《数学模型》第十三章其他模型教案.

第十三章其它模型13.1废水的生物处理13.2红绿灯下的交通流13.3鲑鱼数量的周期变化13.4价格指数13.5设备检查方案13.1废水的生物处理•废水处理(去掉有害的有机物)通常有生物化学与物理化学两种方法.背景与问题•生物处理~利用微生物(主要是细菌)的生命活动过程,把废水中的有机物转化为简单的无机物.•已知废水中有害物质浓度为10-3~10-2g/m3,要将浓度降至5×10-4g/m3以下,需建立废水与微生物混合的处理池.•设废水将以10m3/h的流量进入处理池,确定处理池的容积,使排出废水中有害物质的浓度达到规定的标准.模型假设生物化学提供了有机物分解、转化和微生物增殖、衰亡的规律及相关参数2.微生物依于有害物质分解、转化的能量而增殖的速率与有害物质浓度成正比，比例系数r2=1.26m3/g.h4.处理池内有害物质和微生物任何时候都均匀混合,排出废水中有害物质和微生物的浓度与池内相同.3.微生物的自然死亡率为常数d=10-5/h1.有害物质被微生物分解、转化而消失的速率与微生物浓度成正比，比例系数r1=0.1m3/g.hc(t)~时刻t有害物质的浓度b(t)~时刻t微生物的浓度模型假设生物化学提供了有机物分解、转化和微生物增殖、衰亡的规律及相关参数6.进入处理池的废水中有害物质浓度为c0,c01c0c02,c01=10-3g/m3,c02=10-2g/m3,c0可以改变,最坏情况是c0由c01突然增加到c027.环境保护法规定的废水中有害物质浓度为c*=5×10-4g/m3,它是长期稳定排放的标准,如果是短期排放并超标不大,可以用处罚等方法解决.5.忽略蒸发等因素,废水进入处理池和排出处理池的流量均为常数Q=10m3/h;废水满池,池的容积为V单池模型建立一个处理池(t,t+t)内池内有害物质的平衡改变量=进入量−排出量−分解转化量)]()([tcttcVttQctQc)(0ttctbVr)()(1c(t)~有害物质浓度b(t)~微生物的浓度V~池的容积bcrccVQdtdc10)((t,t+t)内池内微生物的平衡)]()([tbttbVttQbttVdbttctbVr)()()()(2bVQdcrdtdb)(2Q~流量非线性方程组无解析解单池模型的稳态状况平衡点用微分方程稳定性理论可以验证:bcrccVQdtdc10)(bVQdcrdtdb)(2cVrccQbVrVdQcP1021)(,:0,:02bccPVQdcr/02微生物的增殖率大于死亡和排除率dcrQVcc020当时P1稳定,P2不稳定单池模型的稳态状况c01c0c02Q=10m3/hr2=1.26m3/g.hd=10-5/hc0=c01=10-3g/m3V8×103m3V1.6×104m3c0=c*=5×10-4g/m3V↑c0↓dcrQV02平衡点P1稳定条件为使稳定状况下有害物质浓度达到规定标准c*,处理池的容积至少需要达到1.6×104m3.一个长宽各100m,深1.6m的池子!考察最坏情况取稳定平衡点P1为初值,即单池模型的动态过程当c0=c01时池内浓度已处于稳态,c0突然增加到c02)0())0(()0(,)0(102cVrccQbVrVdQcbcrccVQdtdc10)(bVQdcrdtdb)(2设V=1.6×104m3和3×104m3,用数值方法解微分方程组:有害物质浓度将有约1300小时超过2c*,最高达到5c*单池模型的动态过程01000200030004000500000.511.522.53x10-3c*V=1.6×104m3c(×10-3g/m3)t(h)01000200030004000500000.511.522.53x10-3c*V=3×104m3c(×10-3g/m3)t(h)有害物质浓度将有约900小时超过2c*,最高达到3c*13002c*要达到规定的标准需要太大的池子!长宽各100m,深3m的池子两个串接的池子双池模型V1,c1,b1Q,c0V2,c2,b2Q,c1,b1池Ⅰ池Ⅱ1111011)(cbrccVQdtdc1222222)(bVQbVQdcrdtdb2212122)(cbrccVQdtdc11121)(bVQdcrdtdb与单池模型相同(只是加上下标1)增加从池Ⅰ的流入量池Ⅰ方程的平衡点双池模型的稳态状况11110121111)(,:crVccQbrVdVQcPdcrQVcc02101当时P1稳定c0=c01,V18×103m3池Ⅱ方程的平衡点)](4)([21,)(:21222111221112222122122VQdcrVQdbrcrVQdbrcrrccrVccQbP*11*2*1*12*2))(()(cbrdcrccccQVcc要求稳态下双池模型的稳态状况*11*2*1*12))(()(cbrdcrccccQV在c0=c01,V18×103m3下取值计算c1,b1,V2V1(×103m3)c1(×10-3g/m3)b1(×10-3g/m3)V2(×103m3)81.000.0216.03100.802.509.63120.674.145.39140.575.312.37160.506.180.10,)(,1111012111crVccQbrVdVQc应选择较大的V1和较小的V2相配合的方案双池模型的动态过程仍考察c0由c01突然增加到c02的最坏情况01000200030004000500000.511.52x10-3c*V1=1.4×104m3,V2=7×103m3c2(×10-3g/m3)01000200030004000500000.511.52x10-3c*c2(×10-3g/m3)V1=1.4×104m3,V2=2.5×104m3有害物质浓度约1200小时超过c*,很短时间超过2c*要使有害物质浓度完全不超过c*,需要V2太大双池模型与单池模型的比较有害物质浓度约1200小时超过c*,很短时间超过2c*有害物质浓度约900小时超过2c*,最高达到3c*双池总容积比单池减少近1/3,处理效果好得多虽然有超标,但这是最坏情况,可按处罚等方法解决01000200030004000500000.511.52x10-3c*V1=1.4×104m3,V2=7×103m3c2(×10-3g/m3)双池01000200030004000500000.511.522.53x10-3c*V=3×104m3c(×10-3g/m3)t(h)单池V1+V2=2.1×104m313.2红绿灯下的交通流背景与对象公路上行驶的一辆接一辆的汽车队伍.将车队类比作连续的流体,称为交通流(车流).描述、分析每一时刻通过公路上每一点的交通流的流量、速度、密度之间的关系.研究出现红绿灯改变（可以看作交通事故的发生和排除）时交通流的变化过程.交通流的基本函数对象~无穷长公路上单向行驶的一条车流，不许超车,公路上没有岔路(汽车不会从其他道路进入或驶出).xo0车流方向流量q(x,t)~时刻t单位时间内通过点x的车辆数.密度(x,t)~时刻t点x处单位长度内的车辆数.速度u(x,t)~时刻t通过点x的车流速度.基本关系：q(x,t)=u(x,t)(x,t)单位时间内通过的车辆数等于车流速度(单位时间行驶的距离)乘以单位长度内的车辆数.交通流的基本函数基本关系：q(x,t)=u(x,t)(x,t)流量q(x,t)密度(x,t)速度u(x,t)qmq0*m•速度u随着密度的增加而减少,设u是的线性函数,)/1(mmuu)/1(mmuq平衡状态(所有车辆速度相同,公路各处密度相同)下u,和q的关系.=*=m/2,q=qm(最大值)•=0,u=um(最大值);=m(最大值),u=0.连续交通流方程流量q(x,t)密度(x,t)速度u(x,t)badxtxdtdtbqtaq),(),(),(abq(a,t)q(b,t)x(x,t)badxtxqxtbqtaq),(),(),(dxtxtdxtxdtdbaba),(),(badxxqt0)(0xqt区间[a,b]的任意性关于q(x,t),(x,t),u(x,t)的连续、可微、解析性假设积分形式微分形式连续交通流方程0xqt流量q(x,t)密度(x,t)速度u(x,t)ddqxt)(,0)(已知q=q()xxfx),()0,(已知初始密度f(x)一阶拟线性偏微分方程用特征方程和首次积分法求解)0(,))(()(),()),((0000xxxtxftxxfttx0txx0斜率k=1/(f(x0))x(t)是一族直线~特征线特征线的斜率随x0变化沿每条特征线x(t),(x,t)是常数f(x0)连续交通流方程讨论q(),f(x)给定后解(x,t)的性质ddqxt)(,0)(xxfx),()0,()/1(mmuq)/21(/)(mmuddqm*012*=m/2,(*)=0,k00))(()(xtxftxt(x)的斜率k=1/(f(x0))特征线1*,(1)0,k02*,(2)0,k0按初始密度f(x)是x的减函数或增函数讨论解(x,t)的性质)0()()),((00xxxfttx连续交通流方程f(x)~增函数xf(x)x*x1x20*12xf(x)~减函数f(x)x*x1x20*121*,k02*,k0=*,k前面车流密度小(速度大),后面密度大(速度小),行驶正常.前面车流密度大(速度小),后面密度小(速度大),造成堵塞,(x,t),q(x,t)出现间断.)0()()),((00xxxfttxxx*x1x20t00))(()(xtxftxxx*x1x1x20tP(x,t)00))(()(xtxftx在P(x,t)点,(x,t)=f(x1)(x,t)=f(x1)?间断交通流方程设一连串间断点(x,t)形成孤立、连续的间断线x=xs(t)badxtxdtdtbqtaq),(),(),(交通流方程的积分形式btxtxassdxtxdxtxdtdtbqtaq)()(]),(),([),(),(btxstxasssdtdxttxdxtdtdxttxdxt)()()),(()),((推导间断线xs(t)的方程对任意t,x=xs(t)孤立,取axs(t)b,且[a,b]内只有xs(t)一个孤立点.间断交通流方程xs(t)+-xab0txbtxass,q_qbtxstxasssdtdxttxdxtdtdxttxdxttbqtaq)()()),(()),((),(),(00__][_][qqq][][qdtdxs[],[q]用连续交通流方程得到的,q在间断点取极限值算出.dtdxdtdxss红绿灯模型问题•公路上交通流处于稳态,即初始密度f(x)为常数.•交通灯置于x=0处,t=0时交通灯变红.•x0处的车辆继续行驶,x0处的车辆出现堵塞.•t=时交通灯变绿,堵塞的车辆快速行驶.•用车流密度(x,t)描述红绿灯转换下交通流的变化.•绿灯后堵塞的车辆多长时间才能追上远离的车队?•需要多长时间堵塞状态才会消失,交通恢复正常?对象红绿灯模型)0(,))(()(),()),((0000xxxtxftxxfttx讨论密度