《初中数学学科基础》各章节习题

1第一章1.结合数系扩充的历程，谈谈你对数系扩充的理解。“数”的产生成为人类文明发展的一个重要的标志。人类从识别事物多寡的原始的数觉能力，到抽象的“数”概念的形成，经历了一个缓慢渐进的过程。第一次扩充：分数的引进；第二次扩充：0的引进；第三次扩充：负数的引进；第四次扩充：无理数的引进；第五次扩充：复数的引进。数的理论研究，首先要建立起自然系，然后在此基础上逐步加以扩充，从原有数集扩充到新数集所遵循的原则：（一）原数集是扩充后新数集的真子集；（二）原数集定义的元素间的关系和运算在新数集中同样地被定义；（三）原数集中的元素在新数集中定义的运算结果与在原数集中的运算结果一致，且基本运算律保持；（四）在原数集中不能施行或不能完全施行的某种运算，在新数集中能够施行；（五）新数集是满足上述四条的数集中的最小数集。2.简述“数”发展到“式”的重要意义。人类从“数”的具体运算到利用“式”或者符号进行抽象的运算，却经历了漫长的岁月。而这一数值计算过程的符号化过程，不仅导致了运算形式化、程序化及规则的公理化，也包含了计算对象扩大化，即数系的扩大化问题。将抽象的符号运算应用到更一般的对象上，也即实现了代数化将直接导向数学的机械化，开辟了构造数学的新方向，为抽象代数学的发展埋下了伏笔，也成为近代数学的显著特征。而这一切都要归功于被誉为代数学之父的法国数学家韦达，在他之前，人们只解决带有数字系数的方程，虽然知道可以用同样的方法来求解，但却认为任意两个不同数字系数的一元二次方程是不一样的。而韦达用ax2+bx+c=0一般地表示一元二次方程，其中字母系数可以表示任何数，因为把方程由数字系数抽象到了字母系数，于是研究的是整个一类方程的计算，对于具体数字的计算只要带入求根公式就可以了。由此可见，从数字抽象到符号体系，得到的结果往往就具有了一般性，因而也就具有了更加广泛的应用性。由此可见，人类从事物抽象到数字固然实现了人类抽象思维的第一次飞跃，然而从数字到符号表达的第二次抽象对人类思维和发展的影响无疑更加巨大，更有划时代的意义。3.方程概念的核心思想是什么？方程借助用字母表示数的代数思想，将未知数同已知数一起描述问题的代数表达形式，形成了方程的基本思想。这种思想改变了算术中已知与未知相对立的问题。不仅是学生将来解决实际问题的重要方法，而且它是代数思想的重要应用，有利于培养用字母表示数的方程与方程组的基本理论与方法，强化对方程思想的认识。方程思想具有很丰富的含义，其核心体现在：一是模型思想，二是化归思想。因此，对于初中生来说，学习方程内容最主要的事情集中在两个方面。一方面是建模，另一方面是会解方程。《数学课程标准》指出，“方程是刻画现实世界的有效模型”。这是因为，现实世界的许多数量关系，都可以归结为一种特别的“式”的相等关系，成为一种抽象的模型。24.简述不等式蕴含的思想？关于不等式的重要思想和方法主要包含如下几种重要的思想:（一）模型思想：通过分析实际问题中的数量关系，列出不等式，通过解不等式得到实际问题的答案，这就体现了不等式的模型思想。同时，这种模型经常与函数、方程联系在一起，三者都是刻画现实世界中量与量之间变化规律的重要模型，在解决实际问题时，要合理选择这三种重要的数学模型。（二）辩证思想：值得一提的是，可别小看这种思想，恰当地运用这种思想可以轻松地化解相当多的问题——教材中的“不等式”一章中的大部分问题几乎都可以利用这种思想方法加以解决。（三）数形结合思想：我们不仅要会解不等式并能运用数轴表示不等式的解集，而且，解不等式组时往往需要借助数轴,这些都是数形结合思想的具体体现。总之，在解决不等式的有关问题时，我们要注意数形结合，尤其是要联系数轴或者函数、方程、等式等内容，注意不等式与等式之间的转换。同时，要深刻体会不等关系的广泛存在性，注意使用恰当的不等式来刻画这种不等关系，这也就是“建立不等式的模型”。5.函数概念的核心思想是什么？函数概念已经成为初中数学中最为重要概念之一。在初中数学课程改革和数学教学中，深刻理解函数的核心思想，把握函数定义的本质，对处理好函数这部分内容的教学至关重要。通过对函数各种定义的梳理，我们可以看到函数概念的核心思想。在整个基础教育阶段，数学的核心是研究关系，具体来说，是研究三种关系，即数量关系、图形关系和随机关系。函数研究的是两个变量之间的数量关系：一个变量的取值发生了变化，另一个变量的取值也发生变化，这就是函数表达的数量之间的对应关系。其中有三点是重要的，一是变量的取值是实数；二是因变量的取值是唯一的；三是必须借助数字以外的符号表示函数。第二章：1.直观几何主要包含哪些内容？1、以大量丰富的实例为背景，通过观察、操作来探索认识基本图形的性质。这些基本图形主要包括点、线、面、角、平行线、相交线、三角形四边形、圆等，除此之外，还包括尺规作图、视图和投影等。这些内容构成直观几何的重要组成部分。2.推理包含哪些类别？2.、推理一般包括合情推理和演绎推理。合情推理是从已有的事实出发，凭借经验和直觉，通过归纳和类比等推测某些结果。演绎推理是从已有的事实（包括定义、公理、定理等）出发，按照规定的法则证明（包括逻辑和运算）结论。在解决问题的过程中，合情推理有助于探索解决问题的思路，发现结论；演绎推理用于证明结论的正确性。二、论述题3.在初中学教学中，几何课程的设计有哪些基本特点？其核心课程教学目标是怎样的？新理念下义务教育几何课程的设计风格，既不是典型的直观几何、实验几何，也不是以往的综合几何，而应该广泛吸收直观几何、实验几何的特点，采取分段设计的课程风格，即，经验几何（直观几何、实验几3何）与综合几何（以论证为主）分段处理，有所侧重。其中，初中阶段属于从直观几何、实验几何逐步过渡到综合几何、论证几何的关键阶段，七年级仍是直观几何、实验几何，但包含一点点说理，而九年级已经是综合几何、推理几何，虽然其公理体系与欧式公理体系有所不同。在初中“图形与几何”的核心课程教学在于，帮助学生建立空间观念，注重培养学生的几何直观与推理能力。三、案例分析题4.如何评价欧几里得以及欧几里得几何学的贡献？欧几里得的杰出工作，使以前类似的东西黯然失色。该书问世之后，很快取代了以前的几何教科书，而后者也就很快在人们的记忆中消失了。《几何原本》是用希腊文写成的，后来被翻译成多种文字。它首版于1482年，即谷登堡发明活字印刷术30多年之后。自那时以来，《几何原本》已经出版了上千种不同版本。在训练人的逻辑推理思维方面，《几何原本》比亚里土多德的任何一本有关逻辑的著作影响都大得多。在完整的演绎推理结构方面，这是一个十分杰出的典范。正因为如此，自本书问世以来，思想家们为之而倾倒。欧几里得的这本著作是现代科学产生的一个主要因素。科学绝不仅仅是把经过细心观察的东西和小心概括出来的东西收集在一起而已。科学上的伟大成就，就其原因而言，一方面是将经验同试验进行结合；另一方面，需要细心的分析和演绎推理。我们不清楚为什么科学产生在欧洲而不是在中国或日本。但可以肯定地说，这并非偶然。毫无疑问，像牛顿、加利略、白尼和凯普勒这样的卓越人物所起的作用是极为重要的。也许一些基本的原因，可以解释为什么这些出类拔革的人物都出现在欧洲，而不是东方。或许，使欧洲人易于理解科学的一个明显的历史因素，是希腊的理性主义以及从希腊人那里流传下来的数学知识。对于欧洲人来讲，只要有了几个基本的物理原理，其他都可以由此推演而来的想法似乎是很自然的事。因为在他们之前有欧里得作为典范（总的来讲，欧洲人不把欧几里得的几何学仅仅看作是抽象的体系；他们认为欧几里得的公设，以及由此而来的定理都是建立在客观现实之上的）。在大多数情况下，欧几里得的几何学可以给出十分近似于现实世界的结论。从数学教育的角度看，欧几里得的逻辑结构是串联型而不是放射型的，《几何原本》的每一节都那么重要，一节学不好，继续前进的路就断了，更令人头痛的是它没有提供一套强有力的、通用的解题方法。主要解题工具是三角形的全等和相似，而许多几何图形中不包含全等或相似三角形，因此，往往要作辅助线，从而几何被公认为难学的一门课程。欧几里得的逻辑结构与整个数学大系统匹配得不好：它既不以小学所学的几何知识为发展的基础，又不以代数知识为工具，更没有为解析几何和高等数学的出现打下伏笔。因而，欧式几何几乎是历次中外数学课程教学改革的焦点。5.如何评价直观几何、实验几何与综合几何的区别？不同的课程目标和价值取向；不同的教育学、心理学基础和不同的师生关系；不同的课程设计风格；不同的教学要求。第三章：一、简答题：1、试论数理统计方法的基本步骤。用数理统计方法解决一个实际问题，一般有如下几个步骤：建立数学模型，收集整理数据，进行统计推断、预测和决策。当然，这些环节不能截然分开，也不一定按上述次序，有时是互相交错的。（1）模型的选择和建立。（2）数据的收集。（3）安排特定实验以收集数据，这些特定的实验要有代表性，并使所得数据便于进行分析。（4）数据整理。（5）统计推断。（6）统计预测。（7）统计决策。2、如何理解概率和频率的关系。在初中数学中，概率的概念是通过频率来介绍的。通常称为概率的‘统计’定义。事实上，这种定义只是一种描述性的说法，并不严格。因此，老师们一定不要去细究这种说法在用词上的含义。（在现代数学中，‘概率’是用公理化的方式给出的，超出了我们讨论的范4围。）比如，我们说，当试验次数很多时，频率会‘稳定’在一个常数附近。什么叫‘稳定’就是含糊的。而且这个定义有‘循环定义’之嫌。当我们说，如果试验次数很多，频率偏离这个常数大的可能性很小时。这里的‘可能性’就是概率。（类似地，在古典概率中的‘等可能性’就是指概率相等。也是循环定义。）4、（10分）小华与小丽设计了A、B两种游戏：游戏A的规则：用3张数字分别是2，3，4的扑克牌，将牌洗匀后背面朝上放置在桌面上，第一次随机抽出一张牌记下数字后再原样放回，洗匀后再第二次随机抽出一张牌记下数字．若抽出的两张牌上的数字之和为偶数，则小华获胜；若两数字之和为奇数，则小丽获胜。游戏B的规则：用4张数字分别是5，6，8，8的扑克牌，将牌洗匀后背面朝上放置在桌面上，小华先随机抽出一张牌，抽出的牌不放回，小丽从剩下的牌中再随机抽出一张牌．若小华抽出的牌面上的数字比小丽抽出的牌面上的数字大，则小华获胜；否则小丽获胜。请你帮小丽选择其中一种游戏，使她获胜的可能性较大，并说明理由．用列表法所有可能出现的结果共有9种，其中两数字之和为偶数的有5种，所以游戏A小华获胜的概率为，而小丽获胜的概率为．即游戏A对小华有利，获胜的可能性大于小丽．对游戏B：画树状图或用列表法所有可能出现的结果共有12种，其中小华抽出的牌面上的数字比小丽大的有5种；根据游戏B的规则，当小丽抽出的牌面上的数字与小华抽到的数字相同或比小华抽到的数字小时，则小丽获胜．所以游戏B小华获胜的概率为，而小丽获胜的概率为．即游戏B对小丽有利，获胜的可能性大于小华．5、（10分）一只箱子里共有3个球，其中2个白球，1个红球，它们除颜色外均相同。（1）从箱子中任意摸出一个球是白球的概率是多少？（2）从箱子中任意摸出一个球，不将它放回箱子，搅匀后再摸出一个球，求两次摸出球的都是白球的概率，并画出树状图。5解：（1）从箱子中任意摸出一个球是白球的概率是（2）记两个白球分别为白1与白2，画树状图如图所示：从树状图可看出：事件发生的所有可能的结果总数为6，两次摸出球的都是白球的结果总数为2，因此其概率.6、（10分）汶川地震牵动着全国亿万人民的心，某校为地震灾区开展了“献出我们的爱”赈灾捐款活动．八年级（1）班50名同学积极参加了这次赈灾捐款活动，下表是小明对全班捐款情况的统计表：因不慎两处被墨水污染，已无法看清，但已知全班平均每人捐款38元．（1）根据以上信息请帮助小明计算出被污染处的数据，并写出解答过程．（2）该班捐款金额的众数、中位数分别是多少？解：（1）被污染处的人数为11人。设被污染处的捐款数为x元，则11x+1460=50×38解得x=40。答：（1）被污染处的人数为11人，被污染处的捐款数为4