一类求三角形面积的极值问题的解题思路与方法

1一类求三角形面积的极值问题的解题思路与方法问题：过点3,2P的直线与x轴、y轴的正半轴分别相交于点BA,，求ABO的面积最小值，以及此时所对应的直线方程。解答这类问题的思路是：建立函数关系，利用有关函数的基本理论以及不等式的知识，求出目标函数的最值。在研究函数的最值时，要注意函数的定义域对函数值的限制；在运用均值不等式求最值时，要注意取等号的条件是否具备。构造一元二次方程，利用一元二次方程有实数根时，判别式为非负数，求最值。解答这类问题的常用解题方法如下：一、利用三角函数的有界性求解解法1：设过点3,2P的直线方程为：1byax，则132ba，于是可设2cos2a，2sin3b。记ABO的面积为S，则abS21=2222sin12cossin3因为012sin2,所以：12S，当12sin时，45，面积的最小值是：12S，此时，445cos22a，645sin32b所求的直线方程为：164yx评注：若正实数nm,满足1nm，我们可以设2sinm，2cosn，把二元转化为关于的一元问题，可借助三角函数的有界性求解。二、利用均值不等式求解解法2：设过点3,2P的直线方程为：23xky，直线与x轴、y轴的正半轴分别相交于点kBkA23,0,0,32.由图知0k记ABO的面积为S，则kkS2332212即kkS941221因为0k，所以，04k，09k。利用均值不等式得：)4(k12942)9(kkk。所以kkS94122112121221当且仅当k4k9，即23k时ABO的面积有最小值，此时所对应的直线方程为：12232233yxxy评注：在利用均值不等式解题时，需要对目标函数进行恒等变形。变形原则是能使产生的几个正数的积（或和）为定值。解法3：设过点3,2P的直线方程为：1byax，则132ba，于是32bba因为直线与x轴、y轴的正半轴相交，则0,0ba。记ABO的面积为S，则abS21=6393332212bbbbbbb因为：32bba0,0b.所以3b.于是：393bb63932bb。所以：S=6393bb12。解法4：设过点3,2P的直线方程为：1byax，则132ba，于是baab23因为直线与x轴、y轴的正半轴相交，所以0,0ba。利用均值不等式得：abbaab6223，062abab，而0ab，所以24ab。记ABO的面积为S，则abS2112当且仅当2423abba且时，6,4ba。面积有最小值12S。3所求的直线方程为：164yx评注：此题利用均值不等式，产生一个新的不等式，解这个不等式求出ab的最小值，从而获解。三、判别式法解法5：设过点3,2P的直线方程为：23xky，直线与x轴、y轴的正半轴分别相交于点kBkA23,0,0,32.由图知0k记ABO的面积为S，则kkS233221化简得：0912242ksk（1）将上式视为关于k的一元二次方程，因为Rk，所以，0。即舍去）或(01209441222SSs。面积的最小值是：12S，代入（1）得：23k此时所对应的直线方程为：12232233yxxy评注：上述方法就是构造一元二次方程，利用一元二次方程有实数根时，判别式为非负数，求解。解法6：设过点3,2P的直线方程为：1byax，则132ba，于是32bba因为直线与x轴、y轴的正半轴相交，则0,0ba。记ABO的面积为S，则abS21=332212bbbbb化简得：032SSbb（2）将上式视为关于b的一元二次方程，因为Rb，所以，0。即12034)(2SSS。因为0S面积的最小值是：12S，代入（2）得：6b，则32bba=4所求的直线方程为：164yx评注：此题还可以通过消去b，关于a的一元二次方程，利用上述方法求解。