_定积分的简单应用课件

§3定积分的简单应用•利用定积分的思想方法解决一些简单曲边图形的面积、变速直线运动的路程、变力作功等问题．本节重点：应用定积分的思想方法，解决一些简单的诸如求曲边梯形面积、变速直线运动的路程、变力作功等实际问题．•本节难点：把实际问题抽象为定积分的数学模型．•1．在利用定积分求平面图形的面积时，一般要先画出它的草图，再借助图形直观地确定出被积函数以及积分的上、下限．•2．要把定积分和用定积分计算平面图形的面积这两个概念区分开，定积分是一种积分和的极限，可为正，也可为负或零；而平面图形的面积在一般意义下总为正，因此当f(x)≤0时要通过绝对值处理为正．•3．用定积分解决简单的物理问题，关键是要结合物理学中相关的内容，将物理问题转化为定积分解决．•1．利用定积分求平面图形的面积的步骤•(1)画出草图，在直角坐标系中画出曲线或直线的大致图象;•(2)借助图形确定出被积函数;•(3)确定积分的，需要求出交点的坐标;•(4)把所求转化为求曲边梯形的面积问题．上、下限图形的面积问题2．变速直线运动的路程作变速直线运动的物体所经过的路程s，等于其速度函数v＝v(t)(v(t)≥0)在时间区间[a，b]上的定积分，即s＝abv(t)dt.3．变力作功一物体在恒力F(单位：N)的作用下做直线运动，如果物体沿着与F相同的方向移动了sm，则力F所作的功为W＝Fs.如果物体在变力F(x)的作用下沿着与F(x)相同的方向从x＝a移动到x＝b.则变力F(x)作的功W＝abF(x)dx.•[例1]如图，求曲线y＝x2与直线y＝2x所围图形的面积S.•[分析]从图形上可以看出，所求图形的面积可以转化为一个梯形与一个曲边梯形面积的差，进而可以用定积分求出面积．为了确定出积分的上、下限，我们需要求出直线和抛物线的交点的横坐标．[解析]由方程组y＝2x，y＝x2，可得x1＝0，x2＝2.故所求图形的面积为S＝022xdx－02x2dx＝x220－13x320＝43.•[点评]求平面图形的面积的一般步骤：(1)画图，并将图形分割成若干曲边梯形；(2)对每个曲边梯形确定其存在的范围，从而确定积分上、下限；(3)确定被积函数；(4)求出各曲边梯形的面积和，即各积分的绝对值之和．•关键环节：①认定曲边梯形，选定积分变量；②确定被积函数和积分上、下限．•知识小结：几种典型的曲边梯形面积的计算方法：(1)由三条直线x＝a、x＝b(ab)、x轴，一条曲线y＝f(x)(f(x)≥0)围成的曲边梯形的面积：S＝abf(x)dx.(2)由三条直线x＝a、x＝b(ab)、x轴，一条曲线y＝f(x)(f(x)≤0)围成的曲边梯形的面积：S＝abf(x)dx.(3)由两条直线x＝a、x＝b(ab)、两条曲线y＝f(x)、y＝g(x)(f(x)≥g(x)≥0)围成的平面图形的面积：S＝ab[f(x)－g(x)]dx.•求y＝－x2与y＝x－2围成图形的面积S.[解析]如图，由y＝x－2y＝－x2得交点A(－2，－4)，B(1，－1)．∴围成图形(阴影部分)的面积为S＝12(－x2－x＋2)dx＝－13x3－12x2＋2x1－2＝29.[例2]求由曲线y＝x，y＝2－x，y＝－13x所围成图形的面积．[分析]由题目可获取以下主要信息：①曲线y＝x，直线y＝2－x，y＝－13x；②曲线与直线相交．解答本题可先求出曲线与直线交点的横坐标，确定积分区间，然后分段利用公式求解．[解析]解法1：画出草图，如图所示．解方程组y＝xx＋y＝2，y＝xy＝－13x及x＋y＝2y＝－13x，得交点分别为(1,1)，(0,0)，(3，－1)．所以S＝01[x－(－13x)]dx＋13[(2－x)－(－13x)]dx＝01(x＋13x)dx＋13(2－x＋13x)dx＝(23x32＋16x2)|10＋(2x－12x2＋16x2)|31＝23＋16＋(2x－13x2)|31＝56＋6－13×9－2＋13＝136.•解法2：若选积分变量为y，则三个函数分别为•x＝y2，x＝2－y，x＝－3y.•因为它们的交点分别为(1,1)，(0,0)，(3，－1)．所以S＝0－1[(2－y)－(－3y)]dy＋01[(2－y)－y2]dy＝0－1(2＋2y)dy＋01(2－y－y2)dy＝(2y＋y2)|0－1＋(2y－12y2－13y3)|10＝－(－2＋1)＋2－12－13＝136.•[点评]由两条或两条以上的曲线围成的较为复杂的图形，在不同的区段内位于上方和下方的函数有所变化，通过解方程组求出曲线的不同的交点坐标，可以将积分区间进行细化区段，然后根据图象对各个区段分别求面积进而求和，在每个区段上被积函数均是由上减下；若积分变量选取x运算较为复杂，可以选y为积分变量，同时更改积分的上下限．•求由曲线xy＝1及直线y＝x，y＝2所围成的平面图形的面积．[解析]解法1：由xy＝1y＝x得x＝1y＝1或x＝－1y＝－1(舍)．以y为积分变量可得面积为S＝12(y－1y)dy＝(12y2－lny)|21＝32－ln2.•[例3]有一动点P沿x轴运动，在时间t时的速度为v(t)＝8t－2t2(速度的正方向与x轴正方向一致)．求•(1)P从原点出发，当t＝6时，求点P离开原点的路程和位移；•(2)P从原点出发，经过时间t后又返回原点时的t值．•[解析](1)由v(t)＝8t－t2≥0得0≤t≤4，•即当0≤t≤4时，P点向x轴正方向运动，•当t4时，P点向x轴负方向运动．•故t＝6时，点P离开原点的路程s1＝04(8t－2t2)dt－46(8t－2t2)dt＝(4t2－23t3)|40－(4t2－23t3)|64＝1283.当t＝6时，点P的位移为06(8t－2t2)dt＝(4t2－23t3)|60＝0.(2)依题意0t(8t－2t2)dt＝0，即4t2－23t3＝0，解得t＝0或t＝6，t＝0对应于P点刚开始从原点出发的情况，t＝6是所求的值．•[点评]路程是位移的绝对值之和，从时刻t＝a到时刻t＝b所经过的路程s和位移s′情况如下：(1)若v(t)≥0，则s＝abv(t)dt；s′＝abv(t)dt.(2)若v(t)≤0，则s＝－abv(t)dt；s′＝abv(t)dt.(3)若在区间[a，c]上v(t)≥0，在区间[c，b]上v(t)0，则s＝acv(t)dt－cbv(t)dt，s′＝abv(t)dt.所以求路程时要事先求得速度的正负区间．•将本例第(1)问中的t＝6改为t＝5，结果会怎样？[解析]当t＝5时，P点经过的位移s1和路程s2分别为：s1＝05(8t－2t2)dt＝(4t2－23t3)|50＝503.此时点P在x轴正方向上距原点503处．s2＝04(8t－2t2)dt－45(8t－2t2)dt＝(4t2－23t3)|40－(4t2－23t3)|54＝26.•[例4]一物体按规律x＝bt3做直线运动，式中x为时间t内通过的距离，媒质阻力与速度的平方成正比，试求物体由x＝0运动到x＝a时，阻力所做的功．[分析]由运动规律可求得物体的速度，再由已知F阻＝kv2，最后由W＝0tkv2·vdt，求得阻力所做的功．[解析]v＝dxdt＝(bt3)′＝3bt2，媒质阻力F阻＝kv2＝k(3bt2)2＝9kb2t4，其中k为比例常数，k0.当x＝0时，t＝0，当x＝a时，t＝ab13，ds＝vdt，故阻力做的功为W阻＝0tkv2·vdt＝k0tv3dt＝k0t(3bt2)3dt＝277k3a7b2.•[点评]本题常见的错误是在计算所做的功时，误将W阻＝∫t10F阻ds写为∫t10F阻dt.对于已知运动规律求做功的问题，首先确定其运动速度，进而由ds＝vdt来确定做功的积分式W＝0tFvdt.•设有一长25cm的弹簧，若加以100N的力，则弹簧伸长到30cm，求使弹簧由25cm伸长到40cm所做的功．•[解析]设x表示弹簧伸长的厘米数，F(x)表示加在弹簧上的力，则F(x)＝kx.•依题意，使弹簧伸长5cm，需力100N，即100＝5k，•∴k＝20.•∴F(x)＝20x.•由x＝0到x＝15，力F(x)所作的功W＝∫15020xdx＝10x2150＝2250(N·cm)．•[答案]C•[解析]∵y＝x3与y＝x为奇函数且x≥0时，交于(0,0)和(1,1)．一、选择题1．曲线y＝x3与直线y＝x所围成图形的面积等于()A.1－1(x－x3)dxB.1－1(x3－x)dxC．201(x－x3)dxD．20－1(x－x3)dx∴围成图形的面积为201(x－x3)dx，故应选C.•2．已知自由落体的速率v＝gt，则落体从t＝0到t＝t0所走的路程为()•[答案]CA.13gt20B．gt20C.12gt20D.16gt20[解析]如果变速直线运动的速度为v＝v(t)(v(t)≥0)，那么从时刻t＝a到t＝b所经过的路程是abv(t)dt，∴＝12gt2t00＝12g(t20－0)＝12gt20.故应选C.•3．如果1N能拉长弹簧1cm，为了将弹簧拉长6cm，所耗费的功为()•A．0.18JB．0.26J•C．0.12JD．0.28J•[答案]A•[解析]设F(x)＝kx，则拉力1N时，x＝0.01m，•∴k＝100.4．求曲线y＝sinx与直线x＝－π2，x＝54π，y＝0所围图形的面积为________．[答案]4－225．若两曲线y＝x2与y＝cx3(c＞0)围成的图形的面积是23，则c＝________.[答案]12[解析]曲线y＝x2与y＝cx3的交点为1c，1c2.由题意知(x2－cx3)dx＝13x3－c4x41c0＝112c3＝23.∴c＝12.三、解答题6．一物体作变速直线运动，其v－t曲线如图所示，求该物体在12s～6s间的运动路程．