《二项式定理》教案8(新人教A版选修2-3)

二项式定理课前调查：1.教学进度2.2()ab展开式？3.3()ab=？有何规律？23ab如何得到？①a降b升；②次数和3；③系数对称4.不必预习，讲法与课本略有不同。上课时请同学们先合上课本，需要时再打开！课前准备：在正式上课之前请同学们欣赏一段音乐,放松一下心情，做好课前准备…教学过程与操作设计：环节教学程序与内容师生互动创设情境导入课题1、介绍牛顿，引出课题。显示牛顿的图片。师：这是谁？同学们认识吗？师：没错，他就是牛顿。牛顿被誉为人类历史上最伟大的科学家之一。他不仅是一位物理学家、天文学家，他还是一位伟大的数学家。他数学生涯中的第一个重大成果就是我们今天研究的课题--二项式定理。切换2、引导学生提出问题。师：今天，就让我们沿着大数学家牛顿的足迹，重温了他探究、发现二项式定理的过程。牛顿究竟是如何发现二项式定理的呢？师：让我们一起回1664年冬，22岁的牛顿在研读沃利斯博士的《无穷算术》时，引发了许多思考…师：2()?ab生：…师：3()?ab生：…师：4()?ab生：…师：不知道？那就算一算，请将计算过程写在卡片纸上。师：看这位同学的算法，他。。。，合并同类项后，将式子化为最简形式，一共有这五项。再看另一位同学的算法，他。。。，他们的算法不同，但结果相同，都是对的。单击师：我们将以上等式的右边叫做左边的展开式。师：如果你是牛顿，接下来会思考一个什么问题呢？师：不错，牛顿当年也是这么想的，请坐下。单击师：牛顿思考的是，一般情形下，当nN时，()nab等于多少？这样一个问题。提示：仔细看，他的头顶上有一只苹果！他是著名的物理学家、天文学家，他提出了万有引力定律、创立了经典力学理论、阐述了光学原理…板书：二项式定理（写在中间）巡视收三张卡片纸若学生回答：研究这三个式子的规律。提问：研究规律的最终目的是想得到什么结论？（左上方）板书：()?nab4分钟体验感知探索发现1、确定研究方向。师：接下来我们来研究这个问题，应该从哪里入手呢？生：…师：你的想法很好，请坐下。师：这位同学提出：从上面的特殊情形入手，研究、发现它们的规律后，再推广到这种一般情况。“从特殊到一般”是研究问题的常用方法。他的提议挺不错！师：那我们不妨从4()ab入手。切换师：4()ab就是四个()ab相乘，刚才求得的展开式是这样：4()ab()()()()abababab432234464aabababb体验感知探索发现2、引导学生观察2()ab、3()ab的展开式，发现规律。问题:请你观察2()ab的展开式并思考：①展开式中各种类型的项是如何得到的？②展开式中各项的系数是如何确定的？3、引导学生探索4()ab的展开式的项和系数的规律。问题：①展开式中会有哪几种类型的项？②展开式中各项的系数是多少？师：你分析得不错，请坐下。其实，根据多项式乘法法则，4()ab展开式的每一项都是从这四个括号中各任取一个字母相乘得到的。他分析的结论是有五种不同类型的项，第一类：四个括号都取a相乘得到4a；第二类：。。。得到3ab是；…师：他说的很好。再请一位同学说明第②点。单击师：请你以第二项为例，（单击）具体分析3ab有哪几种情形可以得到？它的系数4又是如何确定的？这位…生：...师：你回答得很好，请坐下。师：这位同学分析，3ab是这四个括号中一个括号取b，另三个括号取a相乘得到的，共有四种取法，所以系数为4。师：我们一起来看一看这四种具体的情形：第一种情况：b取自于第一个括号。点击按钮1；第二种…师：由于这四种情况，相乘后都是3ab，属于同类项，将这四个同类项合并后，3ab的系数的确应该是4。他分析得很到位。师：能不能用前面所学过的知识，说明这个系数4是怎么得来的呢？师：这位同学，请。生：…单击点击触发器：问题①点击触发器：3ab动画演示竖双大拇指体验感知探索发现师：只要从四个口号中取1个b，3个a相乘都可以得到3ab，师：不妨先取b，从这四个口号中取1个b，有几种取法？生：…师：从剩下3个括号中取3个a有几种取法？用组合数表示？师：不错！请坐下。师：他用两个计数原理和组合的知识很好地解释了这个问题。师：这位同学…，你能分析其它几项的系数吗？师：分析的很好，请坐下。师：综合两位同学的成果，我们轻松地得到了展开式各项的系数。师：作一点说明：由于b选定后，a的取法也随之确定，因此这里的33C、22C…，都可以省略。师：我们可以将4()ab的展开式写成。。。，师：这种形式的展开式，结果与前面的展开式相等吗？师：刚才，同学们运用计数原理，分析了项的类型和项的系数，发现某些规律，并直接写出了4()ab的展开式，有没有像刚才那样一项一项地乘开？。。。看来，这是一个重大发现！这实际上是多项式乘法的一种推广。（右下）板书：13343CCab（右下）板书：04444CCa222242CCab31341CCab444Cb板书：4()ab展开式（右中）体验感知探索发现4、类比猜想，对二项式定理形成初步认识。师：下面，按照这种规律，问题：你能将3()ab的展开式直接写成类似的形式吗？师：结果正确吗？2()ab和()ab呢？单击5、归纳猜想，进一步认识二项式定理。师：这个规律，对于这四种情况都成立。请大家猜想(a+b)n=？问题：你能猜想()nab的展开式吗？师：你很了不起！牛顿当年的结论跟你的一摸一样！请坐下。师：咱们班的学生都很聪明啊，只要肯努力，说不定，将来你们中间会出一个牛顿一样的人物！这里的nN。6、引导学生发现一般项。（暂不称通项）切换若学生的回答中含有-knkknCab项，则，提问：展开式中的哪一项具有一般性？单击否则提问：展开式中的每一项a、b的指数各不相同，你能用一个式子表示它们吗？师：我们通常在展开式中写出这一项。师：它是第几项？生：第k+1项；师：其中k可以取那些值？生：k=0,1,…,n;学生说教师单击：逐项显示板书：猜想：板书：展开式语言激励！板书：nN板书：加入-knkknCab体验感知探索发现7、证明二项式定理。师：猜想的结论不一定正确，因此必须经过证明。怎样证明这个结论呢？师：其实，只要说清楚两点即可。①展开式中会有哪几种类型的项？②展开式中各项的系数是多少？先来说明第①点。(a+b)n是n个(a+b)相乘，由于展开式中每一项都是从这n个(a+b)中各任取一个字母相乘得到的，因此每一项都是an-kbk的形式，由于最少取0个b，最多取n个b，因此，k=0,1,…,n;这就说清楚了，展开式中会有哪几种类型的项？再来解释第②点。因为an-kbk是从这n个(a+b)中取k个b,n-k个a相乘得到的,而共有knC种取法，也就是说,有knC种情形，相乘后可以得到an-kbk，合并同类项后，该项的系数就是knC，这样就得到了它的展开式。师：回顾这一证明，它主要运用了计数原理对展开式中会有哪几种类型的项进行了分类讨论，并对系数是多少进行了说明。师：请同学们打开书本，翻到第30页，课本对该等式也进行了证明，同样运用了计数原理，但思路略有不同，请同学们课后再认真阅读。8、提出“二项式定理”的概念。师：经过证明后的这个公式就叫做二项式定理。单击巡视2分钟单击单击单击单击板书：二项式定理概念理解1、初步应用，熟悉公式。师：下面，请同学们做一个小练习。(1)nx0122kknnnnnnnCCxCxCxCx师：这个例子说明，定理中的ab、仅仅是一种符号，它可以是任意的数或式子什么的，只要是两项相加的n次幂，就能运用二项式定理展开。2、掌握特点，熟记公式。师：其中公式的右边叫做(a+b)n的二项展开式。师：这个二项展开式的项数、次数、系数有什么规律？生：。。。3、认识二项展开式的通项。师：我们把一般项-knkknCab叫做二项展开式的通项。师：它是第几项？…所以用1kT表示。师：k的取值？生：从0到n。板书：1.项数：共1n项；2.次数：n；3.系数：knCk=0,…,n;4、通项：1kT-knkknCabk=0,1,…,n;实战演练提升能力师：请同学们完成例1，将解答过程写在卡片纸上。例1、61(2)xx求的展开式.师：我们来看这位同学的解答。。。，他很细心，注意到了定理的左边是(a+b)n，他将2x看做a，将1x看做b，再运用二项式定理依次展开，解法不错！但他还没有算完，注意：像例1这样求展开式，答案一定要化到最简形式，化简后的结果应该是这样的……。单击师：他的解法就是直接展开。师：这里还有一种不同的解法。这位同学先通分化简，然后运用二项式定理展开。显然，他的计算难度小了许多，这是个很聪明的解法。师：他的解法是先化简后展开。{师：哪些同学是用这种方法的？请举手。…嗯，请放下！}师：同学们在解题中要经常想一想有没有简便的方法。师：继续看这道题，观察展开式的第三项，解题过程中出现了两个系数。一个是刚才我们讲过的26C，还有一个是240.这师：两个系数相等吗？240是怎么算出来的？师：为了区别这两个系数，我们将组合数26C称作第三项的二项式系数，将240称作第三项的系数，显然二项式系数和系数是两个不同的概念，二项式系数就是一个组合数，与a、b无关，而系数与a、b有关。师：另外我们把将“240x”的称作第三项。板书：例1巡视1分钟收三张卡片纸板书：方法1.直接展开板书：方法2.先化简后展开板书：4、改“二项式系数”与a、b无关5、系数：与a、b有关实战演练提升能力师：请同学们完成例2，将解答过程写在卡片纸上。例2、化简:(x-1)4+4(x-1)3+6(x-1)2+4(x-1)+1.师：我们来看这位同学的解答。。。，他将原式中的系数1、4、6、4、1改写成组合数的形式，然后就变形化为[(x-1)+1]4，最后等于x4。师：能看懂它的解法吗？师：很显然，他将(x-1)当做一个整体，看作公式中的那个字母？a还是b？…a！很好师：b呢？不错，b看成是1！师：那么，变形后式子完全符合二项展开式的结构特征，这样倒过来用二项式定理，一下就得到了答案。这位同学观察入微、思路清晰，同时对全局的把握也很好，适合当领导啊！师：这种方法就是逆用定理。师：哇，其他同学都是这种解法！看来，你们都能当领导啊！板书：例2巡视1分钟收三张卡片纸板书：逆用定理翻看卡片思维拓展师：请同学们完成拓展练习：1.求(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)的展开式中含x4项的系数.师：这位同学…生：师：15，很好，解释一下怎么算出来的？生：师：说得很清楚，请坐下。师：这道题，不能直接套用公式。但这位同学很聪明，他运用计数原理分析：x4项有哪些情形可以得到？从而顺利的解出了此题。师：其实，他用的这种方法，就是我们在推导二项式定理时所使用的方法！{我们在证明定理时，就是运用了计数原理对展开式中会有哪几种类型的项进行了分类讨论，并对系数是多少进行了说明。}师：此题是08年的浙江高考题。通过这个题，我们发现，有的时侯，二项式定理所蕴含的数学思想方法比这个定理本身更有用！所以，同学们不能仅仅满足于会使用二项式定理，还要掌握运用计数原理分析问题的这种方法，这种方法用的好的话，许多难题，都能迎刃而解！2.求(x+2y+z)6的展开式中含xy2z3项的系数.（备用题）板书：拓展练习巡视1分钟辅导：有哪些情形可以得到这一项？板书：444442345xxxxx用计数原理分析：①项②系数辅导：同上感悟分享师：同学们，今天我们沿着大数学家牛顿的足迹，重温了他探究、发现二项式定理的过程。其实，牛顿并没有满足于这个结论，后来牛顿将它推广到了更一般的情况，牛顿这种不断求索的精神是值得我们学习的！师：在这短暂的时光里，我们因探索而体验快乐；因发现而感到兴奋；因收获而倍感充实！师：今天我们收获了什么呢？请同学们谈一谈自己的收获和体会。师：有哪些数学思想方法值得总结？生：师：同学们说得都很好。我认为，知识背后所蕴含的思想方法更值得大家去总结。思想：①特殊到一般再回到特殊②“观察—类比—归纳—猜想—证明”的思维方法，是人们发现事物规律