中，相交于同一点的三直线在同一平面内．A．1B．2C．3D．4考点：平面的基本性质及推论．专题：阅读型．分析：如果两个平面有三个公共点，那么这两个平面重合或者是相交，两条异面直线不能确定一个平面，若M∈α，M∈β，α∩β=l，则M∈l，空间中，相交于同一点的三直线不一定在同一平面内，得到结果．解答：解：如果两个平面有三个公共点，那么这两个平面重合或者是相交，故（1）不正确；两条异面直线不能确定一个平面，故（2）不正确；若M∈α，M∈β，α∩β=l，则M∈l，故（3）正确；空间中，相交于同一点的三直线不一定在同一平面内，故（4）不正确，综上所述只有一个说法是正确的，故选A．点评：本题考查平面的基本性质及推论，考查两个平面相交只有一条交线，考查直线确定平面的条件，本题是一个基础题．5．（5分）（2011•广东模拟）已知，则的值为（）A．﹣2B．﹣1C．1D．2考点：分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的值．专题：计算题．分析：欲求的值，可分别求f（﹣）和f（）的值，前者利用分段函数的第一个式子求解，后者利用第二个式子后转化为第一个式子求解．解答：解：∵f（﹣）=cos（﹣π）=﹣cosπ=﹣．又∵f（）=f（）+1=f（﹣）+2=cos（﹣π）+2=﹣cosπ+2=﹣+2．∴则的值为1．故选C．点评：根据题意，利用函数的解析式，求得分段函数的函数值，本题是利用解析式解决求值的问题，属于基础题．6．（5分）（2007•浙江）设f′（x）是函数f（x）的导函数，将y=f（x）和y=f′（x）的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（）A．B．C．D．考点：利用导数研究函数的单调性；导数的几何意义．专题：压轴题．分析：本题可以考虑排除法，容易看出选项D不正确，因为D的图象，在整个定义域内，不具有单调性，但y=f（x）和y=f′（x）在整个定义域内具有完全相同的走势，不具有这样的函数．解答：解析：检验易知A、B、C均适合，不存在选项D的图象所对应的函数，在整个定义域内，不具有单调性，但y=f（x）和y=f′（x）在整个定义域内具有完全相同的走势，不具有这样的函数，故选D．点评：考查函数的单调性问题．7．（5分）（2013•广西一模）设e1，e2分别为具有公共焦点F1与F2的椭圆和双曲线的离心率，P为两曲线的一个公共点，且满足，则的值为（）A．B．1C．2D．不确定考点：圆锥曲线的共同特征．专题：计算题；压轴题．分析：设椭圆和双曲线的方程为：和．由题设条件可知，，结合，由此可以求出的值．解答：解：设椭圆和双曲线的方程为：和．∵，，∴，，∵满足，∴△PF1F2是直角三角形，∴|PF1|2+|PF2|2=4c2．即m+a=2c2则===2故选C．点评：本题综合考查双曲线和椭圆的性质，解题时注意不要把二者弄混了．8．（5分）（2011•广东模拟）已知f（1，1）=1，f（m，n）∈N*（m、n∈N*），且对任意m、n∈N*都有：①f（m，n+1）=f（m，n）+2；②f（m+1，1）=2f（m，1）．给出以下三个结论：（1）f（1，5）=9；（2）f（5，1）=16；（3）f（5，6）=26．其中正确的个数为（）A．3B．2C．1D．0考点：抽象函数及其应用．专题：综合题．分析：由已知中对任意m、n∈N*都有：①f（m，n+1）=f（m，n）+2；②f（m+1，1）=2f（m，1）．我们易推断出，f（n，1）=2n﹣1，f（n，1）=2n﹣1，f（m，n+1）=2m﹣1+2n，进而判断已知中三个结论，即可得到答案．解答：解：∵f（m，n+1）=f（m，n）+2∴f（1，n）=2n﹣1故（1）f（1，5）=9正确；又∵f（m+1，1）=2f（m，1）∴f（n，1）=2n﹣1∴（2）f（5，1）=16也正确；则f（m，n+1）=2m﹣1+2n∴（3）f（5，6）=26也正确故选A．点评：本题考查的知识点是抽象函数及其应用，其中根据已知条件推断出：f（n，1）=2n﹣1，f（n，1）=2n﹣1，f（m，n+1）=2m﹣1+2n，是解答本题的关键．二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，满分30分．其中13～15题是选做题，考生只能选做二题，三题全答的，只计算前两题得分．9．（5分）（2007•湖南）圆心为（1，1）且与直线x+y=4相切的圆的方程是（x﹣1）2+（y﹣1）2=2．考点：直线与圆的位置关系；圆的标准方程．分析：先求圆的半径，再求圆的标准方程．解答：解：圆心到直线的距离就是圆的半径：r==．所以圆的标准方程：（x﹣1）2+（y﹣1）2=2故答案为：（x﹣1）2+（y﹣1）2=2点评：本题考查圆的标准方程，直线与圆的位置关系，是基础题．10．（5分）（2011•广东模拟）已知向量满足，则的夹角为．考点：平面向量数量积的坐标表示、模、夹角．分析：把两向量差的模是7两边平方，代入所给的两个向量的模得到数量积，根据两向量夹角公式做出夹角的余弦，因为向量夹角的范围限制，求出满足条件的角．解答：解：∵||=7，∴，∴=﹣∴cos==﹣∵θ∈[0，π]∴，故答案为：点评：启发学生在理解数量积的运算特点的基础上，逐步把握数量积的运算律，引导学生注意数量积性质的相关问题的特点，以熟练地应用数量积的性质．数量积的主要应用：①求模长；②求夹角；③判垂直．本题考查求夹角．11．（5分）（2011•广东模拟）若把英语单词“good”的字母顺序写错了，则可能出现的错误共有11种．考点：排列及排列数公式．专题：计算题．分析：首先用倍分法求出单词“good”四个字母中其不同的排列数目，再在其中排除正确的1种情况，即可得答案．解答：解：根据题意，因为“good”四个字母中的两个“O”是相同的，则其不同的排列有×A44=12种，而正确的排列只有1种，则可能出现的错误共有11种；故答案为11．点评：本题考查排列组合的运用，解题时注意“good”四个字母中两个“O”是相同的，应该用倍分法来求其不同的排列数．12．（5分）（2011•广东模拟）如图，一个空间几何体的正视图、侧视图是周长为4一个内角为60°的菱形，俯视图是圆及其圆心，那么这个几何体的表面积为π．考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题．分析：由三视图可得，几何体是由两个底面直径为1，母线长为1的圆锥组合而成，代入圆锥侧面积公式，即可求解．解答：解：∵几何体的正视图、侧视图是周长为4一个内角为60°的菱形∴几何体是由两个底面直径为1，母线长为1的圆锥组合而成，∴S=2××π×1×1=π故答案为：π点评：本题考查的知识点是由三视图求面积，其中根据已知条件判断几何体的形状及底面直径和母线的长是解答的关键．13．（5分）（2011•广东模拟）（坐标系与参数方程选做题）极坐标系下，直线与圆的公共点个数是1．考点：简单曲线的极坐标方程；直线与圆的位置关系．专题：计算题．分析：把极坐标方程化为普通方程，利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，根据此距离正好等于半径，可得直线和圆相切．解答：解：直线，即x+y=，即x+y﹣2=0．圆，即x2+y2=2，表示圆心在原点，半径等于的圆．圆心到直线的距离等于=，故直线和圆相切，故答案为1．点评：本题考查把极坐标方程化为普通方程的方法，点到直线的距离公式的应用，直线和圆的位置关系．14．（5分）（2011•广东模拟）（不等式选讲选做题）x、y＞0，x+y=1，则的最小值为．考点：基本不等式．专题：计算题．分析：先将式子展开，利用完全平方公式将x2+y2用（x+y）2表示，将x+y用1代替；令xy=t；将函数转化为只含t的函数；利用基本不等式求出t的范围；利用函数的单调性求出最小值．解答：解：===∵x+y=1∴令xy=t则0＜∴∵递减当最小为故答案为点评：本题考查换元的数学思想方法：注意新变量的范围、考查利用基本不等式求代数式的范围、考查利用函数单调性求函数的最值．15．（几何证明选讲选做题）如图所示，等腰三角形ABC的底边AC长0为6，其外接圆的半径长为5，则三角形ABC的面积是3．考点：圆內接多边形的性质与判定．专题：计算题．分析：根据等腰三角形ABC的底边AC长为6，其外接圆的半径长为5，由勾股定理可知弦心距，对于三角形已知高和对应的边长，求出面积．解答：解：∵等腰三角形ABC的底边AC长为6，其外接圆的半径长为5∴半径，弦心距和弦长组成一个直角三角形，有勾股定理可知弦心距是=4，∴三角形的高是5﹣4=1，∴三角形的面积是×1×6=3，故答案为：3．点评：本题考查三角形的面积公式，是一个基础题，解题的关键是构造直角三角形，在圆中这个直角三角形是经常用来求解线段的长度的．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（12分）（2011•广东模拟）设集合A={x|x2＜4}，．（1）求集合A∩B；（2）若不等式2x2+ax+b＜0的解集为B，求a，b的值．考点：交集及其运算；一元二次方程的根的分布与系数的关系．专题：综合题．分析：（1）分别求出集合A和集合B中的不等式的解集，然后求出两集合的交集即可；（2）由题意和（1）中的结论可知﹣3和1为方程的两个根，把﹣3和1分别代入方程中得到关于a与b的方程，求出方程的解即可得到a与b的值．解答：解：（1）A={x|x2＜4}={x|﹣2＜x＜2}，B=={x|﹣3＜x＜1}，∴A∩B={x|﹣2＜x＜1}；（2）由题意及（1）有﹣3，1是方程2x2+ax+b=0的两根∴∴．点评：此题属于以不等式的解集为平台，考查了交集的运算，同时要求学生掌握一元二次方程的根的分布与系数的关系，是一道综合题．17．（12分）（2011•广东模拟）已知函数．（1）求f（x）的最值；（2）求f（x）的单调增区间．考点：三角函数的最值；正弦函数的单调性．专题：综合题．分析：（1）利用二倍角公式以及两角和的正弦函数，化简函数为一个角的一个三角函数的形式，利用正弦函数的最值求f（x）的最值；（2）通过正弦函数的单调增区间求f（x）的单调增区间，即可．解答：解：（1）（2分）==（2分）=．（2分）f（x）的最大值为1、最小值为0；（2分）（2）f（x）单调增，故，（2分）即，从而f（x）的单调增区间为．（2分）点评：本题是基础题，考查三角函数的化简求值，函数的单调增区间的求法，考查计算能力，常考题型．18．（14分）（2011•广东模拟）如图，四棱锥P﹣ABCD中，P