《勾股定理》特色题讲解北师大版

1《勾股定理》之特色题本文将在各地课改实验区的中考试题中，涉及《勾股定理》知识内容的特色创新题采撷几例，供读者学习鉴赏．一、清新扮靓的规律探究题例1（成都市）如图，如果以正方形ABCD的对角线AC为边作第二个正方形ACEF，再以对角线AE为边作第三个正方形AEGH，如此下去，…，已知正方形ABCD的面积1S为1，按上述方法所作的正方形的面积依次为23SS，，…，Sn（n为正整数），那么第8个正方形的面积8S＝_______．【解析】：求解这类题目的常见策略是：“从特殊到一般”．即是先通过观察几个特殊的数式中的变数与不变数，得出一般规律，然后再利用其一般规律求解所要解决的问题．对于此题，由勾股定理、正方形的面积计算公式易求得：2111S，22(2)2S2324S24(22)8S照此规律可知：25416S，观察数1、2、4、8、16易知：0123412,22,42,82,162，于是可知12nnS因此，817822128S二、考查阅读理解能力的材料分析题例2（临安）阅读下列题目的解题过程：已知a、b、c为ABC的三边，且满足acbcab222244，试判断ABC的形状．解：acbcabA222244()2222222222()()()()()ABCcabababBcabC是直角三角形问：（1）上述解题过程，从哪一步开始出现错误？请写出该步的代ABCDEFGHIJ2号：；（2）错误的原因为：（3）本题正确的结论为：.【解析】：材料阅读题是近年中考的热点命题，其类型多种多样，本题属于“判断纠错型”题目．集中考查了因式分解、勾股定理等知识．在由acbcab222244得到等式2222222()()()cababab没有错，错在将这个等式两边同除了一个可能为零的式子22ab．若220ab，则有()()0abab，从而得ab，这时，ABC为等腰三角形．因此：(1)选C．(2)没有考虑220ab(3)ABC是直角三角形或等腰三角形三、渗透新课程理念的图形拼接题例3（长春）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3．在Rt△ABC的外部拼接一个合适的直角三角形，使得拼成的图形是一个等腰三角形，如图所示．要求：在答题卡的两个备用图中分别画出两种与示例不同的拼接方法，并在图中标明拼接的直角三角形的三边长．（请同学们先用铅笔画现草图，确定后再用0.5毫米的黑色签字笔画出正确的图形）示例图备用图【解析】：要在Rt△ABC的外部拼接一个合适的直角三角形，使得拼成的图形是一个等腰三角形，关键是腰与底边的确定；要求在图中标明拼接的直角三角形的三边长，这需要用到勾股定理知识．下面四种拼接方法可供参考．3四、极具“热点”的动态探究题例4（泉州）:如图１，一架长4米的梯子AB斜靠在与地面OM垂直的墙壁ON上，梯子与地面的倾斜角α为60．⑴求AO与BO的长；⑵若梯子顶端A沿NO下滑，同时底端B沿OM向右滑行.如图2，设A点下滑到C点，B点向右滑行到D点，并且AC:BD=2:3，试计算梯子顶端A沿NO下滑多少米?【解析】：对于没有学习解直角三角形知识的同学而言，求解此题有一定的难度．但若是利用等边三角形就可以推出的一个性质：“在直角三角形中，如果一个锐角等于30，那么它所对的直角边等于斜边的一半”，结合勾股定理求解，还是容易解答的．⑴AOBRt中,∠O=90,∠α=60∴,∠OAB=30，又ＡＢ＝4米，∴122OBAB米.由勾股定理得：22OAABOB22421223（米）.⑵设2,3,ACxBDx在CODRt中,232,23,4OCxODxCD4根据勾股定理:222OCODCD∴222232234xx-∴21312830xx∵0x∴0381213x∴831213x所以，AC=2x=1632413即梯子顶端A沿NO下滑了1632413米.5勾股定理中的常见题型例析勾股定理是几何计算中运用最多的一个知识点．考查的主要方式是将其综合到几何应用的解答题中，常见的题型有以下几种：一、探究开放题例1如图1，设四边形ABCD是边长为1的正方形，以正方形ABCD的对角线AC为边作第二个正方形ACEF，再以第二个正方形的对角线AE为边作第三个正方形AEGH，如此下去……．（1）记正方形ABCD的边长为1a＝1，依上述方法所作的正方形的边长依次为2a，3a，4a，…，na，求出2a，3a，4a的值．（2）根据以上规律写出第n个正方形的边长na的表达式．分析：依次运用勾股定理求出a2，a3，a4，再观察、归纳出一般规律．解：(1)∵四边形ABCD为正方形，∴AB=BC=CD=AD=1．由勾股定理，得AC＝222ABBC，同理，AE=2，EH=22．即a2=2，a3=2，a4=22．(2)∵011(2)a，122(2)a，232(2)a，3422(2)a，∴1(2)nna1,nn是自然数．点拨：探究开放题形式新颖、思考方向不确定，因此综合性和逻辑性较强，它着力于考查观察、分析、比较、归纳、推理等方面的能力，对提高同学们的思维品质和解决问题的能力具有十分重要的作用．二、动手操作题例2如图2，图（１）是用硬纸板做成的两个全等的直角三角形，两条直角边长分别为a和b，斜边长为c．图（２）是以c为直角边的等腰直角三角形．请你开动脑筋，将它们拼成一个能证明勾股定理的图形．（１）画出拼成的这个图形的示意图，写出它是什么图形；6（２）用这个图形证明勾股定理；（３）假设图（１）中的直角三角形有苦干个，你能运用图（１）所给的直角三角形拼出另一种能证明勾股定理的图形吗？请画出拼后的示意图（无需证明）．解：（1）所拼图形图3所示，它是一个直角梯形．（2）由于这个梯形的两底分别为a、b，腰为（a+b），所以梯形的面积为211()()()22ababab．又因为这个梯形的面积等于三个直角三角形的面积和，所以梯形的面积又可表示为：2111222ababc．∴221111()2222abababc．∴222abc．（3）所拼图形如图4．点拨：动手操作题内容丰富，解法灵活，有利于考查解题者的动手能力和创新设计的才能。本题通过巧妙构图，然后运用面积之间的关系来验证勾股定理。三、阅读理解题例3已知a，b，c为△ABC的三边且满足a2c2－b2c2=a4－b4，试判断△ABC的形状．小明同学是这样解答的．解：∵a2c2－b2c2=a4－b4，∴2222222cababab∴222?cab．订正：∴△ABC是直角三角形．横线与问号是老师给他的批注，老师还写了如下评语：“你的解题思路很清晰，但解题过程中出现了错误，相信你再思考一下，一定能写出完整的解题过程．”请你帮助小明订正此题，好吗？分析：这类阅读题在展现问题全貌的同时，在关键处留下疑问点，让同学们认真思考，以补充欠缺的部分，这相当于提示了整体思路，而让学生在整体理解的基础上给予具体的补缺．因此，本题可作如下订正：解：∵a2c2－b2c2=a4－b4，∴2222222cababab．∴222220abcab，∴220ab或222cab．∴ab或222cab．∴△ABC是等腰三角形或直角三角形．7点拨：阅读理解题它与高考中兴起的信息迁移题有异曲同工之巧．解决的关键是抓住疑问点，补全漏洞．四、方案设计题例4给你一根长为30cm的木棒，现要你截成三段，做一个直角三角形，怎样截取（允许有余料）？请你设计三种方案．分析：构造直角三角形，可根据勾股定理的逆定理来解决．解：方案一：分别截取3cm，4cm，5cm；方案二：分别截取6cm，8cm，10cm；方案三：分别截取5cm，12cm，13cm．点拨：本题首先依据勾股定理的逆定理进行分析，设计出方案，然后再通过测量、截取、加工等活动方能完成．既要思考，又要动手．让学生在这个过程中，体会做数学的快乐．五、实际应用题例5如图5，三个正方形形状的土地面积分别是74英亩、116英亩、370英亩，三个正方形恰好围着一个池塘．现要将这560英亩的土地拍卖，如果有人能计算出池塘的面积，则池塘不计入土地价钱白白奉送，英国数学家巴尔教授曾经巧妙地解答了这个问题，你能解决吗？分析：巴尔教授解决这个问题时首先发现三个正方形的面积74、116、370相当于池塘的三条边的平方，因而联想到勾股定理，得74=52+72，116=42+102，370=92+172．于是作出图6，运用勾股定理的逆定理，问题就得以解决．解：∵74=52+72，∴AB是两直角边分别为5和7的直角三角形的斜边，作出这个直角三角形，得Rt△ABE．同理，作Rt△BCF，其中BF=4，FC=10．延长AE、CF交于D，则AD=9，CD=17，而AC2=370=92+172=AD2+CD2，∴△ACD是直角三角形，∠ADC=90°．∴ABCADCAEBBCFEDFBSSSSS=111179751044711222．点拨：本题的关键是运用勾股定理和它的逆定理构造新图形，用构造法解题的思想，有8助于提高运用数学知识解决实际问题的能力．勾股定理的逆定理典例分析例1如果一个三角形的三边长分别为，则这三角形是直角三角形分析：验证三边是否符合勾股定量的逆定理证明：∵∴∵∠C＝说明：勾股定理的逆定理给出了判定一个三角形是直角三角形的方法，与前面学习的方法不同，它需要通过代数运算算出来．例2已知：如图，四边形ABCD中，∠B＝，AB＝3，BC＝4，CD＝12，AD＝13求四边形ABCD的面积分析：我们不知道这个四边形是否为特殊的四边形，所以将四边形分割为两个三角形，只要求出这两个三角形的面积，四边形的面积就等于这两个三角形的面积和．解：连结AC∵∠B＝，AB＝3，BC＝49∴∴AC＝5∵∴∴∠ACD＝说明：求四边形的面积问题转化为两个三角形的面积问题，在此利用勾股定理的逆定理判定三角形为直角三角形．例3如图，已知：CD⊥AB于D，且有求证：△ACB为直角三角形分析：根据勾股定理的逆定理，只需证即可证明：∵CD⊥AB∴又∵∴10∴△ABC为直角三角形说明：充分利用勾股定理及其逆定理．