《常微分方程》答案习题5.1

习题5.11.给定方程组x‘=0110－xx=21xx（*）a)试验证u(t)=ttsincos,v(t)=ttcossin分别是方程组（*）的满足初始条件u(0)=01,v(0)=10的解.b)试验证w(t)＝c1u(t)+c2v(t)是方程组（*）的满足初始条件w(0)=21cc的解，其中21,cc是任意常数.解：a)u(0)=0sin0cos=01u'(t)=ttcossin=0110sincos0110ttu(t)又v(0)=0cossino=10v'(t)=ttsincos=0110－ttcossin=0110－v(t)因此u(t),v(t)分别是给定初值问题的解.b)w(0)=1cu(0)+2cu(0)=1c01+2c10=21ccw'(t)=1cu'(t)+2cv'(t)=1cttcossin+2cttsincos=tctctcsincoscossintc2121－=0110－tctctctccossinsincos2121=0110－w(t)因此w(t)是给定方程初值问题的解.2.将下面的初值问题化为与之等价的一阶方程组的初值问题：a)x’‘+2x‘+7tx=et－,x(1)=7,x‘(1)=-2b)x）（4+x=tet,x(0)=1,x‘(0)=-1,x’‘(0)=2,x‘’‘(0)=0c)tcosx15y13y2yey6x7y5xt＝－＋－＝＋－＋‘’‘’‘’x(0)=1,x‘(0)=0,y(0)=0,y‘(0)=1解：a）令x1＝x,x2=x‘,得textxxxxxx21'''22''127即texxtxx0271021'21又x1＝x(1)=7x2(1)=x‘(1)=-2于是把原初值问题化成了与之等价的一阶方程的初值问题：x‘＝,0x2710te＋－－x(1)＝27其中x＝21xx.b)令1x＝x2x＝'x3x＝''x4x＝'''x则得：tttextexxxxxxxxxxx1'44''''33'''22''1且1x(0)=x(0)=1,2x='x(0)=-1,3x(0)=''x(0)=2,4x(0)='''x(0)=0于是把原初值问题化成了与之等价的一阶方程的初值问题：'x=tte000x0001100001000010＋－x(0)=0211－,其中x=4321xxxx.c)令w1＝x，w2＝'x，w3＝y，w4＝y‘，则原初值问题可化为：t且1)0()0(0)0()0(0)0()0(1)0()0('43'21ywywxwxw即wtewtcos00132015100056070010'w(0)=1001其中w＝4321试用逐步逼近法求方程组'x＝0110－xx＝21xx满足初始条件x(0)=21xx的第三次近似解.解：10)(0t1010100110010)(1ttdstt2121010110010)(222ttttdsstt21610210110010)(2323tttdssstt0241201杨素玲