《数值分析》课程考试

淮阴工学院《数值分析》考试──基于Matlab的方法综合应用报告班级：金融1121姓名：蒋倩学号：1124104119成绩：数理学院2014年6月7日《数值分析》课程考试2014.6.3一课程主要教学内容综述（开卷部分）（70分）综述要求：1.综述内容以本课程实际讲授内容和所使用的教材为基准；2.按主题论述，问题提出的背景、动因，解决问题的理论基础和方法；3.以数值计算的实例说明方法的应用，并进一步对方法本身和应用结果进行简要的分析和评价；4.各数值计算的Matlab程序按顺序编号，附在正文的后面。*正文用五号字，附件编号，用小五号字，至少五页，可以讨论，要用自己的语言*参考文献：书（白峰杉，数值计算引论（第二版），北京：高等教育出版社，2010）、电子讲义（章节名，电子讲义，淮阴工学院，2014）*自己再找一到两个参考文献*格式：正文、参考文献、附录正文一、线性方程组求解的数值方法1、高斯消去法：1.1问题提出的背景、动因[1]：高斯消去法是求解线性代数方程组的直接方法，假设计算中没有舍入误差，经过有限次算数运算能够给出问题的精确解。1.2解决问题的理论基础和方法[1,2]：高斯消去法的基本思想就是将一般的线性方程组化成与之等价的上三角或下三角形式来求解。高斯消去法的消元过程，从代数运算的角度看就是用一个下三角矩阵L左乘方程组的系数矩阵A，且乘积的结果为上三角矩阵U，即1LybLAUAxLUxbUxyALU，LU分解的MATLAB实现：[,]()LUluA或[,,]()LUPluA1.3例：Ax=b,已知A=[1-20.330;2-4.01-15;-1314;-3602]，b=[-1103]'，用高斯消去法求解x（程序见附录一）结果：X=-3.70-1.47-0.720.36L=1.000000.331.0000-0.67-0.011.000-0.330-0.331.00U=-3.006.0002.0001.001.003.3300-0.996.370002.79P=0001.00001.00001.00001.00000x=-3.70-1.47-0.720.361.4分析和评价：用高斯消去法(LU分解)和用Matlab求解的结果相同，所以这种方法较为适用。2、迭代法2.1问题提出的背景、动因[3]：通常逆矩阵不易求得，特别是对于大型的线性方程组，需要用迭代法求解。2.2解决问题的理论基础和方法[3]：用迭代法求解线性方程组，首先要把线性方程组写成等价的形式AxbxMxf(1)由迭代格式（1）确定如下的迭代算法：10nnnxMxfxR1limnnxxAbJacobian迭代法:11111kkAxbDLUxbADLUDxLUxbxDLUxDbMDLUfDbGauss-Seidel迭代法:11111kkAxbDLxUxbADLUxDLUxDLbMDLUfDLb2.3例：生成一个矩阵A和一个向量b，用Gauss迭代法和Jacobi迭代法求解方程组。（程序见附录二）结果：X0=0.860.19-0.200.32-0.13IterN0=16.00X1=0.860.19-0.200.32-0.13IterN1=40.002.4分析和评价：Jacobian迭代法与Gass-seidel迭代,迭代次数比较：Jacobian迭代法在要求的精度下求得近似解需要的次数为16次，Gass-seidel迭代法在要求的精度下求得近似解需要的次数为40次。Gass-seidel迭代法迭代的次数更加的少，即Gass-seidel迭代法在迭代次数上比Jacobian迭代法更加的优越。二、范数1、问题提出的背景、动因[1]：范数是用于度量“量”大小的概念，是进行算法分析的基本工具，在数值计算中对方法的评价，几乎总是离不开范数。2、解决问题的理论基础和方法[9]：向量的范数：p-范数11nppkpkxx矩阵（算子）的范数01maxmaxxxAxAAxx3、例：生成一个5阶矩阵，并计算它的1-范数，2-范数和无穷范数。（程序见附录三）结果：M的1范数为：5.65M的2范数为：3.75M的无穷范数为：6.144、分析和评价：用norm函数，实现对1、2、无穷范数的求解，和用公式计算法相比方法简单，易于实现。三、插值1、Lagrange插值1.1问题提出的背景、动因[5]：在科学研究和计算中，往往回遇到复杂函数的分析与计算，有时用简单的函数来代替，可能会去掉不必要的麻烦而使问题比较容易地得到解决。1.2解决问题的理论基础和方法[5]：构造插值多项式的基函数：001110111njkjkjjkkknkkkkkkknxxLxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx，0,1,2,,kn因为拉格朗日插值多项式的基函数有如下的性质：010,njkkjjkjjkxxxxLxxxjkxx，0,1,2,,kn所以拉格朗日插值多项式0nkjkjkkkkjLxLxyLxyy，0,1,2,,kn满足插值的条件。1.3例：给定函数：2251sin2xyxxe，0,x.（1）借助Matlab求该函数的Lagrange插值基函数以及差值多项式的表达式。（程序见附录四）L=[(4398046511104*(pi-x)*(pi-2*x)*(pi-4*x)*(3*pi-4*x))/1285229138915719,(70368744177664*x*(pi-x)*(pi-2*x)*(3*pi-4*x))/1285229138915719,-(281474976710656*x*(pi-x)*(pi-4*x)*(3*pi-4*x))/6854555407550501,(70368744177664*x*(pi-x)*(pi-2*x)*(pi-4*x))/1285229138915719,-(4398046511104*x*(pi-2*x)*(pi-4*x)*(3*pi-4*x))/1285229138915719]Ln=(35184372088832*2^(1/2)*x*exp(-(9*pi^2)/80)*((9*pi^2)/16+1)^(1/2)*(pi-x)*(pi-2*x)*(pi-4*x))/1285229138915719-(4398046511104*x*exp(-pi^2/5)*(pi^2+1)^(1/2)*(pi-2*x)*(pi-4*x)*(3*pi-4*x))/1285229138915719-(4398046511104*(pi-x)*(pi-2*x)*(pi-4*x)*(3*pi-4*x))/1285229138915719-(35184372088832*2^(1/2)*x*exp(-pi^2/80)*(pi^2/16+1)^(1/2)*(pi-x)*(pi-2*x)*(3*pi-4*x))/12852291389157191.4分析和评价：对于较简单的函数而言，用公式即可求出Lagrange插值基函数以及差值多项式，而对于较复杂的函数用Matlab计算易于实现，且结果准确。2、三次样条插值2.1问题提出的背景、动因[1]：随着x的值越来越大，lagrang模拟的情况会越来越差，原因就是lagrang插值法出现了“龙格”现象。因此，当x值较大时，可以选用三次样条插值。2.2解决问题的理论基础和方法[5]：通常在插值区间的端点处附加2个条件：第一类边界条件：固定端点的斜率：固定边界条件：00Sxy，nnSxy第二类边界条件：给定端点的的二阶导数：自由边界条件：00Sxy，..第三类边界条件：周期性条件：0mmnSxSx1,2m2.3例：取一个复杂方程，设置一阶边界条件、二阶边界条件以及混合边界条件。（程序见附录五）结果：一阶边界条件：DY=0.50000.0000D2Y=-12.7199-0.1857i-0.0067+0.0016iDy=-0.86600.0000+0.0006iD2y=-2.0000-0.0000-0.0040i0123-0.200.20.40.6TheCubicSplineInterpolationWithEndConditions二阶边界条件：DY=-1.4071-0.0241i0.2604-0.0002iD2Y=2.00002.0000+0.0000iDy=-0.86600.0000+0.0006iD2y=-2.0000-0.0000-0.0040i0123-0.500.51TheCubicSplineInterpolationWithEndConditions混合边界条件：DY=2.00000.1301-0.0002iD2Y=-24.2980-0.1857i1.0000+0.0000iDy=-0.86600.0000+0.0006iD2y=-2.0000-0.0000-0.0040i0123-0.200.20.40.6TheCubicSplineInterpolationWithEndConditions2.4分析和评价：对于同一个函数，根据两端端点的倒数设置不同的边界条件导致拟合的效果不同。四、最小二乘拟合1、问题提出的背景、动因[10]：在生产实践中，人们常常需要根据已知观测数据确定不同量之间的关系，为进一步判断、预测等提供理论依据，数据拟合的最小二乘法正是解决这个问题的重要方法。2、解决问题的理论基础和方法[6]：当拟合多项式nPx用一组多项式,0kxkn的线性组合时0nnkkkPxaxnPx到fx距离的平方22fP是组合系数,0kakn的1n元二次函数：2TTTTafffaaa所以最小二乘逼近多项式*nPx必须满足如下必要条件：01220TTnaafaaa即满足法方程组:1TTTTafaf3、例：XI=[00.81.62.83.24.8...5.26.47.28.0]，YI=[1.001.492.234.32...5.557.977.807.20...7.087.84]，用最小二乘法拟合该组数据。（程序见附录六）结果：n=5时0246802468CurveFittingbyLeastSquareApproximationTheFittingCurveTheDatan=9时0246802468CurveFittingbyLeastSquareApproximationTheFittingCurveTheData4、分析和评价：当有n个数据进行拟合时，最高拟合次数不得超过n-1次，而且拟合次数越大，拟合效果则越高，精确度也就越高。五、数值积分1、两点公式（梯形公式）和三点公式（Simpson公式）1.1问题提出的背景、动因[1]：随着符号计算方法及相应数学软件工具的发展，计算积分又有了一种有力途径，但众多的实际问题中，积分计算更多的还要依靠数值方法。经典的数值积分方法都可以看成是从几何直观出发构造的。1.2解决问题的理论基础和方法[7]：两点公式（梯形公式）：01122hbanAA002bbaaxbbaAlxdxdxab02bbnaankkkfxdxLxdxAfxbafafb2.三点公式（Simpson公式）：22021212210121122226bbaabkkak