《一阶微分方程的解法探讨》文献综述

一阶微分方程的解法探讨的文献综述陈棋（数学与应用数学系指导教师：柳志千）一、研究背景及动态微分方程是一门十分活跃的数学分支.利用数学手段研究自然现象和社会现象，或解决工程技术问题，往往需要借助微分方程的知识，它是人们解决各种实际问题的有效工具.这些应用也为微分方程的进一步发展提出了新的问题，促使人们对微分方程进行更深入的研究.而一阶微分方程的解法是微分方程的基础，对其的解法进行探讨有助于获得解决微分方程的数学方法.《常微分方程》作为数学系各专业的一门应用性较强的专业基础课，它对训练学生的数学思维、应用意识和分析与解决实际问题的能力有着极为重要的作用，本课程中介绍了各种特殊一阶微分方程的初等积分法.所谓的初等积分法，就是通过初等函数及其有限次积分的表达式求解微分方程的方法.在微分方程发展的早期，由牛顿、莱布尼茨、伯努利兄弟以及欧拉等发现的这些方法与技巧，一直沿用至今.虽然刘维尔在1841年证明了大多数微分方程不能用初等积分法求解，但这些方法至今仍不失其重要性.通过对该课程的学习，我们知道微分方程的解法是多样的，它没有通用的解法，这给初学该课程的学生造成了一定的困难，不利于教学的实施，故探讨一阶微分方程的各种解法及其思想是十分必要的.二、评述对于一阶微分方程的解法的探讨，已经有很多人对这个课题进行了研究，并取得了一定的成果.基于这样的条件，我选择这样的角度进行整理、归纳及总结。一阶线性齐次微分方程的一般解法，是先求对应齐次方程的通解，然后应用常数变易法求解；或者直接利用由常数变易法得出的通解公式求解；而对于伯努利方程却是利用变量代换法，将其化成一阶线性非齐次方程来求解.文献[1]中，利用积分方法先推导出伯努利方程的通解公式，把一阶线性非齐次方程作为伯努利方程的特例.这种方法把原来需要三种方法简化为一种方法求解一阶线性非齐次方程和伯努利方程，起到删繁就简的作用.类似这样的处理，有利于初学者的学习，起到有利于教学进行的作用.常微分方程就形式总类而言多不胜举.文献[2]中，总结了几类可用变量分离法求解的一阶常微分方程.表述如下：形如0'1'1xvxvxvyhfdxdyyhyhkkkk,0dyxyxgdxxyyf，xyfdxdyx2，2xyxfdxdy，xyhfxgxyhxyyhn1'ln'',xyhfxxyyhn'1''这六种形式的一阶微分方程，在一定的条件下，都可以可分离变量方程的解法求解.文献[4]、[6]与文献[2]一样是对可采用变量替换的一阶微分方程的类型的研究.不同的是，文献[4]除了列举教材的可采用此方法的类型外，还列举了一些特殊的类型，有自己的研究内容所在，而文献[6]中，同样是试用变换到方法，给出积累可化为变量可分离的方程，分别有如下几种形式：xyfxydxdy；2xyfxdxdy；0,,ydxxdyyxNydyxdxyxM，其中NM,为yx,的齐次函数，次数可不同；0dydxxygydxxdyyxf，02dydxxygxydxxdyyxf，0xydxygxydxyf可作变换xyvyxu,化成变量可分离类型求解.当然有相同的类型，但也有自己的独特的研究.在文献[3]中，介绍了一阶微分方程的初等解法在教学过程中对教材处理的几种方法和技巧，并给出了关于积分因子的两个定理.文献[5]中，讲解了一阶微分方程的各类解法，可用变量可分离类型解法的一般变量可分离方程和齐次方程；一阶线性方程类型的解法：1.积分因子法；2.公式法；3.常数变易法，以及当一阶微分方程的形式如下xqxypyhdxdy，则可用变量交换型解法.文献[7]不同于上述文献的做法，除了常微分教材介绍的类型外，根据一些特殊例子，探索了一些特殊类型的一阶微分方程的解法.形如ygxqyfxpdxdy的微分方程，用常数变易法来解方程；一阶微分方程中出现了形如,faxbyc,2yfx,fxy等形式的项时，作变量替换永解；形如yxgyxfdxdy,,方程中yxf,与yxg,均含有yx,的幂函数，且x与y方幂之和相等或可化为xy函数，则此方程可化为齐次方程；利用变量替换kly（k适当选取）将某些形如yxfdxdy,化为齐次方程；利用变量替换求一阶线性方程xQyxPdxdy的通解，这是与教材不同的处理方法，对同一类型的多种解法，有利于思维的发散.文献[8]是对一阶微分方程特别是卡蒂方程的一些经典的可积类型的概括和推广，进一步拓展了可积范围.文献[9]、[10]、[11]都是常微分方程的相关教材，但在处理一阶微分方程的解法上有所不同，文献[9]相对于文献[10]多了对一阶隐式方程的讨论，而文献[11]有专门的章节对变量替换法进行讨论研究.三、结论通过上面对文献的评述，我们可以看到一阶常微分方程是没有通解的.我们知道不同的方程可能有不同的求解方法，同一种方程也可能有不同的解法，因此，本文主要研究几类一阶微分方程的类型，主要是变量分离的类型和全微分方程类型.其中将所考虑的方程通过适当的变量变换转化为变量分离的典型方程：齐次方程，一阶线性方程和伯努利方程.除了以上求解的一般方法外，还给出了一些特殊类型的一阶微分方程的解法，虽然这些类型是有限的，但是它们却反映了实际问题中出现的微分方程的相当一部分，掌握这些类型的解法具有十分重要的实际意义.参考文献:[1]徐进明，林其安．浅谈一类一阶微分方程的解法[J]．三明高等专科学校学报，1999，（1）：14-16．[2]刘林．一阶常微分方程初等解法研究[J]．河套大学学报（自然科学版），2006，（1）：13-15．[3]李祥林．一阶常微分方程的初等解法研究[J]．阜阳师范学院学报(自然科学版），1996，（2）：39-43．[4]罗显康，王雄瑞．变量变换在解一阶常微分方程中的应用[J]．宜宾学院学报，2009，（12）：32-34．[5]王晓玲．关于一阶微分方程各类解法的研究[J]．数学学习与研究，2012，（9）．[6]丁飞．一些一阶微分方程的解法[J]．中国科教博览，2004，（12B）：40-41，46．[7]文武．一些特殊类型的一阶微分方程的解法探讨[J]．四川文理学院学报，2010，（5）．[8]冯录祥．一类一阶常微分方程的推广及应用[J]．河南科学，2012，（5）：529-531．[9]王高雄，周之铭，朱思铭，王寿松．常微分方程（第三版)[M]．北京：高等教育出版社，2006：30-67．[10]蔡燧林．常微分方程（第二版)[M]．武汉：武汉大学出版社，2003：19-59．[11]周义仓，勒祯，秦军林．常微分方程及其应用（第二版)[M]．北京：科学出版社，2010：32-85．