【高中数学】2013新题分类汇编三角函数各类型试题汇总以及答案详解

-1-2013年三角函数各类型试题以及答案详解课标文数14.C1[2011·江西卷]已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴，若P(4，y)是角θ终边上一点，且sinθ＝－255，则y＝________.－8【解析】r＝x2＋y2＝16＋y2，∵sinθ＝－255，∴sinθ＝yr＝y16＋y2＝－255，解得y＝－8.课标理数5.C1，C6[2011·课标全国卷]已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线y＝2x上，则cos2θ＝()A．－45B．－35C.35D.45B【解析】解法1：在角θ终边上任取一点P(a,2a)(a≠0)，则r2＝||OP2＝a2＋(2a)2＝5a2，∴cos2θ＝a25a2＝15，∴cos2θ＝2cos2θ－1＝25－1＝－35.解法2：tanθ＝2aa＝2，cos2θ＝cos2θ－sin2θcos2θ＋sin2θ＝1－tan2θ1＋tan2θ＝－35.大纲文数14.C2[2011·全国卷]已知α∈π，3π2，tanα＝2，则cosα＝________.－55【解析】∵tanα＝2，∴sinα＝2cosα，代入sin2α＋cos2α＝1得cos2α＝15，又α∈π，3π2，∴cosα＝－55.课标文数15.C3，C5[2011·北京卷]已知函数f(x)＝4cosxsinx＋π6－1.(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在区间－π6，π4上的最大值和最小值．【解答】(1)因为f(x)＝4cosxsinx＋π6－1＝4cosx32sinx＋12cosx－1＝3sin2x＋2cos2x－1＝3sin2x＋cos2x＝2sin2x＋π6.所以f(x)的最小正周期为π.(2)因为－π6≤x≤π4，所以－π6≤2x＋π6≤2π3.于是，当2x＋π6＝π2，即x＝π6时，f(x)取得最大值2；当2x＋π6＝－π6，即x＝－π6时，f(x)取得最小值－1.课标理数3.C2，C6[2011·福建卷]若tanα＝3，则sin2αcos2α的值等于()A．2B．3C．4D．6D【解析】因为sin2αcos2α＝2sinαcosαcos2α＝2sinαcosα＝2tanα＝6，故选D.课标理数11.C4，C5[2011·课标全国卷]设函数f(x)＝sin(ωx＋φ)＋cos(ωx＋φ)ω＞0，|φ|＜π2的最小正周期为π，且f(－x)＝f(x)，则()A．f(x)在0，π2单调递减B．f(x)在π4，3π4单调递减C．f(x)在0，π2单调递增D．f(x)在π4，3π4单调递增A【解析】原式可化简为f(x)＝2sinωx＋φ＋π4，因为f(x)的最小正周期T＝2πω＝π，-2-所以ω＝2.所以f(x)＝2sin2x＋φ＋π4，又因为f(－x)＝f(x)，所以函数f(x)为偶函数，所以f(x)＝2sin2x＋φ＋π4＝±2cos2x，所以φ＋π4＝π2＋kπ，k∈Z，所以φ＝π4＋kπ，k∈Z，又因为||φπ2，所以φ＝π4.所以f(x)＝2sin2x＋π2＝2cos2x，所以f(x)＝2cos2x在区间0，π2上单调递减．课标文理数12.C3[2011·辽宁卷]已知函数f(x)＝Atan(ωx＋φ)ω＞0，|φ|＜π2，y＝f(x)的部分图象如图1－7，则fπ24＝()A．2＋3B.3C.33D．2－3B【解析】由图象知πω＝2×3π8－π8＝π2，ω＝2.又由于2×π8＋φ＝kπ＋π2(k∈Z)，φ＝kπ＋π4(k∈Z)，又|φ|π2，所以φ＝π4.这时f(x)＝Atan2x＋π4.又图象过(0,1)，代入得A＝1，故f(x)＝tan2x＋π4.所以fπ24＝tan2×π24＋π4＝3，故选B.大纲文理数7.C4[2011·全国卷]设函数f(x)＝cosωx(ω0)，将y＝f(x)的图像向右平移π3个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则ω的最小值等于()A.13B．3C．6D．9C【解析】将y＝f(x)的图像向右平移π3个单位长度后得到的图像与原图像重合，则π3＝2πωk，k∈Z，得ω＝6k，k∈Z，又ω＞0，则ω的最小值等于6，故选C.课标理数16.D3，C4[2011·福建卷]已知等比数列{an}的公比q＝3，前3项和S3＝133.(1)求数列{an}的通项公式；(2)若函数f(x)＝Asin(2x＋φ)(A0,0φπ)在x＝π6处取得最大值，且最大值为a3，求函数f(x)的解析式．【解答】(1)由q＝3，S3＝133得a11－331－3＝133，解得a1＝13.所以an＝13×3n－1＝3n－2.(2)由(1)可知an＝3n－2，所以a3＝3.因为函数f(x)的最大值为3，所以A＝3；因为当x＝π6时f(x)取得最大值，所以sin2×π6＋φ＝1.又0φπ，故φ＝π6.所以函数f(x)的解析式为f(x)＝3sin2x＋π6.课标文数6.C4[2011·湖北卷]已知函数f(x)＝3sinx－cosx，x∈R.若f(x)≥1，则x的取值范围为()A.x2kπ＋π3≤x≤2kπ＋π，k∈ZB.xkπ＋π3≤x≤kπ＋π，k∈ZC.x2kπ＋π6≤x≤2kπ＋5π6，k∈ZD.xkπ＋π6≤x≤kπ＋5π6，k∈ZA【解析】因为f(x)＝3sinx－cosx＝2sinx－π6，由f(x)≥1，得2sinx－π6≥1，即sinx－π6≥12，所以π6＋2kπ≤x－π6≤5π6＋2kπ，k∈Z，解得π3＋2kπ≤x≤π＋2kπ，k∈Z.-3-课标17.C8，C4[2011·湖南卷]在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足csinA＝acosC.(1)求角C的大小；(2)求3sinA－cosB＋π4的最大值，并求取得最大值时角A，B的大小．【解答】(1)由正弦定理得sinCsinA＝sinAcosC.因为0Aπ，所以sinA0.从而sinC＝cosC.又cosC≠0，所以tanC＝1，则C＝π4.(2)由(1)知，B＝3π4－A，于是3sinA－cosB＋π4＝3sinA－cos(π－A)＝3sinA＋cosA＝2sinA＋π6.因为0A3π4，所以π6A＋π611π12.从而当A＋π6＝π2，即A＝π3时，2sinA＋π6取最大值2.综上所述，3sinA－cosB＋π4的最大值为2，此时A＝π3，B＝5π12.课标文数11.C4，C5[2011·课标全国卷]设函数f(x)＝sin2x＋π4＋cos2x＋π4，则()A．y＝f(x)在0，π2单调递增，其图像关于直线x＝π4对称B．y＝f(x)在0，π2单调递增，其图像关于直线x＝π2对称C．y＝f(x)在0，π2单调递减，其图像关于直线x＝π4对称D．y＝f(x)在0，π2单调递减，其图像关于直线x＝π2对称D【解析】f(x)＝2sin2x＋π4＋π4＝2sin2x＋π2＝2cos2x，所以y＝f(x)在0，π2内单调递减，又fπ2＝2cosπ＝－2，是最小值．所以函数y＝f(x)的图像关于直线x＝π2对称．课标文理数6.C4[2011·山东卷]若函数f(x)＝sinωx(ω0)在区间0，π3上单调递增，在区间π3，π2上单调递减，则ω＝()A.23B.32C．2D．3B【解析】本题考查三角函数的单调性．因为当0≤ωx≤π2时，函数f(x)为增函数，当π2≤ωx≤π时，函数f(x)为减函数，即当0≤x≤π2ω时，函数f(x)为增函数，当π2ω≤x≤πω时，函数f(x)为减函数，所以π2ω＝π3，所以ω＝32.课标数学9.C4[2011·江苏卷]函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ为常数，A0，ω0)的部分图象如图1－1所示，则f(0)的值是________．图1－162【解析】由图象可得A＝2，周期为4×7π12－π3＝π，所以ω＝2，将7π12，－2代入得2×7π12＋φ＝2kπ＋32π，即φ＝2kπ＋π3，所以f(0)＝2sinφ＝2sinπ3＝62.课标文数7.C4[2011·天津卷]已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)，x∈R，其中ω0，－πφ≤π.-4-若f(x)的最小正周期为6π，且当x＝π2时，f(x)取得最大值，则()A．f(x)在区间[－2π，0]上是增函数B．f(x)在区间[－3π，－π]上是增函数C．f(x)在区间[3π，5π]上是减函数D．f(x)在区间[4π，6π]上是减函数A【解析】∵2πω＝6π，∴ω＝13.又∵13×π2＋φ＝2kπ＋π2，k∈Z且－πφ≤π，∴当k＝0时，φ＝π3，f(x)＝2sin13x＋π3，要使f(x)递增，须有2kπ－π2≤13x＋π3≤2kπ＋π2，k∈Z，解之得6kπ－5π2≤x≤6kπ＋π2，k∈Z，当k＝0时，－52π≤x≤π2，∴f(x)在－52π，π2上递增．大纲理数17.C5，C8[2011·全国卷]△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.已知A－C＝90°，a＋c＝2b，求C.【解答】由a＋c＝2b及正弦定理可得sinA＋sinC＝2sinB.又由于A－C＝90°，B＝180°－(A＋C)，故cosC＋sinC＝2sin(A＋C)＝2sin(90°＋2C)＝2cos2C.故22cosC＋22sinC＝cos2C，cos(45°－C)＝cos2C.因为0°C90°，所以2C＝45°－C，C＝15°.课标理数16.C5，C8[2011·课标全国卷]在△ABC中，B＝60°，AC＝3，则AB＋2BC的最大值为________．课标理数16.C5，C8[2011·课标全国卷]27【解析】因为B＝60°，A＋B＋C＝180°，所以A＋C＝120°，由正弦定理，有ABsinC＝BCsinA＝ACsinB＝3sin60°＝2，所以AB＝2sinC，BC＝2sinA.所以AB＋2BC＝2sinC＋4sinA＝2sin(120°－A)＋4sinA＝2(sin120°cosA－cos120°sinA)＋4sinA＝3cosA＋5sinA＝27sin(A＋φ)，(其中sinφ＝327，cosφ＝527)所以AB＋2BC的最大值为27.课标数学15.C5，C7[2011·江苏卷]在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.(1)若sinA＋π6＝2cosA,求A的值；(2)若cosA＝13，b＝3c，求sinC的值．本题主要考查三角函数的基本关系式、两角和的正弦公式、解三角形，考查运算求解能力．【解答】(1)由题设知sinAcosπ6＋cosAsinπ6＝2cosA.从而sinA＝3cosA，所以cosA≠0，tanA＝3，因为0＜A＜π，所以A＝π3.(2)由cosA＝13，b＝3c及a2＝b2＋c2－2bccosA，得a2＝b2－c2.故△ABC是直角三角形，且B＝π2，所以sinC＝cosA＝13.课标理数6.C5[2011·浙江卷]若0απ2，－π2β0，cosπ4＋α＝13，cosπ4－β2＝33，则cosα＋β2＝()-5-A.33B．－33C.539D．－69C【解析】∵cosπ4＋α＝13，0απ2，∴sinπ4＋α＝233.又∵cosπ4－β2＝33，－π2β0，∴sinπ4－β2＝63，∴cosα＋β2＝cosπ4＋α－π4－β2＝cosπ4＋αcosπ4－β2＋sinπ4＋αsinπ4－β2＝13×33＋223×