《步步高学案导学设计》2013-2014学年高中数学人教B版必修4第二章2.4.1向量在几何中的应用

§2.4向量的应用2．4.1向量在几何中的应用一、基础过关1．在△ABC中，已知A(4,1)、B(7,5)、C(－4,7)，则BC边的中线AD的长是()A．25B.525C．35D.7252．点O是三角形ABC所在平面内的一点，满足OA→·OB→＝OB→·OC→＝OC→·OA→，则点O是△ABC的()A．三个内角的角平分线的交点B．三条边的垂直平分线的交点C．三条中线的交点D．三条高的交点3．已知直线l1：3x＋4y－12＝0，l2：7x＋y－28＝0，则直线l1与l2的夹角是()A．30°B．45°C．135°D．150°4．若O是△ABC所在平面内一点，且满足|OB→－OC→|＝|OB→＋OC→－2OA→|，则△ABC的形状是()A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等边三角形5．已知点A(3，1)，B(0,0)，C(3，0)，设∠BAC的平分线AE与BC相交于E，那么有BC→＝λCE→，其中λ等于()A．2B.12C．－3D．－136．过点(1,2)且与直线3x－y＋1＝0垂直的直线的方程是____________．7．已知平面上三点A、B、C满足|AB→|＝3，|BC→|＝4，|CA→|＝5.则AB→·BC→＋BC→·CA→＋CA→·AB→＝________.8．如图所示，若ABCD为平行四边形，EF∥AB，AE与BF相交于点N，DE与CF相交于点M.求证：MN∥AD.二、能力提升9．已知非零向量AB→与AC→满足AB→|AB→|＋AC→|AC→|·BC→＝0且AB→|AB→|·AC→|AC→|＝12，则△ABC的形状是()A．三边均不相等的三角形B．直角三角形C．等腰(非等边)三角形D．等边三角形10．在直角坐标系xOy中，已知点A(0,1)和点B(－3,4)，若点C在∠AOB的平分线上且|OC→|＝2，则OC→＝________.11．求证：△ABC的三条高线交于一点．12．三角形ABC是等腰直角三角形，∠B＝90°，D是BC边的中点，BE⊥AD，延长BE交AC于F，连接DF.求证：∠ADB＝∠FDC.三、探究与拓展13．如图所示，正三角形ABC中，D、E分别是AB、BC上的一个三等分点，且分别靠近点A、点B，且AE、CD交于点P.求证：BP⊥DC.答案1．B2.D3.B4.B5.C6．x＋3y－7＝07.－258．证明∵EF∥AB，∴△NEF∽△NAB，设AB→＝μEF→(μ≠1)，则ANEN＝μ，AE→＝(μ－1)EN→，同理，由EF→∥CD→，可得DE→＝(μ－1)EM→，∴AD→＝ED→－EA→＝AE→－DE→＝(μ－1)MN→，∵μ≠1，令λ＝μ－1，∴AD→＝λMN→，∴AD∥MN.9．D10.－105，310511．证明如图所示，已知AD，BE，CF是△ABC的三条高．设BE，CF交于H点，令AB→＝b，AC→＝c，AH→＝h，则BH→＝h－b，CH→＝h－c，BC→＝c－b.∵BH→⊥AC→，CH→⊥AB→，∴(h－b)·c＝0，(h－c)·b＝0，即(h－b)·c＝(h－c)·b，整理得h·(c－b)＝0，∴AH→·BC→＝0，∴AH⊥BC，∴AH→与AD→共线．AD、BE、CF相交于一点H.12．证明如图所示，建立直角坐标系，设A(2,0)，C(0,2)，则D(0,1)，于是AD→＝(－2,1)，AC→＝(－2,2)，设F(x，y)，由BF→⊥AD→，得BF→·AD→＝0，即(x，y)·(－2,1)＝0，∴－2x＋y＝0.①又F点在AC上，则FC→∥AC→，而FC→＝(－x,2－y)，因此2×(－x)－(－2)×(2－y)＝0，即x＋y＝2.②由①、②式解得x＝23，y＝43，∴F23，43，DF→＝23，13，DC→＝(0,1)，DF→·DC→＝13，又DF→·DC→＝|DF→||DC→|cosθ＝53cosθ，∴cosθ＝55，即cos∠FDC＝55，又cos∠ADB＝|BD→||AD→|＝15＝55，∴cos∠ADB＝cos∠FDC，故∠ADB＝∠FDC.13．证明设PD→＝λCD→，并设△ABC的边长为a，则有PA→＝PD→＋DA→＝λCD→＋13BA→＝λ(23BA→－BC→)＋13BA→＝13(2λ＋1)BA→－λBC→，又EA→＝BA→－13BC→.∵PA→∥EA→，∴13(2λ＋1)BA→－λBC→＝kBA→－13kBC→.于是有：132λ＋1＝k，λ＝13k.解得，λ＝17.∴PD→＝17CD→.∴BP→＝BC→＋CP→＝BC→＋6723BA→－BC→＝17BC→＋47BA→.CD→＝23BA→－BC→.从而BP→·CD→＝(17BC→＋47BA→)·(23BA→－BC→)＝821a2－17a2－1021a2cos60°＝0.∴BP→⊥CD→.∴BP⊥DC.