一次函数与一元一次方程一元一次不等式的教学设计

《13.3一次函数与一次方程、一次不等式》（第一课时）安徽省合肥市庐阳中学陈光宇教学内容沪科版义务教育课程标准实验教科书《数学》八年级上册第13章第3节P47-P48页。教学目标1.使学生领会一次函数与一元一次方程、一元一次不等式之间的联系。2.引导学生经历探究一次函数与一元一次方程、一元一次不等式之间的联系的过程，体会数形结合、分类、类比、归纳等数学思想方法的运用，积累数学活动经验。通过自主探究、小组合作等活动，锻炼学生的自学能力、归纳概括的能力，增强学生间的合作意识。3.通过对一次函数、一次方程与一元一次不等式内在关系的探究，引导学生认识事物部分与整体的辩证统一关系，培养学生用联系的观点看待数学问题的意识。教材分析内容解析函数、方程、不等式都是人们刻画现实世界的重要数学模型。之前，学生已经从数的角度认识一次方程和一次不等式，从形的角度认识了一次函数和数轴表示不等式的解集。而本节课通过函数图像动态的变化和点的对应来探究一次函数、一元一次方程、一元一次不等式之间的关系。通过本节课的探究，学生不仅能加深对函数、方程（组）、不等式的理解，而且能在函数的观点下将三者统一起来，感受数学的统一美，加强知识间横向与纵向的融会贯通。一次函数、一元一次方程、一元一次不等式之间的关系属于事实性知识；学生在探究三个一次之间关系的过程中，需要在函数运动变化的观点下，经历运用分类、类比，数形结合的思想方法，归纳出解一次方程和不等式的问题，其实是求函数的零点和非零点的问题，这些认知策略能有效地帮助学生积累数学活动经验，掌握学习方法，提高学习效率，因此，这些数学思想方法是元认知知识。本节课将“三个一次”问题在函数的观点下来集中认识，这种用整体的观点处理问题的方法为今后学习二次函数与一元二次方程的关系，以及高中二次函数、一元二次方程与一元二次不等式的知识做好知识和认知方法上的准备。教学重点探究一次函数与一元一次方程、一元一次不等式之间内在关系。教学难点对一次函数与一元一次方程、一元一次不等式之间关系的揭示。学情分析1．之前，学生已经会解一次方程和一次不等式，从形的角度认识了一次函数的图像和在数轴上表示不等式的解集，学生具备了接受这节课的知识基础。2．八年级学生的思维已逐步从直观的形象思维为主向抽象的逻辑思维过渡，而且具备一定的图像分析和信息收集的能力。但是由于所学知识是零散的，数和形没有形成有意识的联系，学生难以建立一次函数与一次方程、一次不等式之间的联系，因此，“三个一次”之间的关系的揭示是本节课的难点。如何创设问题，引导学生用联系的观点进行探究，是突破难点的关键。教学策略分析通过以上分析，教学中将采用下列教学策略：1．创设实际生活情境，鼓励学生多向思考、多角度解决实际问题，引导学生初步感受一元一次不等式与一元一次方程、一次函数是有联系的。2．从学生已会的解一元一次方程和不等式出发，将相同表达式kx+b(=0和＜0)与y=kx+b进行比较，要求学生画出函数y=kx+b的图像，引导学生观察图像中各部分点（被X轴分成的三部分）的纵坐标表示的数学意义（y＞0，＝0，＜0），将图形与它的代数表示形式真正建立联系，并用语言分别概括出来，达到突破难点。其过程以学生“自主探究”为主，教师引导为辅，设计的问题从易到难，从简单到复杂，层层推进，让学生在观察、分析，比较和交流合作中形成自己对数学知识的理解和有效的学习模式。3．设计了两组练习题。让学生通过自我解答、不同方法的对比来渗透识图能力的培养和数形结合的思想。4．习题由易而难，在巩固的基础上有所提高，必做题和选做题的设置也让“不同的人在数学上得到不同的发展”。教具安排学生课堂自主探究材料、多媒体课件。课时安排这节内容安排两个课时，本节课是第一课时，主要通过探究活动领悟一次函数与一元一次方程、一次不等式之间的联系。教学过程设计问题与情境师生活动设计意图复习旧知、学前热身小明的爸爸应邀来到合肥投资，在庐阳工业园投资300万元成本建成一个小型家电生产工厂。建成投产后,不考虑材料费等其他因素，每年盈利75万元。回答下面两个问题，1:该工厂投产几年刚好收回成本？2:该工厂从哪一年后盈利开始超过300万元以上?师：从小学到现在我们学过哪些解决问题的方法？生：小学的算术法和初中学过的方程、不等式。师：怎样利用函数图象解决上面的问题呢？贴切的生活情境可以让大多数同学想到解决问题的方法，除了能激发学生的求知欲，也让学生初步感受一次方程和一元一次不等式与一次函数是有联系的，引入课题。合作交流、探究新知活动一：探究一次函数与一元一次方程之间的联系。1．解方程3x+6=0。2．直线y=3x+6与x轴交点的坐标是什么？3．讨论:图象与方程的解之间的关系。4.不解方程：你能说出方程3x+6=6的解吗？学生口答三个问题。师：课前让大家准备了任意的一次函数的图象，观察你的图象，在图象中也有类似的联系吗？学生举例说明。师：将刚才的思考概括为一般形式呢？归纳：一次函数y=kx+b（k、b为常数，k≠0）与x轴交点的横坐标就是方程kx+b=0的解。一元一次方程kx+b=0（k、b为常数，k≠0）的解就是一次函数y=kx+b(k0)与x轴交点的横坐标。引题分解难度，给学生提供了思考的角度和方向。通过学生反复实践和教师引导，学生从“形”到“数”，或者从“数”到“形”，自己探究一次函数的图象与一元一次方程解的关系，体验知识生成的过程。5．合作交流（一）你还能利用图象求出哪些一元一次方程的解？6.合作交流（二）通过以上探究，你能总结一次函数与一元一次方程之间的联系吗？师：请写出几个这样的一元一次方程和同伴进行交流。对于一次函数，当y值确定求其x的值时，就可看成是关于x的一元一次方程。而一个具体的一元一次方程，实际上是一次函数的y值确定，求其自变量x的值。增强思维密度，通过学生动手操作强化和真正理解一次函数图象与方程解的对应关系，从而使学生形成自己对数学知识的理解和有效的学习模式。有前面反复的探究作为基础，合作交流产生了相应的价值。不同学生的思考加深了全体同学对两者联系的理解，为不同的学生提供了展示的平台。巩固练习、小试牛刀7..练习(一)：1．观察：-x+2=0的解为，x-1=0的解为。2．函数y=ax+b的图象如图，则方程ax+b=0的解为。师：解决这2题有哪些方法？这一提问，主要是想让同学们说出不同的思路，感受新认知解决问题的有效性。有效的学习过程不能单纯的依赖模仿和记忆。发展能力、拓展延伸活动二：探究一次函数与一元一次不等式之间的联系1自主探究：观察一次函数63＋＝xy的图象，2．如何从图象上找出不等式3x+6＞0的解集？师：（-2,0）的意义我们已经探究过。除此点之外，图象被分成了两部分。当图象在x轴的上方时，点的坐标有什么共同特征？师几何画板同步演示。师：引导学生交流发现：不等式3x+6＞0，也就是函数值y＞0。不等式3x+6＞0的解集，就是y＞0时对应的x的取值范围。从图象上来看就是在x轴上方的点对应的横坐标的取值范围。通过几何画板的演示，引导学生思考将要探索的内容，进行分类，渗透分类的数学思想。抓住知识的内在联系，引导学生用类比的学习方法，通过观察函数图象来重新认识不等式这个代数模型。3．如何从图象上找出不等式3x+6＜0的解集？请讲述确定解集的方法。4．合作交流（三）通过上面两个问题的思考，你能发现一次函数y=kx+b（k、b为常数，k≠0）与一元一次不等式kx+b＞0或kx+b＜0（k、b为常数，k≠0）的关系吗？学生独立思考。归纳：（学生先独立思考后，讨论交流，教师补充。）类比3x+6＞0的思考方法，让学生自主探究，再次突出重点。有效的问题作为载体，鼓励学生运用自己的语言进行描述和交流，既规范了学生的语言表述，又锻炼了学生归纳概括的能力。例题解析、应用新知5.不解不等式，利用图象：例题：不解不等式，利用图象:求出不等式-3x+6≥3的解集。6.通过以上探究，你能总结一次函数与一元一次不等式之间的联系吗？生边说边板书，不等式363x的解集（图象法）（1）先画出y=-3x+6的图象。（2）找到纵坐标是3的点。（3）观察3y的图象部分对应的x的范围。（4）得出不等式的解集。教师完整规范板书过程.并强调解题格式。师生共同总结解题步骤。求不等式nbkx＞＋（k、b为常数，k≠0）解集，先观察y=kx+b（k、b为常数，k≠0）的图象y=n时点的横坐标，很容易得到ny＞时，x的取值范围是mx＞)(mx或。通过学生口述解题步骤加深对不等式和方程图象解法方法的应用和理解。深入地理解一元一次不等式和对应一次函数图象的关系。渗透学生从“特殊”到“一般”的数学思想，突破难点。梯度设计、巩固提高练习（二）1．函数y=－2.5x＋5的图象如图1。－2.5x＋50的解集为_________；－2.5x＋50的解集为_______.。图1图22．函数y=ax＋b的图象如图2。则对应不等式ax＋b0的解集为_______；ax＋b0的解集为_______；ax＋b≥0的解集为_______；ax＋b≤0的解集为________；ax＋b≥2的解集为________；0≤ax＋b≤2的解集为学生自我解答，自我展示。师予以辅导和纠正。问题由浅到深，由易到难。学生通过自我解答、不同方法的对比来渗透识图能力的培养和数形结合的思想。_______。归纳小结、回到引题本节课通过探究，小组合作以及例题的学习，同学有什么样的感受，和老师分享一下。师：回到引题，利用今天所学的知识，如何构建一次函数关系式，又怎样利用函数图象来解决上面的问题？学生谈谈自己的收获。通过一次函数图象观察一元一次方程的解和一元一次不等式的解集，重点不在于求解，而在于从图象分析方程的解和不等式解集，等于从变化的过程中选取特定的状态和范围。对于变量x,当y是变量时，y=kx+b是一次函数，当y是常量时，y=kx+b是关于x的一元一次方程。知道ｙ的取值范围，根据对应ｘ的取值范围就能得到不等式或不等组的解集。在我们的生活中：（展示图片）学生回答，师予以评价。引导学生梳理所学知识和方法，展示本课重点内容，帮助学生将新知识顺利地纳入已有的知识体系，让学生体会收获的喜悦．承上启下，让学生运用已学知识应用于实践，自觉构建数学模型，更好体会数学知识蕴含的价值和数学知识的现实意义。布置作业、分层发散必做题:1．习题13.3第1题。2．已知一次函数y=ax+b（a,b为常数，a≠0),x与y的部分对应值如下表：-4-202463210-1-2yx那么方程ax+b=0的解是,不等式ax+b0的解集是。选做题：3．若不等式kx+b0的解集是x-2，则直线y=kx+b与x轴的交点坐标是。4．应用题：习题13.3第5题。教师布置作业，学生课后完成。教师对学有余力的学生启发其他解法。作业设计体现了分层教学的理念。必做作业为基础，目的是使所有学生都能运用函数观点解决不等式问题，选做题给学生留下思维发散的空间和拓展探索余地，让“不同的人在数学上得到不同的发展”。结束语:从形到数，从数到形。从形可以知道数的范围,从数可以知道形的特征，在这种抽象思维与形象思维培养中体会数学的无穷乐趣，这就是我们这节课的主题。附板书设计：一次函数与一元一次方程和一元一次不等式的关系一元一次方程一次函数一元一次不等式例题：利用图像75x-300=0y=75x-30075x-300300求：不等式363x的解集3x+6=0x=-2y=3x+6（-2,0）3x+60x-2(1)先画出y=-3x+6的图像。y=kx+b与x轴交点的横坐标就是方程kx+b=0的解。(2)找到纵坐标是3的点。解不等式kx+b＞0或＜0（k、b常数，k≠0）(3)观察3y（y=3)的图就是求图象x轴上方（或下方）的点像部分对应的x的范围对应的自变量取值范围。(4)得出不等式的解集。3x+6=6x=-0y=3x+6（0,6）kx+b=nx=my=kx+b(m.n)nbkx＞＋