【高三总复习】2013高中数学技能特训：3-3 三角函数的图象与性质(人教B版) 含解析

3-3三角函数的图象与性质基础巩固强化1.(文)(2012·安徽文，7)要得到函数y＝cos(2x＋1)的图象，只要将函数y＝cos2x的图象()A．向左平移1个单位B．向右平移1个单位C．向左平移12个单位D．向右平移12个单位[答案]C[解析]本题考查三角函数(余弦型函数)图象的平移问题．∵y＝cos(2x＋1)＝cos2(x＋12)，所以只需将y＝cos2x图象向左平移12个单位即可得到y＝cos(2x＋1)的图象．(理)(2012·浙江理，4)把函数y＝cos2x＋1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，然后向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的图象是()[答案]A[解析]本题考查三角函数的图象的平移与伸缩变化，y＝cos2x＋1――→①y＝cosx＋1――→②y＝cos(x＋1)＋1――→③y＝cos(x＋1)，故选A.(其中①为各点横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变；②为左移1个单位长度；③为下移1个单位长度．)2．(文)函数f(x)＝sin2x的最小正周期和最小值分别为()A．2π，－1B．2π，0C．π，0D．π，1[答案]C[解析]∵f(x)＝sin2x＝1－cos2x2，∴周期T＝2π2＝π，又f(x)＝sin2x≥0，∴最小值为0，故选C.(理)(2011·济南模拟)函数f(x)＝2cos2x－3sin2x(x∈R)的最小正周期和最大值分别为()A．2π，3B．2π，1C．π，3D．π，1[答案]C[解析]由题可知，f(x)＝2cos2x－3sin2x＝cos2x－3sin2x＋1＝2sin(π6－2x)＋1，所以函数f(x)的最小正周期为T＝π，最大值为3，故选C.3．设a＝log12tan70°，b＝log12sin25°，c＝log12cos25°，则它们的大小关系为()A．acbB．bcaC．abcD．bac[答案]A[解析]∵tan70°tan45°＝1cos25°sin25°0，y＝log12x为单调递减函数，∴acb.4．(2012·河北保定模拟)已知向量a＝(cosθ，sinθ)与b＝(cosθ，－sinθ)互相垂直，且θ为锐角，则函数f(x)＝sin(2x－θ)的图象的一条对称轴是直线()A．x＝πB．x＝7π8C．x＝π4D．x＝π2[答案]B[解析]a·b＝cos2θ－sin2θ＝cos2θ＝0，∵θ为锐角，∴θ＝π4，∴f(x)＝sin(2x－π4)．由2x－π4＝kπ＋π2得，x＝kπ2＋3π8，令k＝1得x＝7π8，故选B.5．为了使函数y＝sinωx(ω0)在区间[0,1]上至少出现50次最大值，则ω的最小值是()A．98πB.1972πC.1992πD．100π[答案]B[解析]由题意至少出现50次最大值即至少需用4914个周期，∴4914·T＝1974·2πω≤1，∴ω≥1972π，故选B.6．(文)函数f(x)＝sinωx－π3(ω0)的最小正周期为π，则函数f(x)的单调递增区间为()A.kπ－π6，kπ＋5π6(k∈Z)B.kπ＋5π6，kπ＋11π6(k∈Z)C.kπ－π12，kπ＋5π12(k∈Z)D.kπ＋5π12，kπ＋11π12(k∈Z)[答案]C[解析]由条件知，T＝2πω＝π，∴ω＝2，由2kπ－π2≤2x－π3≤2kπ＋π2，k∈Z得，kπ－π12≤x≤kπ＋5π12，k∈Z，故选C.(理)(2012·河北郑口中学模拟)已知函数f(x)＝Asin(x＋φ)(A0，－π2φ0)在x＝5π6处取得最大值，则f(x)在[－π，0]上的单调增区间是()A．[－π，－5π6]B．[－5π6，－π6]C．[－π3，0]D．[－π6，0][答案]D[解析]∵f(x)＝Asin(x＋φ)在x＝5π6处取得最大值，A0，－π2φ0，∴φ＝－π3，∴f(x)＝Asin(x－π3)，由2kπ－π2≤x－π3≤2kπ＋π2(k∈Z)得2kπ－π6≤x≤2kπ＋5π6，令k＝0得－π6≤x≤0，故选D.7.(2012·北京东城练习)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A、ω、φ是常数，A0，ω0)的部分图象如图所示，则f(0)＝________[答案]62[解析]由题图知A＝2，∵T＝4(7π12－π3)＝π，∴ω＝2πT＝2ππ＝2.又∵图象过点(7π12，－2)，∴－2＝2sin(2×7π12＋φ)，∴φ＝π3＋2kπ(k∈Z)，不妨取φ＝π3，∴f(x)＝2sin(2x＋π3)，∴f(0)＝2sinπ3＝62.8．(2011·济南调研)设函数y＝2sin(2x＋π3)的图象关于点P(x0,0)成中心对称，若x0∈[－π2，0]，则x0＝________.[答案]－π6[解析]∵函数y＝2sin(2x＋π3)的对称中心是函数图象与x轴的交点，∴2sin(2x0＋π3)＝0，∵x0∈[－π2，0]∴x0＝－π6.9．(2012·衡阳六校联考)给出下列命题：①存在实数x，使得sinx＋cosx＝32；②若α、β为第一象限角，且αβ，则tanαtanβ；③函数y＝sin(π3－2x5)的最小正周期为5π；④函数y＝cos(2x3＋7π2)是奇函数；⑤函数y＝sin2x的图象向左平移π4个单位，得到y＝sin(2x＋π4)的图象．其中正确命题的序号是________(把你认为正确的序号都填上)[答案]③④[解析]对于①，因为sinx＋cosx＝2sin(x＋π4)∈[－2，2]，而322，因此不存在实数x，使得sinx＋cosx＝32，故①不正确；对于②，取α＝30°＋360°，β＝30°，则tanα＝tanβ，因此②不正确；对于③，函数y＝sin(π3－2x5)的最小正周期是T＝2π25＝5π，因此③正确；对于④，令f(x)＝cos(2x3＋7π2)，则f(x)＝sin2x3，f(－x)＝－f(x)，因此④正确；对于⑤，函数y＝sin2x的图象向左平移π4个单位，得到y＝sin2(x＋π4)＝sin(2x＋π2)的图象，因此⑤不正确．综上所述，其中正确命题的序号是③④.10．(2012·北京文)已知函数f(x)＝sinx－cosxsin2xsinx.(1)求f(x)的定义域及最小正周期；(2)求f(x)的单调递减区间．[分析](1)定义域由sinx≠0易求．将sin2x＝2sinxcosx代入，再利用二倍角公式化简，最后利用辅助角公式化为一个角的一个三角函数形式后求得周期．(2)利用y＝sinx的单调减区间是[2kπ＋π2，2kπ＋3π2](k∈Z)求f(x)单调减区间．[解析](1)由sinx≠0得x≠kπ(k∈Z)，故f(x)的定义域为{x∈R|x≠kπ，k∈Z}．因为f(x)＝sinx－cosxsin2xsinx＝2cosx(sinx－cosx)＝sin2x－cos2x－1＝2sin(2x－π4)－1，所以f(x)的最小正周期T＝2π2＝π.(2)函数y＝sinx的单调递减区间为[2kπ＋π2，2kπ＋3π2](k∈Z)．由2kπ＋π2≤2x－π4≤2kπ＋3π2，x≠kπ(k∈Z)，得kπ＋3π8≤x≤kπ＋7π8(k∈Z)．所以f(x)的单调递减区间为[kπ＋3π8，kπ＋7π8](k∈Z).能力拓展提升11.(文)(2011·湖北文，6)已知函数f(x)＝3sinx－cosx，x∈R.若f(x)≥1，则x的取值范围为()A．{x|2kπ＋π3≤x≤2kπ＋π，k∈Z}B．{x|kπ＋π3≤x≤kπ＋π，k∈Z}C．{x|2kπ＋π6≤x≤2kπ＋5π6，k∈Z}D．{x|kπ＋π6≤x≤kπ＋5π6，k∈Z}[答案]A[解析]f(x)＝3sinx－cosx＝2sin(x－π6)≥1，即sin(x－π6)≥12，∴2kπ＋π6≤x－π6≤2kπ＋5π6k∈Z，∴2kπ＋π3≤x≤2kπ＋π(k∈Z)．(理)(2011·湖南张家界月考)若函数f(x)＝(1＋3tanx)cosx,0≤xπ2，则f(x)的最大值为()A．1B．2C.3＋1D.3＋2[答案]B[解析]f(x)＝(1＋3tanx)cosx＝cosx＋3sinx＝2sinx＋π6，∵0≤xπ2，∴π6≤x＋π62π3，∴12≤sinx＋π6≤1，∴f(x)的最大值为2.12．(文)(2011·北京大兴区模拟)已知函数f(x)＝3sinπxR图象上相邻的一个最大值点与一个最小值点恰好都在圆x2＋y2＝R2上，则f(x)的最小正周期为()A．1B．2C．3D．4[答案]D[解析]f(x)的周期T＝2ππR＝2R，f(x)的最大值是3，结合图形分析知R3，则2R233，只有2R＝4这一种可能，故选D.[点评]题中最大值点应为(R2，3)，由R24＋3＝R2得R2＝4，∴|R|＝2，∴T＝2π|πR|＝4.(理)(2011·北京西城模拟)函数y＝sin(πx＋φ)(φ0)的部分图象如图所示，设P是图象的最高点，A、B是图象与x轴的交点，则tan∠APB＝()A．10B．8C.87D.47[答案]B[分析]利用正弦函数的周期、最值等性质求解．[解析]如图，过P作PC⊥x轴，垂足为C，设∠APC＝α，∠BPC＝β，∴∠APB＝α＋β，y＝sin(πx＋φ)，T＝2ππ＝2，tanα＝ACPC＝121＝12，tanβ＝BCPC＝321＝32，则tan(α＋β)＝tanα＋tanβ1－tanα·tanβ＝12＋321－12×32＝8，∴选B.13．(文)(2011·湖南长沙一中月考)下列函数中，图象的一部分如图所示的是()A．y＝sin(2x＋π6)B．y＝sin(2x－π6)C．y＝cos(2x＋π3)D．y＝cos(2x－π6)[答案]D[解析]将(－π6，0)代入选项逐一验证，对A项，y＝sin(－π3＋π6)≠0，A错；对B项，y＝sin(－π2)＝－1≠0，B错；对C项y＝cos0＝1≠0，C错；对D项，y＝cos(－π3－π6)＝cosπ2＝0符合，故选D.(理)(2012·湖南衡阳联考二)已知函数y＝f(x)sinx的一部分图象如图所示，则函数f(x)的表达式可以是()A．2sinxB．2cosxC．－2sinxD．－2cosx[答案]D[解析]由图象知，y＝－sin2x＝－2sinxcosx＝f(x)sinx，∴f(x)＝－2cosx.14．已知关于x的方程2sin2x－3sin2x＋m－1＝0在x∈(π2，π)上有两个不同的实数根，则m的取值范围是________．[答案]－2m－1[解析]m＝1－2sin2x＋3sin2x＝cos2x＋3sin2x＝2sin(2x＋π6)，∵x∈(π2，π)时，原方程有两个不同的实数根，∴直线y＝m与曲线y＝2sin(2x＋π6)，x∈(π2，π)有两个不同的交点，∴－2m－1.15．(文)(2012·山东理，17)已知向量m＝(sinx,1)，n＝(3Acosx，A2cos2x)(A0)，函数f(x)＝m·n的最大值为6.(1)求A；(2)将函数y＝f(x)的图象向左平移π12个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图象．求g(x)在[0，5π24]上的值域．[分析](1)根据向量的数量积的坐标运算，利用辅助角公式得到函数解析式，进而确定A的值；(2)利用图象变换得到函数g(x)的解析式，再根据角的范围求出函数的值域．[解析](1)∵f(x)＝m·n＝3Asinxcosx＋A2cos2x＝32Asin2x＋A2cos2x＝Asin(2x＋π6)，又f(x)的最大值为6，∴A＝6(2)函数y＝f(x)的图象向左平移π12个单位得到函数y＝6sin[2(x＋π12)＋π6]，即y＝6sin(2x＋π3)的图象，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变，得到函数g(x)＝6sin(4x＋π3)的图象．当