《平几和立几类比的探讨》教案

-1-《平几和立几类比的探讨》教案——中原中学朱学曦(20011211)一、课题：平几和立几类比的探讨二、教学目标：1．通过学生对“平几和立几类比”研究过程的展示，使学生进一步理清怎样利用类比方法猜想出新命题、辨别、论证新命题。2．通过学生的展示、归纳、总结出“平几与立几”中常用的类比方法，用于以后的学习中。3．展示学生经历在教师指导下自主研究的过程，在探求的过程中逐步形成良好的思维习惯。通过讨论、交流、归纳，培养学生的探究能力及合作精神，提高学习的积极性与主动性。三、教学难点重点：重点：平几和立几的类比。难点：用平几和立几的类比来证明、求解立几题。四、教学教具：电脑、幻灯等五、教学过程：（一）、引入（师）同学们我们研究“平面几何和立体几何的类比”已经多时了。平几和立几的类比是一种结构上的类比，也是一种方法和模式上的纵向类比。大家从弄清什么叫类比？类比的对象是什么？并通过类比方法的训练，从而确定如下的类比物：（符号“∽”表示可类比）直线∽直线，直线∽平面，三角形∽四面体，平行四边形∽平行六面体，矩形∽长方形正方形∽正方体，线段长度∽三角形面积，面积∽体积等。大家根据类比物进行了分类，类比出平几和立几中一些定理和命题。在研究过程中总结了一些好的研究方法。现在请几位同学介绍一下，他们是怎样利用类比物，猜想出新命题，辨别、论证新命题的。下面请顾唯洁同学讲一下她是怎样进行研究的。（二）、成果展示1．（生）顾唯洁讲解：我的研究是从熟知的平几命题开始，根据类比物类比出立几中的命题的。“正三角形内任一点到三边距离之和为一定值”这一平几命题。我抓住类比物：三角形类比四面体，点线距离类比点面距离，从而猜想出立几问题：“正四面体内任一点到其四面的距离之和为一定值。”在证明猜想时，我又根据类比物，面积和体积的类比，根据平几中的证明思想类比证明该立几猜想，以下是证明过程：图（1）正三角形内任一点到三边距离之和为一定值。证明：如图（1）设点P到ABCABC,,三边的距离分别为cbaPPP,,连PCPBPA,,，PCaPaAbBcPbPc-2-三边分别为cba,,正三角形的高为h。则:PABPACPBCABCSSSScbacPbPaP212121)(21cbaPPPahaahhSPPPABCcba2122ABC的高h为定值。正四面体内任一点到其四个面的距离之和为一定值。证明：如图（2）设P到四个面的距离依次为dcbaPPPP,,,连结PDPCPBPA,,,正四面体的高为hPDABPCDAPBCDPABCABCDVVVVVDABdCDAcBCDbABCaSPSPSPSP31313131)(31dcbaABCPPPPS图（2）hShSSVPPPPABCABCABCABCDdcba3133正四面体高h为定值。（师）点评：顾唯洁同学通过平几中熟知的命题，抓住类比物中：三角形类比四面体、点到直线的距离、类比点到面的距离。猜想出立几中的命题。并抓住类比物中面积和体积的类比，用平面的证明方法类比出立几的证明方法。从而用求体积的方法证明了猜想，这是类比研究中一个很好的思维方法。下面请姚杰同学讲一讲他是怎样进行研究的？2．（生）姚杰：平几中的射影定理是“三角形的任一边等于其余两边在该边上的射影之和。”我就想在空间是否也有类似的射影定理呢？我抓住类比物：三角形类比四面体，线段长类比三角形面积，猜想出：“四面体任一个面的面积等于其余三个面在该面上的射影之和。”在证明时平面射影定理有锐角三角形和钝角三角形两种情况，通过类比猜想空间射影定理也可能有类似两种情况，根据这样的思想我分别画出了四面体内二面角为锐角和二面角为钝角的四面体。猜想证明时我又抓住类比物，根据平几证明方法证明立几猜想。射影定理，三角形的任一边等于其余两边在该边上的射影之和。证明：作BCAD在图（3）中，有cbBcDCBDacoscos图（3）PdPcPbPaDACBPbACDaBc-3-在图（4）中，有)180cos(coscbBcDCBDacbBcacoscos四面体任一个表面的面积等于其余三个表面在该面上的射影之和。证明：作AO平面BCD，垂足为O，作BCOE垂足为E，图（4）连AE由三垂线定理，BCAE。所以hAE，是ABC的高同理可得ACD的高2h，ABD的高3h。又设点O到BDCDBC,,三边的距离分别为321,,PPP。设,,分别为平面ABDACDABC,,与底面BCD的夹角。由图（5）：OBDOCDOBCBCDSSSS321212121PBDPCDPBCcos21cos21cos21321BDhCDhBChcoscoscosABDACDABCSSS图（5）由图（6）：OCDOBDOBCBCDSSSS231212121PCDPBDPBC)180cos(21cos21cos21231CDhBDhBChcoscoscosABDACDABCSSS图（6）我研究了好多平几和立几中可类比命题，发现在证明过程时，平几命题的证明可类比证明立几的猜想命题。（师）点评：姚杰同学也是抓住了类比物，由平几问题猜想出立几命题，并参照平几证明方法，类比证明立几命题。由此他得到这样一个想法：通过类比得出的猜想往往可以由平几命题的证明类比证明猜想出的命题。这个想法有时是正确的。下面请周竟立同学谈谈他是如何研究的？3．（生）周竟立：平几中（勾股定理）直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。即：如图（7）设ABC中90C则222baC我由直角三角形类比直角四面体如图（8）C类比直三面角ABCO，ba,类比cbaSSS,,DCaBcbADh2h3P2P1CAEBh1DOAh1EBP1C-4-图（7）图（8）猜想：由平面是二维的直四面体是三维的取平方式取立方式猜想一：222baC--------33330cbaSSSS验证猜想：取1OCOBOA则21cbaSSS230S83330S而83333cbaSSS33330cbaSSSS但凭直觉我们仍相信0S与cbaSSS,,之间存在着某种关系。既然“立方和”的关系不对，那么会不会仍象直角三角形中那样是一种“平方和”的关系呢?猜想：222bac～22220cbaSSSS用上述例子验证猜想：2222043cbaSSSS可见由本例猜想是对的，再作其他验证也都满足这个猜想下面证明，证明：作ABCD交AB于D，连结OD，则ODOC，ABOD)(41)21(222220OCODABCDABS2241OCAB2241ODAB222)(41OCOAOB2241ODAB2241OCOB2241ODOA2241ODAB222cbaSSS这样我们就证明到直角四面体勾股定理。通过这次研究我发现在猜想时有时有猜错的，对于猜错的，我们举反例，对于正确的，我们进行验证并严格证明。我的证明方法与前两位同学不同，他们是由类比得到猜想，再由类比得到证明，我是将立几问题转化为平面问题直接用平面几何中的结论进行证明，我想我是否也能像他们一样，SbSaScCBASoOAbCaBc-5-sascCBsbOsoA平面几何中怎样证，立体几何中也怎样证，是否能得到某种普遍性的定理呢？与勾股定理有关的定理有许多，我想到了余弦定理。余弦定理是勾股定理的推广；任意四面体是任意三角形的类比物，在余弦定理中线段的问题可类比任意四面体中面积的问题，在余弦定理中角的问题类比到任意四面体中二面角的问题，那么在余弦定理中得到CabbaCcos2222类比到任意四面体是否也能得到类似的某种形式呢？请同学们帮解决一下！（师）点评：周竟立同学的研究，告诉我们类比按一种方式进行可能得不到正确的结论，而按另一种方式进行，则能得出结论。因此对猜想出的命题要进行验证，错的去除，正确的要进行严格论证。周竟立同学最后还给了我们一个悬念，能否寻找勾股定理的某一种证法，以及上面猜想的某一种证法使这两种证法可以直接类比？下面我们请袁婧同学来讲一下她是怎样进行研究的？4．（生）袁婧:我们在研究余弦定理：在ABC中有CabbaCcos2222将三角形与四面体类比，猜想可能有类似的结论?2222cbaoSSSS但猜想的形式一时无法具体写出这时我们就比照余弦定理的证明进行推演看是否得出结果。证明：余弦定理在ABC中，如图（9）由射影定理。AbBaCcoscos（1）)cos(1coscoscosCbacBCbBca（2）)cos(1coscoscosCabcACaAcb（3）图（9）（2）、（3）代入（1）整理得CabbaCcos2222类似地四面体ABC中，如图（10）由空间射影定理有cocbobaoaoSSSScoscoscos（1）其中ao为aS与oS所在面的夹角，其余类推图（10）cacbabaooaSSSScoscoscos)]coscos([1coscacbabaoaoSSSS（2）同理：)]coscos([1coscbcababoboSSSS（3）)]coscos([1cosbcbcbacocoSSSS（4）AbCaBc-6-将（2）、（3）、（4）代入（1）整理得。)coscoscos(22222caacbccbabbacbaoSSSSSSSSSS这便是我们所要寻找的结果。本例猜想的形式比较复杂，一时无法直接写出，我们通过证法进行类比，在证法类比中得结论。我们研究发现这倒也是类比推理一个有效办法，从这个结果我们若取90cabcab时便证得了直角四面体勾股定理。（师）点评袁婧同学研究指出了当一个猜想的形成比较复杂，一时无法直接写出时，可将证法进行类比，在证法类比中得出猜想结论，这种逆向思维也是类比推理常用的方法。六、小结今天几位同学展示了他们的研究成果，通过这一系列的研究展示，你们有什么体会呢？请大家先讨论一下。七、学生自由发言，谈本课题研究的感想：1、徐存：学过类比后，对解题也有帮助。如证明平行六面体对角线互相平分，我们就联想平行四边形对角线互相平分；用其证明方法类比证明平行六面体对角线互相平分，又如平行六面体对角线的平方和等于各棱的平方和，我们又联想平行四边形对角线平方和等于四边平方和，进行类比证明。2、韩均：在开始学习立体几何时，由于空间想象能力不强，加上立体几何图形的局限性，如：这个定理是怎样的来的，它的证明方法又是怎样得到的，这道题应该怎样入手等问题既感兴趣，又感到摸不着门路，通过老师的指导，抓住平面几何和立体几何之间的密切关系，将平几和立几进行类比，再通过这次平几和立几类比的研究，提高了我们学习立几的兴趣，弥补了我们空间想象能力的不足，开发了我们的智力，也培养了我们的创造性思维能力。3、孔万龙：通过类比的研究，有时我们就能触景生情，不自觉地就将平几和立几问题类比起来，如我们讲到长方体的性质：长方体的对角线平方等于一点出发的三条棱的平方和，我们就想到长方形的对角线的平方等于从一点出发的两条边的平方和，从而由长方形一条对角线和从一点出发的两条边的夹角的正弦平方和为1，就类比到长方体对角线和从一点出发的三个平面形成的角的正弦平方和为1。4、孙亮：类比是一个好方法，但类比法是一种合情推理，由类比得出的结论正确与否要经过严格论证，因为平几和立几两个对象之间总存在着一定的差异性，如果我们类比推出正好是它们的差异性，类比结论就不对，类比的逻辑根据就不充分。平几和立几这两个对象之间的某些相似或相同，并不一定能得出它们之间是否存在必然联系。因此我们在学习立几时还要研究立体几何的个性特点。八、结束语平几和立几类比是一种结构上的类比，也是一种方法和