《数学归纳法》教学设计

“数学归纳法”教学设计山西省平遥中学李英【教学内容剖析】《数学归纳法》是人教版选修教材2—2第二章第三节内容，本节课是第一课时。前面学生已经通过数列一章内容和其它相关内容的学习，初步掌握了由有限多个特殊事例得出一般结论的推理方法，即不完全归纳法。但由于有限多个特殊事例得出的结论不一定正确，这种推理方法不能作为一种论证方法。因此，在不完全归纳法的基础上，必须进一步学习严谨的科学的论证方法——数学归纳法。数学归纳法亮点就在于，通过有限个步骤的推理，证明n取无限多个正整数的情形，这也是无限与有限辨证统一的体现。并且，本节内容是培养学生严谨的推理能力、训练学生的抽象思维能力、体验数学内在美的很好的素材。【教学目标确定】1、知识和技能(1)了解数学归纳法的原理；(2)掌握数学归纳法证题的两个步骤和一个结论的模式；(3)会用数学归纳法证明一些简单的数学命题。2、过程与方法通过多米诺骨牌实验引出数学归纳法的原理，使学生体验由实践向理论过度的过程。在学习中培养学生探索发现问题、提出问题的意识，解决问题和数学交流的能力，学会用总结、归纳、演绎类比探求新知识。3.情感态度价值观通过对问题的探究活动，亲历知识的构建过程，领悟其中所蕴涵的数学思想；体验探索中挫折的艰辛和成功的快乐，感悟“数学美”，激发学习热情，培养多思勤练的好习惯和勇于探索的治学精神。进一步形成正确的数学观，创新意识和科学精神。【教学重点和难点】根据教学大纲的要求、本节课内容特点和学生现有知识水平，本节课知识的重点和难点制定如下：教学重点：（1）使学生理解数学归纳法的实质。（2）掌握数学归纳法证题步骤,尤其是递推步骤中归纳假设和恒等变换的运用教学的难点：（1）学生不易理解数学归纳法的思想实质，具体表现在不了解第二个步骤的作用，不易根据归纳假设作出证明；（2）运用数学归纳法时，在“归纳递推”的步骤中发现具体问题的递推关系．因此，用数学归纳法证明命题的关键在第二步，而第二步的关键在于合理利用归纳假设．如果不会运用“假设当kn时，命题成立”这一条件，那实际上就是不会运用数学归纳法。为突破以上教学难点，通过问题的转化，进而把无限的验证转化为对两个命题：“（1）当onn时，命题成立；（2）假设kn时，命题成立，求证：当1kn时命题成立”的证明，而且在第二个命题的分析中强调条件的存在与用途，从而突破数学归纳法第二步中证明命题的难点．【教学条件支持】利用视频动态地演示多米诺骨牌游戏，从中体会并理解“归纳奠基”和“归纳递推”，知道只有把“归纳奠基”与“归纳递推”结合起来，才能完成数学归纳法的证明过程，理解数学归纳法的证明步骤．另外，在课堂练习时，选择学生中有代表性的解法，利用实物投影进行分析讲解，增强课堂教学效果．【教学过程设计】一、问题导入1、思考题：已知数列na满足211a，且*)(211Nnaann，我们已经计算出54,43,32432aaa，并由此猜想通项公式为*)(1Nnnnan，那么如何证明我们的猜想是正确的呢？分析：逐一验证是不可能的．那么，我们应该思考“怎样通过有限个步骤的推理，证明取所有正整数都成立”的问题．引出课题“这就是我们今天要研究的一种特殊的直接证明方法——数学归纳法”．【设计意图】应用归纳推理，发现新事实，获得新结论，这是数学归纳法的先行组织者；该思考题的类型出现在本章第一节的合情推理中，是课标教材“螺旋式”上升的具体体现，其思维模式就是“观察——归纳——猜想——证明”．2.体会多米诺骨牌游戏中蕴含的数学思想游戏：在多米诺骨牌游戏中，能使所有多米诺骨牌全部倒下的条件是什么？【设计意图】通过对多米诺骨牌游戏的分析，让学生经历从具体到抽象的归纳和概括过程，从而理解数学归纳法的本质.思考游戏1:多米诺骨牌游戏的最大特点是什么？（牵一发而动全身）思考游戏2:摆放好多米诺骨牌，推倒第2块骨牌，观察发生的结果？【设计意图】在多米诺骨牌游戏过程中，体会所有骨牌都倒下，第1块骨牌必须倒下，这是基础，也是前提条件.思考游戏3:摆放好多米诺骨牌，存在一块骨牌倒下后没有砸倒下一块骨牌，观察发生的结果？【设计意图】在多米诺骨牌游戏过程中，第k块骨牌倒下，是后一块骨牌倒下的保证，这就是多米诺骨牌游戏的连续性和传递性．问题1:要确保所有的多米诺骨牌都倒下，那么必须满足哪些条件？问题2:从多米诺骨牌游戏中，抽象出解决与正整数有关的命题的方法？【设计意图】在类比的过程中学习数学归纳法.分析1：根据“第一块骨牌倒下”抽象出数学归纳法的第一步，即（1）证明当取第一个值1n时,命题成立.（归纳奠基）分析2：根据“假设某一块骨牌倒下，那么必定导致后一块骨牌倒下。”，抽象出数学归纳法的第二步，即（2）假设*)(Nkkn时命题成立,证明当1kn时命题也成立.（归纳递推）分析3：从完成“多米诺骨牌游戏”中，抽象出数学归纳法证明命题的结论，即由（1），（2）可知，命题对于从开始的所有正整数都成立.板书，证明过程3.数学归纳法概念的形成数学归纳法:对于一些与正整数有关的命题，我们常采用下面的方法来证明它们的正确性：（1）证明当取第一个值*)(00Nnn时,命题成立；（归纳奠基）（2）假设*),(0Nknkkn时命题成立,证明当1kn时命题也成立；（归纳递推）根据（1）和（2），可知命题对于从0n开始的所有正整数n都成立.问题3:(1)为什么完成了“两个步骤和一个结论”就说明命题对所有的正整数都成立？【设计意图】进一步理解“通过有限个步骤的推理，证明n取所有正整数都成立”的情形.分析：有了第（1）步，就有了基础；有了第（2）步，就可以进行传递，形成了无限的循环；有了结论，整个数学归纳法的过程顺利完成了.4.数学归纳法的应用【设计意图】尝试应用数学归纳法解决问题，所以本题选取了教材练习的第一小题。在本题证明中，如果有学生出现直接套用公式解决的同学，就及时强调第二步证明中核心———必须用到归纳假设。（3）请用数学归纳法证明：1)1(1431321211nnnn5．课堂小结（1）理解数学归纳法的原理（2）数学归纳法的两个步骤缺一不可，前者是基础，后者是递推依据，最终给出结论。（3）数学归纳法主要应用于解决与正整数有关的数学问题。6．课后作业：课本:P95练习2;(必做)P96习题2.3A组1、2（必做）B组1、2（选做）7．板书设计：.2)1(:).1(11dnnnaSnd，an项和的公式是的等差数列的前公差是首项是请用数学归纳法证明*)(4)1(321:)2(223333Nnnnn请用数学归纳法证明