§23离散型随机变量及其分布

§2.3离散型随机变量及其分布离散型随机变量及其分布律常用的离散型随机变量及其分布小结练习;,2,1,0)1(kpk.1)2(1kkp..,2,1,}{,}{,),,2,1(的分布律称此为离散型随机变量为的概率即事件取各个可能值的概率所有可能取的值为设离散型随机变量XkpxXPxXXkxXkkkk2.3.1离散型随机变量及其分布律定义性质非负性归一性离散型随机变量的分布律也可表示为nnpppxxxX2121~Xkpnxxx21nppp21(1,2,),.kpk若数列满足上面两个性质就可以作为某个随机变量的分布律说明0,1,1,2,2,26,,(1);(2)(),;133(3){};{1};{1}.222XXFxPXPXPX设袋中装有标号为的个球从袋中任取一球试求:所取到的球的标号数的分布律随机变量的分布函数并画出图形求解(1)X的分布律为kpX01216例113120,0,1,01,6()1,12,21,2.xxFxxx(2)X的分布函数为xo)(xF121/61/211(3){}2PX1;63{1}2PX0;3{1}2PX1.3xxkkpxXPxF}{)(分布函数分布律}{kkxXPp离散型随机变量分布律与分布函数的关系离散型随机变量的分布函数是阶梯函数,分布函数的跳跃点对应离散型随机变量的可能取值点,跳跃高度对应随机变量取对应值的概率;反之,如果某随机变量的分布函数是阶梯函数,则该随机变量必为离散型.说明2.3.2常见的离散型随机变量及其分布设随机变量X只可能取0与1两个值,它的分布律为Xkp0p11p则称X服从(01)分布或两点分布.1.(01)分布实例1“抛硬币”试验,观察正、反两面情况.随机变量X服从(0—1)分布.,1)(eXX,0,正面当e.反面当eXkp012121其分布律为实例2200件产品中,有190件合格品,10件不合格品,现从中随机抽取一件,那末,若规定,0,1X取得不合格品,取得合格品.则随机变量X服从(0—1)分布.Xkp0120019020010两点分布是最简单的一种分布,任何一个只有两种可能结果的随机现象,比如新生婴儿是男还是女、明天是否下雨、种籽是否发芽等,都属于两点分布.说明将试验E重复进行n次,若各次试验的结果互不影响,即每次试验结果出现的概率都不依赖于其它各次试验的结果,则称这n次试验是相互独立的,或称为n次重复独立试验.(1)重复独立试验2.二项分布(2)n重伯努利试验.1)(),10()(.,:pAPppAPEAAE此时　　设为伯努利试验则称及只有两个可能结果　　设试验.,重伯努利试验nnE复的独立试验为则称这一串重次独立地重复地进行　　将伯努利资料实例1抛一枚硬币观察得到正面或反面.若将硬币抛n次,就是n重伯努利试验.实例2抛一颗骰子n次,观察是否“出现1点”,就是n重伯努利试验.(3)二项概率公式,发生的次数重伯努利试验中事件表示若AnX所有可能取的值为则X.,,2,1,0n,)0(时当nkkX.次次试验中发生了在即knA次kAAA,次knAAA次1kAAAAA次1knAAA次的方式共有次试验中发生在得knA,knC种且两两互不相容.Ank因此在次试验中发生次的概率为(1)kknknCpp称这样的分布为二项分布.记为).,(~pnbX的分布律为得X二项分布1n两点分布{}(1),0,1,2,,.kknknPXkCppkn易验证：00{}(1)0;{}(1)[(1)]1.kknknnnkknknnkkPXkCppPXkCpppp二项分布的图形、性质~(,),[(1)],{}XbnpknpPXk若则当时概率取最大值.,[(1)].npn通常称为在次独立试验中最可能的成功次数.,400,02.0,率试求至少击中两次的概次独立射击设每次射击的命中率为某人进行射击解,X设击中的次数为).02.0,400(~bX则的分布律为X400400{}(0.02)(0.98),kkkPXkC.400,,1,0k因此}1{}0{1}2{XPXPXP399400)98.0)(02.0(400)98.0(1.9972.0例2二项分布泊松分布)(nnp说明()(.),,..1002400虽然每次射击的命中率很小但如果射击次则击中目标至少两次是几乎是可以肯定的这说明决不能轻视小概率事件(),,{}.,,.,..2400PX20003002002如果射手在次射击中击中目标的次数竟不到两次由于很小根据实际推断原理我们将怀疑每次射击的命中率为这一假设即认为该射手射击的命中率达不到()~(,),,,,(),,,,,!kkknkn3XbnpnpnpCp1pek012nk若则当较大较小而适中则可以用近似公式3.泊松分布0,1,2,,{}e,0,1,2,,!0.,~().kPXkkkXXP设随机变量所有可能取的值为而取各个值的概率为其中是常数则称服从参数为的泊松分布记为易验证：e0;!kk00eeee1.!!kknnkkkk泊松分布的图形泊松分布的背景二十世纪初卢瑟福和盖克两位科学家在观察与分析放射性物质放出的粒子个数的情况时,他们做了2608次观察(每次时间为7.5秒)发现放射性物质在规定的一段时间内,其放射的粒子数X服从泊松分布.在生物学、医学、工业统计、保险科学及公用事业的排队等问题中,泊松分布是常见的.例如，地震、火山爆发、特大洪水、商场接待的顾客数、交换台的电话呼唤次数、交通事故次数等,都服从泊松分布.又如，某段时间内候车的乘客数、纺纱机的断头数，某页书上的印刷错误的个数等，都可以用泊松分布来描述.泊松分布在各领域中有着广泛的应用.设1000辆车通过,出事故的次数为X,则可利用泊松定理计算,1.00001.01000所求概率为10001999100010.99990.00010.9999C.0047.0!1e1.0!0e11.01.0解}2{XP}1{}0{1}2{XPXPXP),0001.0,1000(~bX例3有一繁忙的汽车站,每天有大量汽车通过,设每辆汽车,在一天的某段时间内出事故的概率为0.0001,在每天的该段时间内有1000辆汽车通过,问出事故的次数不小于2的概率是多少?4.其它离散分布——几何分布若随机变量X的分布律为则称X服从几何分布.实例设某批产品的次品率为p,对该批产品做有放回的抽样检查,直到第一次抽到一只次品为止(在此之前抽到的全是正品),那么所抽到的产品数X是一个随机变量,求X的分布律.,1,qpXkpk21pqppqk1)(}{121kkAAAAPkXP)()()()(121kkAPAPAPAPppppk)1()1()1)(1(.1pqk),2,1(k所以X服从几何分布.说明几何分布可作为描述某个试验“首次成功”的概率模型.解.,3,2,1所取的可能值是X,个产品是正品”表示“抽到的第设iAi离散型随机变量分布律几类常用的离散型随机变量0-1分布二项分布泊松分布☺小结☺12(1)(01),,,1,,(1,2,,)0,(01),,(,).innpiXiniXXXXnp二项分布是分布的推广对于次独立重复伯努利试验每次试验成功的概率为设若第次试验成功若第次试验失败它们都服从分布并且相互独立那末服从二项分布参数为(01)二项分布与分布、泊松分布之间的关系二项分布泊松分布1010.p,n(0-1)分布1n(2),(),,(){}(1)e,!(0,1,2,,).kkknknpnnpnpnnpPXkCppkkn以为参数的二项分布当时趋于以为参数的泊松分布即一大楼装有5部电梯,调查表明在任一时刻t每部电梯被使用的概率为0.1,问在同一时刻:(1)恰有2部电梯被使用的概率是多少?(2)至多有3部电梯被使用的概率是多少?一房间有3扇同样大小的窗子,其中只有一扇是打开的.房间里有一只鸟,试图从开着的窗子飞出房间.以X表示鸟为了飞出房间试飞的次数.(1)假定鸟是没有记忆的,鸟飞向各窗子是随机的.求X的分布律.(2)假定鸟是有记忆的,它飞向任一窗子的尝试不多于一次,求X的分布律.JacobBernoulliBorn:27Dec1654inBasel,SwitzerlandDied:16Aug1705inBasel,Switzerland伯努利资料