一阶微分方程解题方法指导

一阶微分方程解题方法指导刘兵军在高数下册中，微分方程一章是独立性很强的内容，和积分与级数这些内容没有什么联系，故可以灵活安排讲授时间，即使在讲多元函数偏导数之前讲授本章内容也是可以的.所谓微分方程就是由未知函数及其导数构成的等式.方程中所含未知函数导数的最高阶叫作微分方程的阶.如果方程的解中含有任意常数且其个数与方程阶数相同，则称这样的解为微分方程的通解.满足确定任意常数初始条件的解为特解.求解微分方程就是求其通解或进一步求满足某条件的特解.本文主要讨论一阶微分方程),(yxfdxdy的求解问题.一、可分离变量的方程一个一阶微分方程能变形为如下形式：dxxfdyyg)()(（1）则称其为可分离变量的方程.假定方程（1）中)(yg和)(xf是连续的，则在（1）两边积分可得方程的解.经过变形把方程变为（1）的形式，是解题的关键所在.例1．求微分方程xydxdy2的通解.解：分离变量得xdxydy2两边积分得xdxydy2即12lnCxy2112xCCxeeey令1CeC可得2xCey例2．求微分方程的通解0)()(dyeedxeeyyxxyx.解：分离变量得dxeedyeexxyy11两边积分得dxeedyeexxyy11即Ceexyln)1ln()1ln(得Ceexy)1)(1(二、齐次方程若一阶微分方程),(yxfdxdy中的),(yxf可写为xy的函数)(xy，则称其为齐次方程.由)(),(xyyxfdxdy令xyu即uxy，dxduxudxdy从而得出)(udxduxu分离变量得xdxuudu)(按分离变量法解得方程解，再把u还原为xy即得原来方程的通解.例3．求微分方程0)(22xydydxyx的通解.解：变形得xyxyxyyxdxdy222)(1令xyu得uxy，dxduxudxdy原方程变为uuuudxduxu112即udxdux1分离变量得dxxudu1两边积分得12lnln2Cxu将u还原得)ln()ln(2222122CxxxCxy其中21CC例4．求解微分方程xyydxdyxln的通解.解：变形得xyxydxdyln令xyu得uxy，dxduxudxdy则方程变为uudxduxuln分离变量得dxxuudu1)1(ln两边积分得Cxulnln)1ln(ln即Cxu1ln把u还原得Cxxy1ln1Cxxey三、一阶线性微分方程形如)()(xQyxpdxdy的微分方程称为一阶线性微分方程.若0)(xQ，则称之为齐次的，否则称为非齐次的.对于一阶线性齐次微分方程0)(yxpdxdy，用分离变量法，易得其通解为dxxpCey)(，再用常数变异法可得相应非齐次方程的通解为))(()()(CdxexQeydxxpdxxpdxexQeCedxxpdxxpdxxp)()()()(（3）上式右端第一项为对应齐次方程通解，第二项为非齐次方程的一个特解.即一阶非齐次线性微分方程的通解等于对应齐次方程的通解与非齐次方程的一个特解之和.上述求解公式的推导过程称为常数变异法，各类高等数学教科书中都有此方法的详细过程，在此不再重复.只需把（3）当作一个公式套用即可.具体使用（3）求解一阶线性微分方程时，应该注意把方程变为（3）的标准形式，否则容易出错.例5．求方程25)1(12xxydxdy的通解.解：本方程是一阶线性非齐次微分方程，可用（3）式来求解，但应注意12)(xxp.把方程变形得25)1(12xyxdxdy12)(xxp，25)1()(xxQ得))(()()(CdxexQeydxxpdxxp))1(()(2512CdxexQedxxpdxx))1((22)1ln(25)1ln(Cexexx])1(32[)1(232Cxx例6．求解方程yxdxdy2312的通解.解：本方程并不是一个一阶线性微分方程，但经过适当的变形后，可变为一个以x为函数y为自变量的一阶线性微分方程.变形得)23(2yxdydx即yxdydx466)(yP，yyQ4)(代入（3）得))(()()(CdyeyQeydyypdyyp)4(66Ceyexyxy)4(66Cdyyeeyy)9132(666CeyeeyyyyCey69132以上6道例题基本展示了一阶微分方程求解过程和注意事项.在求解一阶线性微分方程时，学员应首先分清方程的类型，即可分离变量的方程、齐次方程和一阶线性方程，再使用相应方法，即可求出通解.方程解法并不难，难的是有些方程须经过详细观察和一些变形才能化为上述三种方程的形式.经过以上例题的学习，学员应能掌握这些变换技巧.