《北京理工大学学报》(自然科学中文版)稿件模板

基于MATLAB的单级倒立摆的LQR控制研究王思13120150031（1.北京理工大学宇航学院，北京100081）摘要：以一级直线倒立摆为模型，研究线性二次型指标的最优控制问题，并利用MATLAB来设计LQR最优控制器系统。通过调整加权矩阵Q和R，使控制器的系统性能达到最优，并画出系统阶跃响应曲线。仿真结果表明该系统具有较好的稳定性和快速性。关键词：倒立摆，LQR，MATLAB，最优控制中图分类号：TJ765文献标识码：AStudyofLQRControlSingeInvertedPendulumBasedonMATLABWangSi1(SchoolofAerospaceEngineering,BeijingInstituteofTechnology,Beijing100081,China)Abstract:Basedonsingleinvertedpendulummodeltostudythelineforthelinearquadraticindexoptimalcontrolproblem,anduseMATLABtodesigntheoptimalcontrollersystemconventionalLQR.ThroughadjustingweightedmatrixQandR,makethecontrollersystemperformancetoachieveoptimalanddrawthesystemorderstepresponsecurve.Thesimulationresultsshowthatthesystemhasagoodstabilityandquickness.Keyword:invertedpendulum,LQR,MATLAB,optimalcontrol1单级倒立摆数学模型在忽略了空气阻力，各种摩擦后，可将一级倒立摆系统抽象成小车和均质杆组成的系统，如图1所示。图1一级直线倒立摆系统假设M为小车质量，m为摆杆质量，b为小车摩擦系数，l为摆杆转动轴到杆质心的长度，F为加在小车上的力，x为小车位置，为摆杆与垂直向上方向的夹角，为摆杆和垂直向下方向的夹角（考虑到摆杆初始位置为竖直向下），因此系统状态空间方程为：.2222...222....22201000()00()()()00010()00()()()xxlmlbmgllmlxxlMmMmllMmMmllMmMmlmlbmglMmmllMmMmllMmMmllMmMml..10000+00100uxxxyu(1)其中，四个状态量x、.x、、.分别代表小车位移、小车速度、摆杆位置和摆杆角速度，g为重力加速度，输出y包括小车位移和摆杆角度。2单级倒立摆LQR控制器设计直线一级倒立摆系统的控制问题可理解为稳态时间连续系统的状态调节器问题。该系统的状态方程为（1）式，系统的性能指标是：01()2TTJXQXURUdt∞线性二次型调节器（LQR）就是用来确定反馈控制函数1TuKXRBPX使得上述性能指标达到最小。其中U不受约束，Q和R称为加权矩阵，为常数对称正定阵。1TKRBP，P为如下Riccati方程：10TTPAAPPBRBXQ的半正定对称解。MATLAB中的LQR函数不仅可以求解P，还能同时求出K。3LQR最优控制器的MATLAB实现下面针对直线型一级倒立摆系统应用LQR法设计与调节控制器，控制摆杆保持倒立平衡的同时，跟踪小车的位置。表1实际系统参数表M小车质量1.096Kgm摆杆质量0.109Kgb小车摩擦系数0.1N/m/secl摆杆转动轴心到杆质心的长度0.25mI摆杆惯量0.0034kg*m*mg重力加速度9.8m/(s*s)T采样频率0.005s将实际系统参数代入（1）式，可得倒立摆系统状态方程：..........0100000.08830.629300.88320001000.235727.825802.356610000+00100xxxxuxxxyu（2）控制系统结构如图2所示，图中R是施加在小车上的阶跃输入。设计控制器使得当给系统施加一个阶跃输入时，摆杆会摆动，然后仍然回到垂直位置，小车可以到达新的指定位置。图2控制系统结构假设全状态反馈可以实现，R=1，Q=C’*C=diag(1，0，1，0)，用MATLAB中的LQR函数可以得到最优控制器对应的K=[-1.0000-1.761916.14723.0896]。系统的阶跃响应曲线如图3所示，可见系统的响应速度很慢，不太理想。LQR函数允许选择两个参数（R和Q），这两个参数用来平衡输入量和状态量的权重。图4和图5选择了不同的Q矩阵，可以看出Q=diag(4000,0,100,0)时系统的超调量很小，达到稳态的时间也很短，动态性能有较大改善，满足最优的设计要求。图3系统阶跃响应（Q=diag（1，0，1，0））图4系统阶跃响应（Q=diag（500，0，2，0））图5系统阶跃响应（Q=diag（500，0，2，0））4结论设计线性二次型最优控制系统时，关键问题是要选择合理的Q、R阵，一般来说，把Q中某个加权系数增大，则对应的状态变量会收敛得更快一些，R中某个加权系数增大则对应的控制量会小一些。Q、R的选择是一个试凑的过程，若Q、R选择得合理，就可以减少试凑次数。直线倒立摆LQR控制器的设计简单、响应速度快、超调量小以及良好的稳定性等特点。参考文献：[1]马扬龙,陈琼,宁玉玲.基于MATLAB的单级倒立摆的LQR控制研究[J].工业控制计算机,2013,26(2):98-99.[2]马娟丽.LQR系统最优控制器设计的MATLAB实现及应用[J].石河子大学学报：自然科学版,2005,23(4):519-521.