【高考调研】2016届高三理科数学一轮复习配套题组层级快练66

题组层级快练(六十六)1．抛物线y＝4x2的焦点到准线的距离是()A.18B.14C.116D．1答案A解析由x2＝14y，知p＝18，所以焦点到准线的距离为p＝18.2．过点P(－2,3)的抛物线的标准方程是()A．y2＝－92x或x2＝43yB．y2＝92x或x2＝43yC．y2＝92x或x2＝－43yD．y2＝－92x或x2＝－43y答案A解析设抛物线的标准方程为y2＝kx或x2＝my，代入点P(－2,3)，解得k＝－92，m＝43，∴y2＝－92x或x2＝43y，选A.3．已知点P是抛物线y2＝2x上的动点，点P到准线的距离为d，且点P在y轴上的射影是M，点A(72，4)，则|PA|＋|PM|的最小值是()A.72B．4C.92D．5答案C解析设抛物线y2＝2x的焦点为F，则F(12，0)．又点A(72，4)在抛物线的外侧，抛物线的准线方程为x＝－12，则|PM|＝d－12.又|PA|＋d＝|PA|＋|PF|≥|AF|＝5，所以|PA|＋|PM|≥92.4．等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线y2＝16x的准线交于A，B两点，|AB|＝43，则C的实轴长为()A.2B．22C．4D．8答案C解析设双曲线的方程为x2a2－y2a2＝1，抛物线的准线为x＝－4，且|AB|＝43，故可得A(－4,23)，B(－4，－23)，将点A的坐标代入双曲线方程得a2＝4，故a＝2.故实轴长为4.5．(2015·甘肃天水期末)以坐标轴为对称轴，原点为顶点，且过圆x2＋y2－2x＋6y＋9＝0圆心的抛物线方程是()A．y＝3x2或y＝－3x2B．y＝3x2C．y2＝－9x或y＝3x2D．y＝－3x2或y2＝9x答案D解析易知圆x2＋y2－2x＋6y＋9＝0的圆心坐标为(1，－3)，当抛物线的焦点在x轴上时，设抛物线方程为y2＝mx，将(1，－3)代入得m＝9，所以抛物线方程为y2＝9x；当抛物线的焦点在y轴上时，设抛物线的方程为x2＝ny，将(1，－3)代入得n＝－13，所以抛物线方程为y＝－3x2.综上知，所求抛物线方程为y＝－3x2或y2＝9x.6．(2015·山东烟台期末)已知直线l过抛物线y2＝4x的焦点F，交抛物线于A，B两点，且点A，B到y轴的距离分别为m，n，则m＋n＋2的最小值为()A．42B．62C．4D．6答案C解析抛物线y2＝4x的焦点F(1,0)，准线方程为x＝－1，由于直线l过抛物线y2＝4x的焦点F，交抛物线于A，B两点，且点A，B到y轴的距离分别为m，n，所以由抛物线的定义得m＋n＋2＝|AB|，其最小值即为通径长2p＝4.故选C.7．(2015·吉林长春调研测试)已知直线l1：4x－3y＋6＝0和直线l2：x＝－1，抛物线y2＝4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是()A.355B．2C.115D．3答案B解析由题可知l2：x＝－1是抛物线y2＝4x的准线，设抛物线的焦点为F(1,0)，则动点P到l2的距离等于|PF|，则动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值，即焦点F到直线l1：4x－3y＋6＝0的距离，所以最小值是|4－0＋6|5＝2，故选B.8．(2015·湖北武汉调研)已知O为坐标原点，F为抛物线C：y2＝42x的焦点，P为C上一点，若|PF|＝42，则△POF的面积为()A．2B．22C．23D．4答案C解析设点P(x0，y0)，则点P到准线x＝－2的距离为x0＋2.由抛物线定义，得x0＋2＝42，x0＝32，则|y0|＝26.故△POF的面积为12×2×26＝23.9．点A是抛物线C1：y2＝2px(p0)与双曲线C2：x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的一条渐近线的交点，若点A到抛物线C1的准线的距离为p，则双曲线C2的离心率等于()A.2B.3C.5D.6答案C解析求抛物线C1：y2＝2px(p0)与双曲线C2：x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的一条渐近线的交点为y2＝2px，y＝bax，解得x＝2pa2b2，y＝2pab，所以2pa2b2＝p2，c2＝5a2，e＝5，故选C.10．(2013·新课标全国Ⅱ理)设抛物线C：y2＝2px(p0)的焦点为F，点M在C上，|MF|＝5，若以MF为直径的圆过点(0,2)，则C的方程为()A．y2＝4x或y2＝8xB．y2＝2x或y2＝8xC．y2＝4x或y2＝16xD．y2＝2x或y2＝16x答案C解析方法一：设点M的坐标为(x0，y0)，由抛物线的定义，得|MF|＝x0＋p2＝5，则x0＝5－p2.又点F的坐标为(p2，0)，所以以MF为直径的圆的方程为(x－x0)(x－p2)＋(y－y0)y＝0.将x＝0，y＝2代入得px0＋8－4y0＝0，即y202－4y0＋8＝0，所以y0＝4.由y20＝2px0，得16＝2p(5－p2)，解之得p＝2或p＝8.所以C的方程为y2＝4x或y2＝16x.故选C.方法二：由已知得抛物线的焦点F(p2，0)，设点A(0,2)，抛物线上点M(x0，y0)，则AF→＝(p2，－2)，AM→＝(y202p，y0－2)．由已知得，AF→·AM→＝0，即y20－8y0＋16＝0，因而y0＝4，M(8p，4)．由抛物线定义可知：|MF|＝8p＋p2＝5.又p0，解得p＝2或p＝8，故选C.11．(2015·河南许昌一模)设抛物线的顶点在原点，准线方程为x＝2，则抛物线的方程为________．答案y2＝－8x解析设抛物线方程为y2＝－2px(p0)，因为准线方程为x＝2，∴p＝4.故抛物线方程为y2＝－8x.12．(2015·黑龙江大庆一模)已知圆x2＋y2＋mx－14＝0与抛物线y2＝4x的准线相切，则m＝________.答案34解析圆x2＋y2＋mx－14＝0圆心为(－m2，0)，半径r＝m2＋12，抛物线y2＝4x的准线为x＝－1.由|－m2＋1|＝m2＋12，得m＝34.13.右图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米．水位下降1米后，水面宽________米．答案26解析建立如图所示的平面直角坐标系，设抛物线的方程为x2＝－2py(p0)，由点(2，－2)在抛物线上，可得p＝1，则抛物线方程为x2＝－2y.当y＝－3时，x＝±6，所以水面宽为26米．14．(2015·衡水调研)抛物线y2＝2px(p0)的焦点为F，其准线经过双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的左顶点，点M为这两条曲线的一个交点，且|MF|＝2p，则双曲线的离心率为________．答案102解析设点M在第一象限，∵|MF|＝2p，∴M的坐标为(32p，3p)．又∵准线经过双曲线的左顶点，∴a＝p2.∴双曲线方程为x2p24－y2b2＝1.将点M代入可得b2＝38p2.∴e2＝c2a2＝a2＋b2a2＝1＋b2a2＝1＋38p2p24＝52.∴e＝102.15．(2015·北京顺义一模)已知抛物线y2＝2px(p0)的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，垂足为A.如果△APF是边长为4的正三角形，那么此抛物线的焦点坐标为________，点P的横坐标xP＝________.答案(1,0)，3解析如图所示．设P(y202p，y0)，则|PA|＝y202p＋p2＝4.①又在Rt△AMF中，∠AFM＝∠FAP＝60°，故tan∠AFM＝|AM||MF|＝|y0|p＝3.②联立①②式，得p＝2，|y0|＝23.故焦点坐标为(1,0)，点P的横坐标为x＝y202p＝3.16．抛物线y2＝2px(p0)有一个内接直角三角形，直角顶点是原点，一条直角边所在直线方程为y＝2x，斜边长为513，求此抛物线方程．答案y2＝4x解析设抛物线y2＝2px(p0)的内接直角三角形为AOB，直角边OA所在直线方程为y＝2x，另一直角边所在直线方程为y＝－12x.解方程组y＝2x，y2＝2px，可得点A的坐标为p2，p；解方程组y＝－12x，y2＝2px，可得点B的坐标为(8p，－4p)．∵|OA|2＋|OB|2＝|AB|2，且|AB|＝513，∴p24＋p2＋(64p2＋16p2)＝325.∴p＝2，∴所求的抛物线方程为y2＝4x.17．(2015·河北唐山模拟)已知抛物线E：y2＝2px(p0)的准线与x轴交于点M，过点M作圆C：(x－2)2＋y2＝1的两条切线，切点为A，B，|AB|＝423.(1)求抛物线E的方程；(2)过抛物线E上的点N作圆C的两条切线，切点分别为P，Q，若P，Q，O(O为原点)三点共线，求点N的坐标．答案(1)y2＝4x(2)(32，6)或(32，－6)解析(1)由已知得M(－p2，0)，C(2,0)．设AB与x轴交于点R，由圆的对称性可知，|AR|＝223.于是|CR|＝|AC|2－|AR|2＝13.所以|CM|＝|AC|sin∠AMC＝|AC|sin∠CAR＝|AC||CR||AC|＝3.即2＋p2＝3，p＝2.故抛物线E的方程为y2＝4x.(2)设N(s，t)．P，Q是以NC为直径的圆D与圆C的两交点．圆D方程为(x－s＋22)2＋(y－t2)2＝s－22＋t24，即x2＋y2－(s＋2)x－ty＋2s＝0.①又圆C方程为x2＋y2－4x＋3＝0，②②－①，得(s－2)x＋ty＋3－2s＝0.③P，Q两点坐标是方程①和②的解，也是方程③的解，从而③为直线PQ的方程．因为直线PQ经过点O，所以3－2s＝0，s＝32.故点N坐标为(32，6)或(32，－6)．过点M(2，－2p)作抛物线x2＝2py(p0)的两条切线，切点分别为A，B，若线段AB中点的纵坐标为6，求抛物线方程．答案x2＝2y或x2＝4y解析x2＝2py变形为y＝12px2，∴y′＝xp.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，∴y′|x＝x1＝x1p.∴切线AM方程为y－y1＝x1p(x－x1)．即y＝x1px－x212p.同理BM方程为y＝x2px－x222p.又(2，－2p)在两条直线上，∴－2p＝2x1p－x212p，－2p＝2x2p－x222p.∴x1，x2是方程x22p－2xp－2p＝0的两根．即x2－4x－4p2＝0.∴x1＋x2＝4，x1x2＝－4p2.∴y1＋y2＝12p(x21＋x22)＝12p[(x1＋x2)2－2x1x2]＝12p(16＋8p2)．又∵线段AB中点纵坐标为6，∴y1＋y2＝12，即12p(16＋8p2)＝12.解得p＝1或p＝2.∴抛物线方程为x2＝2y或x2＝4y.