一元二次不等式解法的优化

一元二次不等式解法的优化摘要：本文从一元二次不等式20(0)axbxca，教法争论谈起，结合一元二次函数2(),(0)fxaxbxca的图像和集合中区间的表达，通过对已有一元二次不等式20(0)axbxca，解法的优化，提出了一种更为简单的解一元二次不等式的方法和步骤，即“标准化、求根、写解集”。通过实例，指出这种方法和步骤也适用于特殊情况，具有普遍性。关键词：一元二次不等式，解法，优化，标准化，根，解集引子一元二次不等式20(0)axbxca，是中学数学的重要内容。其解法的教学在实施新课程标准和使用新教材后出现了争论，即出现了一元二次不等式的解法在传统大纲、传统教材下的讲法和在新课标、新教材下讲法的争议[1]-[4]。传统教学把一元二次不等式的解法安排在一元二次函数和集合教学之后，即高一阶段，位置靠前[5]；新教材把一元二次不等式的解法与简单线性规划，基本不等式教学放在一起，安排在必修五，即高二或高三阶段，位置靠后。在当今提倡个性教育，培养发散思维的教育理念下，也许解法不应该提倡定论，但是否有更简单的解法和步骤却值得我们去追求和探索。在众多一元二次不等式的解法中，利用一元二次函数的图像性质的方法由于最为形象，成为最主要的方法。这个方法，还能不能继续加以优化，固定为一种更好的方法步骤呢？通过长期的教学实践和对这个问题反复思考，我发现，通过对一元二次不等式的标准化，结合开口向上的一元二次函数图像性质和集合中区间的表达，可以使一元二次不等式解法步骤优化为三步。解法一元二次不等式是指化简后形如200axbxca，(）的不等式，当然，这里的不符号“”，也可以是“”，“”，“”或“”，为了表达的简洁和方便，本文多以“”和“”为例，其余带等号情况可以相应推广。优化的一元二次不等式解法三步为：一、标准化，即化为20axbxca，(为正）或20axbxca，(为正）二、求根，即对应的一元二次方程20axbxca，(为正）的两根12,xx，使得12xx，也即一元二次函数图像与x轴的左右交点12,xx，三、写解集，标准化后不等式是0的情况，原不等式的解集为两根之间，即12(,)xx；标准化后是0的情况，原不等式的解集为两根之外，即12(-)(,)xx，。说明和注意：步骤一标准化的目的有两个，一、移项使不等号右边为0，即全部项移到不等号左边，简单的说就是右端为0；二、用变号法则保证二次项系数为正。例如：当出现223+50xx的情况时，用变号法则变为其等价形式22350xx。步骤二求根，指求出与一元二次不等式对应一元二次方程的实根，也即找到一元二次函数图像与x轴的交点横坐标。求根只是大的方向和原则，具体怎样求根并无限制，可以自行选用配方、因式分解、求根公式等。而求根公式221244,22bbacbbacxxaa，12xx是个最普遍的方法。例如一元二次不等式22350xx的两根为小根21(3)(3)42(5)122x和大根22(3)(3)42(5)522x。这里把小根2142bbacxa写在左边，大根2242bbacxa写在右边很规范，是个技巧，便于第三步直接用区间写出不等式解集。有了前两步的准备，第三步显得异常轻松。若标准化后不等式为0的情况，原不等式解集为两根之间，为2244(,)22bbacbbacaa；若标准化后不等式为0的情况，原不等式解集在两根之外，为2244(,)(,)22bbacbbacaa。例如22350xx的解集为为两根之间(1,5)，而原不等式223+50xx的解集解集为两根之外(,1)(5,)。上述步骤是综合开口向上一元二次函数的图像性质和集合里区间的写法后对一元二次不等式解法的一种优化。三个步骤缺一不可；第一步和第二步都是第三步直接写出解集的准备：第一步把一元二次函数的图像统一为开口向上的情况，第二步找到区间的端点，第三步按照“0时，两根之间；0时，两根之外。”直接写出解集。以223+50xx为例，再系统地看看这个优化后的方法和三个步骤：223+50xx的标准化为22350xx；两根为1和5；由标准化后为0，解集在两根之外，为(,1)(5,)。参考文献[1]王尚志,胡凤娟,张思明,王铮铮.“一元二次不等式”的定位和教学建议[J].中学数学教学参考(上半月高中),2009年,第1期,3-5[2]何春林.新课程理念下一元二次不等式及其求解的教学[J].数学教学,2009年,第4期，12-15[3]张宗余,冯斌.新课程理念下一元二次不等式及其解法的教学设计[J].数学通报,2012年,第2期，27-29[4]吴艳明,郭玉峰.提前引入“一元二次不等式解法”的实验研究[J].中国数学教育(高中版),2012年,第6期,18-20[5]李广全,李尚志.数学[M].北京：高等教育出版社,2009.6,34