《圆锥曲线新题型及定点问题分析》

xyFQABlO高三冲刺讲义：《圆锥曲线新题型及定点问题分析》圆锥曲线是解析几何的重要内容之一，也是高考重点考查的内容合热点，知识综合性较强，对学生逻辑思维能力、计算能力要求很高，这些问题重点考查学生方程思想、函数思想、转化思想与划归思想的应用。定点问题与定值问题是这类题目的典型代表，下面我们就着重研究这些2类问题；在圆锥曲线中，有一类曲线系方程，对其参数取值不同时，曲线本身的性质不变，或形态发生某些变化，但其某些固有的共同性质始终保持着，这就是我们所指的定值定点问题。圆锥曲线中的几何量，有些与参数无关，这就构成了定值定点问题，她涵盖两类问题，一是懂曲线景观定点问题；二是动曲线的某些几何量的斜率、长度、角度、距离、面积等为常数问题。在几何问题中，有些几何量与参变数无关，即定值问题，这类问题求解策略是通过应有赋值法找到定值，然后将问题转化为代数式的推导、论证定值符合一般情形。所以在圆锥曲线的综合性问题里，定点定值问题往往是我们学习的一个难点.对于这类问题的学习，通常有两种处理方法:①从特殊人手，求出定点或定值，再证明这个点(值)与变量无关.②直接推理、计算，并在计算中消去变量，从而得到定点(定值).而第二个方法又是我们深入且归纳的重点方法，其中又包括：1、通过定义代入化简；2、通过平面几何知识或三角知识代入；3、通过韦达定理化简；下面我们就来介绍这些题型：题型一：通过代入化简得定值例1：已知),(00yxP为椭圆12222byax上的一点，其中21FF、为椭圆的左右焦点；求证：0101,xacaPFxacaPF。证明：020202222020202012)(xacaxacaxabbccxxycxPF同理得证：01xacaPF题型二：通过平面几何知识化简得到例2：已知椭圆E的方程为22143xy，右焦点为F，直线l与圆223xy相切于点Q，且Q在y轴的右侧，设直线l交椭圆E于不同两点1122(,),(,)AxyBxy.（1）若直线l的倾斜角为4，求直线l的方程；（2）求证：||||AFAQ||||BFBQ.提示：用代入法转化AF，211433xyAQ=22rOA；从而化简出AQAF是一个常值。解]（1）设直线l的方程为yxm，则有||32m，得6m又切点Q在y轴的右侧，所以6m，所以直线l的方程为6yx（2）因为AOQ为直角三角形，所以222211||3AQOAOQxy[来K]又2211143xy得11||2AQx2211||(1)AFxy又2211143xy得11||22AFx所以||||2AFAQ，同理可得||||2BFBQ所以||||AFAQ||||BFBQ题型三：通过定义化简得到：例3：某校同学设计一个如图所示的“蝴蝶形图案（阴影区域）”，其中AC、BD是过抛物线焦点F的两条弦，且其焦点)1,0(F，0BDAC，点E为y轴上一点，记EFA，其中为锐角．（1）求抛物线方程；（2）求证：2sin)1(cos2AF．（3）如果使“蝴蝶形图案”的面积最小，求的大小？第(3)问提示：2sin)1(cos2AF，2cos)sin1(2DF；想想BF和DF如何参加他们也可以写出来。之后面积问题就转化为三角求最值问题了。解析:（1）由抛物线焦点)1,0(F得,抛物线方程为yx42（2）设mAF，则点)1cos,sin(mmA所以，)cos1(4)sin(2mm，既04cos4sin22mm解得2sin)1(cos2AF；（3）同理：2cos)sin1(2BF，2cos)sin1(2DF，2sin)cos1(2CF“蝴蝶形图案”的面积2)cos(sincossin442121DFCFBFAFSSSCFDAFB令21,0,cossintt,,21t则121141422tttS,21t时,即4“蝴蝶形图案”的面积为8题型四：通过韦达化简得到例4、已知椭圆E的中心在坐标原点O，焦点在坐标轴上，且经过(2,1)(22,0)MN、两点，P是E上的动点．（1）求OP的最大值；（2）若平行于OM的直线l在y轴上的截距为(0)bb，直线l交椭圆E于两个不同点AB、，求证：直线MA与直线MB的倾斜角互补．[解]（1）设椭圆E的方程为221(0,0,)mxnymnmn将(2,1),(22,0)MN代入椭圆E的方程，得4181mnm………2分解得11,82mn，所以椭圆E的方程为22182xy…………2分设点P的坐标为00,)xy（，则22200OPxy．又00(,)Pxy是E上的动点，所以2200182xy，得220084xy，代入上式得222200083OPxyy，02,2y故00y时，maxOP22．OP的最大值为22．（2）因为直线l平行于OM，且在y轴上的截距为b，又12OMk，所以直线l的方程为12yxb．由2212182yxbxy得222240xbxb设11(,)Axy、22(,)Bxy，则212122,24xxbxxb．又1111,2ykx2221,2ykx故1212121122yykkxx122112(1)(2)(1)(2)(2)(2)yxyxxx．又112211,22yxbyxb，所以上式分子122111(1)(2)(1)(2)22xbxxbx21212(2)()4(1)24(2)(2)4(1)0xxbxxbbbbb故120kk．所以直线MA与直线MB的倾斜角互补．题型五、通过类比结论得到例5：椭圆T的中心为坐标原点O，右焦点为(2,0)F，且椭圆T过点(2,2)E.若ABC的三个顶点都在椭圆T上，设三条边的中点分别为PNM、、.（1）求椭圆T的方程；（2）设ABC的三条边所在直线的斜率分别为321kkk、、，且0,1,2,3iki.若直线OPONOM、、的斜率之和为0，求证：123111kkk为定值.解：（1）设椭圆T的方程为22221xyab，由题意知：左焦点为'(2,0)F所以'2||||aEFEF232，解得22a，2b．故椭圆T的方程为22184xy．（方法2、待定系数法）（2）设112233(,),(,),(,)AxyBxyCxy，112233(,),(,),(,)MstNstPst，由：221128xy，222228xy，两式相减，得到12121212()()2()()0xxxxyyyy所以121211121211122yyxxskxxyyt，即11112tks，OxyF同理22212tks，33312tks所以3121231231112()tttkkksss，又因为直线,,OMONOP的斜率之和为0，所以1231110kkk方法2、(可参照方法1给分)设直线AB：111()ytkxs，代入椭圆2228xy，得到22211111111(12)4()2()80kxtkskxtks111112214()12tkskxxk12s，化简得11112skt(以下略)题型六：其他综合问题例6：已知抛物线C：pxy22)0(p，直线l交此抛物线于不同的两个点),(11yxA、),(22yxB．（1）当直线l过点)0,(pM时，证明21yy为定值；（2）当pyy21时，直线l是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由；（3）如果直线l过点)0,(pM，过点M再作一条与直线l垂直的直线l交抛物线C于两个不同点D、E．设线段AB的中点为P，线段DE的中点为Q，记线段PQ的中点为N．问是否存在一条直线和一个定点，使得点N到它们的距离相等？若存在，求出这条直线和这个定点；若不存在，请说明理由．答案：（1）2212pyy；（2）)0,21(．（3）存在直线815px，点)0,817(p，点N到它们的距离相等．例7：在平面直角坐标系xOy中，方向向量为),1(kd的直线l经过椭圆191822yx的右焦点F，:与椭圆相交于A、B两点（1）若点A在x轴的上方，且||||OFOA，求直线l的方程；（2）若0k，)0,6(P且△PAB的面积为6，求k的值；（3）当k（0k）变化时，是否存在一点)0,(0xC，使得直线AC和BC的斜率之和为0,若存在，求出0x的值；若不存在，请说明理由.答案：（1）03yx；（2）1k；（3）存在一点)0,6(。例8：动圆C过定点,02pF且与直线2px相切，其中0P.设圆心C的轨迹的方程为(,)0Fxy.（1）求(,)0Fxy；（2）曲线上的一定点00,pxy0(0)y方向向量0(,)dyp的直线l（不过点P）与曲线交于A、B两点，设直线PA、PB斜率分别为PAk、PBk，计算PAPBkk；（3）曲线上的两个定点000(,)Pxy、''000(,)Qxy分别过点0P、0Q做倾斜角互补的两条直线0PM、0QN分别与曲线交于M、N两点，求证直线MN的斜率为定值.答案：（1）022ppxy；（2）02020101xxyyxxyykkBPAP=pypyyypypyyy2222202202202101=020122yypyyp=))(()2(20201021yyyyyyyp=0.（3）002yypkMN例:9：已知椭圆C的方程为22212xya(0)a，其焦点在x轴上，点Q27(,)22为椭圆上一点．（1）求该椭圆的标准方程；（2）设动点P00(,)xy满足2OPOMON，其中M、N是椭圆C上的点，直线OM与ON的斜率之积为12，求证：22002xy为定值；（3）在（2）的条件下探究：是否存在两个定点,AB，使得PAPB为定值？若存在，给出证明；若不存在，请说明理由．答案：（1）12422yx；（2）2212212020)2(2)2(2yyxxyx21212222212184)2(4)2(yyxxyxyx)2(4202121yyxx20（定值）（3）存在点A(0,10)、B（0,10），使得||||PBPA=54（定值）例10：设抛物线2:2(0)Cypxp的焦点为F，经过点F的动直线l交抛物线C于点11(,)Axy，22(,)Bxy且124yy．（1）求抛物线C的方程；（2）若2()OEOAOB（O为坐标原点），且点E在抛物线C上，求直线l倾斜角；（3）若点M是抛物线C的准线上的一点，直线,,MFMAMB的斜率分别为012,,kkk．求证：当0k为定值时，12kk也为定值．答案：（1）24yx．（2）直线l的倾斜角为arctan2或πarctan2．（3）012MMMyykx，可得02Myk，由（2）知124,yya又124yy，∴1020102012121222221122ykykykykkkxxayay120121202121222()2()82()4ayykayyyykayyayy22000022288888(1)24844(1)akaakkakaaa，又0k为定值，所以12kk也为定值．例11：已知双曲线C的中心在原点，1,0D是它的一个顶点，d(1,2)是它的一条渐近线的一个方向向量.(1)求双曲线C的方程；(