《常微分方程》期末试卷

《常微分方程》期末试卷(16)班级学号姓名得分评卷人一、填空题（每小题5分，本题共30分）1．方程xxyxyesindd的任一解的最大存在区间必定是．2．方程04yy的基本解组是．3．向量函数组)(,),(),(21xxxnYYY在区间I上线性相关的________________条件是在区间I上它们的朗斯基行列式0)(xW．4．李普希兹条件是保证一阶微分方程初值问题解惟一的条件．5．n阶线性齐次微分方程的所有解构成一个维线性空间．6．向量函数组)(,),(),(21xxxnYYY在其定义区间I上线性相关的条件是它们的朗斯基行列式0)(xW，Ix．得分评卷人二、计算题（每小题8分，本题共40分）求下列方程的通解7.xyxy2e3dd8.0)d(d)(3223yyyxxxyx9．0exyy10．求方程xyy5sin5的通解．11．求下列方程组的通解．yxtyyxtx4dddd得分评卷人三、证明题（每小题15分，本题共30分）12．设)(1xy和)(2xy是方程0)(yxqy的任意两个解，求证：它们的朗斯基行列式CxW)(，其中C为常数．13．设)(x在区间),(上连续．试证明方程yxxysin)(dd的所有解的存在区间必为),(．《常微分方程》期末试卷参考答案一、填空题（每小题5分，本题共30分）1．),(2．xx2cos,2sin3．必要4．充分5．n6．必要二、计算题（每小题8分，本题共40分）7．解齐次方程的通解为xCy3e令非齐次方程的特解为xxCy3e)(代入原方程，确定出CxCx5e51)(原方程的通解为xCy3e+x2e518．解由于xNxyyM2，所以原方程是全微分方程．取)0,0(),(00yx，原方程的通积分为103023dd)(Cyyxxyxyx即Cyyxx42242。9．解令ty，则原方程的参数形式为tytxte由基本关系式ttxyytd)e1(dd积分有Cttyt)1(e212得原方程参数形式通解Cttytxtt)1(e21e2。10．解方程的特征根为01，52齐次方程的通解为xCCy521e因为ii5不是特征根。所以，设非齐次方程的特解为xBxAxy5cos5sin)(1代入原方程，比较系数得0252512525BABA确定出501A，501B。原方程的通解为)5sin5(cos501e521xxCCyx。11．解特征方程为01411EA即0322。特征根为31，12。31对应特征向量应满足0031413111ba可确定出2111ba同样可算出12对应的特征向量为2122ba所以，原方程组的通解为ttttCCyx2ee2ee2331。三、证明题（每小题15分，本题共30分）12．证明由已知条件，该方程在整个xoy平面上满足解的存在唯一及解的延展定理条件．显然1y是方程的两个常数解．任取初值),(00yx，其中),(0x,10y．记过该点的解为)(xyy，由上面分析可知，一方面)(xyy可以向平面无穷远处无限延展；另一方面又上方不能穿过1y，下方不能穿过1y，否则与惟一性矛盾．故该解的存在区间必为),(．13．证明如果)(1xy和)(2xy是二阶线性齐次方程0)()(yxqyxpy的解，那么由刘维尔公式有x0d)(0e)()(xttpxWxW现在，0)(xp故有CxWxWxWxt)(e)()(0d00x0。