《数学分析》第二章数列极限

9第二章数列极限（计划课时：12时）P23—41§1数列极限的定义（4时）一、数列：1.数列定义——整标函数.数列给出方法:通项,递推公式.数列的几何意义.2.特殊数列:常驻列,有界列,单调列和往后单调列.二、数列极限:以nann)1(1为例.定义(aannlim的“N”定义)三、用定义验证数列极限：思路与方法.例1.01limnn证明格式：0（不妨设0□）（不妨设n□）要使aan化简≤附加条件逐次放大不等式＜，只须n□.于是0,N□，当Nn时，有＜□-□.根据数列极限的“N”定义知nlim□=□.例2.1,0limqqnn例3.32142332lim22nnnnn例4.04lim2nnn证nnnnnnnnn33!3)2)(1(3!2)1(31)31(43210.3,3!3)2)(1(3nnnn注意到对任何正整数knk2,时有,2nkn就有)2)(1(276)2)(1(27640422nnnnnnnnnn.11272427462nnnn于是，对,0取}.1,4max{N.例5.1,1limaann证法一令,1nna有.0n用Bernoulli不等式，有),1(11)1(1nnnnanna或.1101nanaan证法二（用均值不等式）nnnaa个11110.1111nananna例6.1limnnn证2n时，.22212211102nnnnnnnnnnnnEx[1]P341；2.四、关于数列极限定义的几点注记:1.的正值性,任意性与确定性,以小为贵.2.N的存在性与非唯一性,对N只要求存在,不在乎大小.3.数列极限的等价定义:)0(,,,,0:1kkaaNnNnD.,,,0:22aaNnNnD.,,,0:3aaNnNnD11:4D对,0c.,,aaNnNn:5D对任正整数.1,,,maaNnNmn4.aannlim的几何意义.5.数列极限的几何定义:五、收敛的否定叙述:1.定义(aannlim的“N”定义).2.定义(数列na发散的“N”定义).3.aannlim的“N”几何定义4.数列na发散的“N”几何定义Th1改变或去掉数列的有限项,不影响数列的收敛性和极限.重排不改变数列敛散性:例7验证.01limnnn例8证明2n与n)1(都是发散数列.例9设,limlimayxnnnn作数列nz如下:.,,,,,,,:2211nnnyxyxyxz证明aznnlim六、无穷小数列:定义.Th2(数列极限与无穷小数列的关系).Ex[1]P353，4，5，6，7，8.§2收敛数列的性质（4时）一、极限唯一性：（证）Th1(极限唯一性)二、收敛数列有界性——收敛的必要条件：（证）Th2(收敛数列有界性)三、收敛数列保号性：12Th3设.lim,limbbaannnn若,ba则.,,nnbaNnN（证）推论1设.lim,limbbaannnn若nnbaNnN,,有时，.ba（注意“=”；并注意bbn和0b的情况）.推论2设(0limaann或)0.则对ar0(或,),0NraraNnn,(或).ran推论3若,0limaann则对.,,,0raNnNarn例1设),2,1(0nan.证明:若aannlim,则aannlim.注:用分子有理化的方法可证,但烦琐.可引入不等式:当ba0时,有abab0.一般化有2121xxxx,mmmxxxx2121,这一结论的证明可作为习题予以证明.四、迫敛性(双逼原理):Th4(双逼原理).(证)例2求下列极限:⑴);12sin()13(lim2nnn⑵ninin02;31lim例3.limnnn(.)122112nnnnnnnnn例4（1）求证：3,2max332limnnnn（2）).1(,0kiai求证:}.,,,max{lim2121knnknnnaaaaaa五、绝对值收敛性:Th5.lim,limaaaannnn(注意反之不确).13.0lim,0limnnnnaa(证)六、四则运算性质:Th6(四则运算性质,其中包括常数因子可提到极限号外).(证)系设数列{na}和{nb}收敛,则}.lim,lim{min},{minlim},lim,limmax{},max{limnnnnnnnnnnnnnnbabababa利用数列极限性质求极限:两个基本极限：01limnn,(0)).1(,0limqqnn例5(1).14123lim22nnnnn(2)1412lim2nnnn.(3)01110111limbxbxbxbaxaxaxakkkkmmmmn.其中.0,0,kmbakm例6.1.1limaaannn例7).1(limnnnn七、子列收敛性:子列概念.Th7(数列收敛充要条件){na}收敛{na}的任何子列收敛于同一极限.Th8(数列收敛充要条件){na}收敛子列{12na}和{na2}收敛于同一极限.Th9(数列收敛充要条件){na}收敛子列{12ka}、{ka2}和{}3ka都收敛.(简证)利用子列性质证明数列发散:例8证明数列2sinn发散.14Ex[1]P33—341—6§3数列极限存在的条件（2时）一、指出数列极限的“N”定义的缺陷——是非构造性的，即只能用来验证极限而不能用来求极限.在§2中根据极限的四则运算、夹逼原理利用简单已知数列的极限来求一些数列的极限，对于一些较为复杂数列通常考察是否有极限，若有极限再设法求其极限,因此有必要根据数列本身的特点建立数列极限存在的判别条件.二、数列收敛的一个充分条件——单调有界原理：回顾单调有界数列.Th1(单调有界定理).(证)例1设).2(,131211nan证明数列{na}收敛.例2222,,22,221naaa(n重根号),···证明数列{na}单调有界,并求极限.例3.21.0,011nnnxaxxxa求.limnnx(计算a的逐次逼近法,亦即迭代法)解:由均值不等式,有nnnxaxx211}{.nnnxaxax有下界;注意到对,n有,axn有nnnnxaaxaxx.1)(121121221↘···,.limaxnn例4证明nnn11lim存在)71828.2(e数列nn11单调有界证法欣赏:Cauchy(1789—1857)最先给出这一极限，Riemann（1826—1866）最先给出以下证法一.证法一（Riemann最先给出这一证法）设.11nnnx应用二项式展开，得nnxn11321!3)2)(1(1!2)1(nnnnnnnnnnnn1!123)1(15nnnnnnnn112111!12111!3111!2111，!21111nx121111!31111nnn+;11111nnn注意到,11111nn,12121nn.11111,nnnn且1nx比nx多一项)!1(1n,011111nnn,1nnxx即nx↗.nnnxn)1(132121111!1!31!21110nxnnn.31111111312121111有界.综上,数列{nx}单调有界.评註:该证法朴素而稳健,不失大将风度.证法二(利用Bernoulli不等式)注意到Bernoulli不等式nxnxxn,1(,1)1(为正整数),有nnnnnnxx1111111nnnn11111111nnnnnn12211122,)1(111112nnn由,1)1(12n利用Bernoulli不等式,有.1133233)1(1111232321nnnnnnnnnxxnnnx↗.为证{nx}上方有界,考虑数列.111nnny可类证ny↘.事实上,161nnyy2111111nnnn1111111111nnnn12221221nnnnnnnnnnnnnnnnn2112121121212(此处利用了Bernoulli不等式)nynnnnnn,1441442323↘.显然有,.nyxnn有.41yyxnn即数列{ny}有上界.评註:该证法的特点是惊而无险，恰到好处.证法三(利用均值不等式)在均值不等式)0(,1121iniinnaanaaa中,令,1,111121nnanaaa就有,11111111)1(1111111nnnnnnnnxnnnnnnx,1nnxx即nx↗.令,1,111121nnanaaa可仿上证得3n时nn11↗,(1n时无意义,2n时诸ia=0,不能用均值不等式.)当2n时,由17.11111,11111112nnnnn.11111nnnn由nn11↗nn111↘.22111nx4.评注:该证法很奇巧.以上证法二和证法三可参阅《数学通报》1980.№4P22.证法四(仍利用均值不等式)个nnnnnn111111111,.1111211111111nnnnnxxnnnnnn即nx↗.有界性证法可参阅上述各证法.评注:该证法以简单而奇妙见长.证法四可参阅《数学教学研究》1991.№1马德尧文“均值不等式妙用两则”.证法五先证明:对ba0和正整数n,有不等式.)1(11nnnbnabab事实上，ababaabbabababnnnnnn))(