《数学模型》第3章

第三章简单的优化模型3.1存贮模型3.2生猪的出售时机3.3森林救火3.4最优价格3.5血管分支3.6消费者均衡3.7冰山运输•现实世界中普遍存在着优化问题•静态优化问题指最优解是数(不是函数)•建立静态优化模型的关键之一是根据建模目的确定恰当的目标函数•求解静态优化模型一般用微分法静态优化模型3.1存贮模型问题配件厂为装配线生产若干种产品，轮换产品时因更换设备要付生产准备费，产量大于需求时要付贮存费。该厂生产能力非常大，即所需数量可在很短时间内产出。已知某产品日需求量100件，生产准备费5000元，贮存费每日每件1元。试安排该产品的生产计划，即多少天生产一次（生产周期），每次产量多少，使总费用最小。要求不只是回答问题，而且要建立生产周期、产量与需求量、准备费、贮存费之间的关系。问题分析与思考•每天生产一次，每次100件，无贮存费，准备费5000元。日需求100件，准备费5000元，贮存费每日每件1元。•10天生产一次，每次1000件，贮存费900+800+…+100=4500元，准备费5000元，总计9500元。•50天生产一次，每次5000件，贮存费4900+4800+…+100=122500元，准备费5000元，总计127500元。平均每天费用950元平均每天费用2550元10天生产一次平均每天费用最小吗?每天费用5000元•这是一个优化问题，关键在建立目标函数。显然不能用一个周期的总费用作为目标函数目标函数——每天总费用的平均值•周期短，产量小•周期长，产量大问题分析与思考贮存费少，准备费多准备费少，贮存费多存在最佳的周期和产量，使总费用（二者之和）最小模型假设1.产品每天的需求量为常数r；2.每次生产准备费为c1,每天每件产品贮存费为c2；3.T天生产一次（周期）,每次生产Q件，当贮存量为零时，Q件产品立即到来（生产时间不计）；建模目的设r,c1,c2已知，求T,Q使每天总费用的平均值最小。4.为方便起见，时间和产量都作为连续量处理。模型建立0tq贮存量表示为时间的函数q(t)TQrt=0生产Q件，q(0)=Q,q(t)以需求速率r递减，q(T)=0.一周期总费用TQccC2~21每天总费用平均值（目标函数）2~)(21rTcTcTCTC离散问题连续化AcdttqcT202)(一周期贮存费为A=QT/22221rTccrTQ模型求解Min2)(21rTcTcTC求T使0dTdC212crcrTQ212rccT模型分析QTc,1QTc,2QTr,模型应用c1=5000,c2=1，r=100T=10(天),Q=1000(件),C=1000(元)•回答问题•经济批量订货公式（EOQ公式）212rccT212crcrTQ每天需求量r，每次订货费c1,每天每件贮存费c2，用于订货、供应、存贮情形不允许缺货的存贮模型•问：为什么不考虑生产费用？在什么条件下才不考虑？T天订货一次(周期),每次订货Q件，当贮存量降到零时，Q件立即到货。允许缺货的存贮模型AB0qQrT1t当贮存量降到零时仍有需求r,出现缺货，造成损失原模型假设：贮存量降到零时Q件立即生产出来(或立即到货)现假设：允许缺货,每天每件缺货损失费c3,缺货需补足T1rTQAcdttqcT2021)(一周期贮存费BcdttqcTT331)(一周期缺货费周期T,t=T1贮存量降到零2)(2213121TTrcQTccC一周期总费用rTQrTcrTQcTcTCQTC2)(2),(232210,0QCTC每天总费用平均值（目标函数）213121)(2121TTrcQTccC一周期总费用Min),(QTC求T,Q使332212cccrccT323212ccccrcQ为与不允许缺货的存贮模型相比，T记作T’,Q记作Q’212rccT212crcrTQ不允许缺货模型QQTT,332ccc记1QQTT','13cQQTT,332212'cccrccT323212'ccccrcQ允许缺货模型不允许缺货3c332212cccrccT323212ccccrcQ允许缺货模型0qQrT1tT注意：缺货需补足Q~每周期初的存贮量R每周期的生产量R（或订货量）332212ccccrcTrRQ~不允许缺货时的产量(或订货量)QQR3.2生猪的出售时机饲养场每天投入4元资金，用于饲料、人力、设备，估计可使80千克重的生猪体重增加2公斤。问题市场价格目前为每千克8元，但是预测每天会降低0.1元，问生猪应何时出售。如果估计和预测有误差，对结果有何影响。分析投入资金使生猪体重随时间增加，出售单价随时间减少，故存在最佳出售时机，使利润最大trtgttQ4)80)(8()(求t使Q(t)最大rggrt240410天后出售，可多得利润20元建模及求解生猪体重w=80+rt出售价格p=8-gt销售收入R=pw资金投入C=4t利润Q=R-C=pw-C估计r=2，若当前出售，利润为80×8=640（元）t天出售=10Q(10)=660640g=0.1敏感性分析研究r,g变化时对模型结果的影响估计r=2，g=0.1rggrt2404•设g=0.1不变5.1,6040rrrtt对r的（相对）敏感度rrttrtS/Δ/Δ),(trdrdt3604060),(rrtS生猪每天体重增加量r增加1%，出售时间推迟3%。1.522.5305101520rt敏感性分析估计r=2，g=0.1rggrt2404研究r,g变化时对模型结果的影响•设r=2不变15.00,203gggtt对g的（相对）敏感度tgdgdtggttgtS/Δ/Δ),(32033),(ggtS生猪价格每天的降低量g增加1%，出售时间提前3%。0.060.080.10.120.140.160102030gt强健性分析保留生猪直到利润的增值等于每天的费用时出售由S(t,r)=3建议过一周后(t=7)重新估计,再作计算。wwpp,,,研究r,g不是常数时对模型结果的影响w=80+rtw=w(t)4)()()()(twtptwtpp=8-gtp=p(t)若(10%),则（30%）2.28.1w137t0)(tQ每天利润的增值每天投入的资金ttwtptQ4)()()(3.3森林救火森林失火后，要确定派出消防队员的数量。队员多，森林损失小，救援费用大；队员少，森林损失大，救援费用小。综合考虑损失费和救援费，确定队员数量。问题分析问题记队员人数x,失火时刻t=0,开始救火时刻t1,灭火时刻t2,时刻t森林烧毁面积B(t).•损失费f1(x)是x的减函数,由烧毁面积B(t2)决定.•救援费f2(x)是x的增函数,由队员人数和救火时间决定.存在恰当的x，使f1(x),f2(x)之和最小•关键是对B(t)作出合理的简化假设.问题分析失火时刻t=0,开始救火时刻t1,灭火时刻t2,画出时刻t森林烧毁面积B(t)的大致图形t1t20tBB(t2)分析B(t)比较困难,转而讨论森林烧毁速度dB/dt.模型假设3）f1(x)与B(t2)成正比，系数c1(烧毁单位面积损失费）1）0tt1,dB/dt与t成正比，系数(火势蔓延速度）2）t1tt2,降为-x(为队员的平均灭火速度）4）每个队员的单位时间灭火费用c2,一次性费用c3假设1）的解释rB火势以失火点为中心，均匀向四周呈圆形蔓延，半径r与t成正比面积B与t2成正比，dB/dt与t成正比.xbtt12202)()(tdttBtB模型建立dtdBb0t1tt2x假设1）,1tbxcttxcxftBcxf31222211)()(),()(目标函数——总费用)()()(21xfxfxC假设3）4）xttt112假设2）)(222212212xttbt0dxdCxcxxtcxtctcxC3122121211)(22)(模型建立目标函数——总费用模型求解求x使C(x)最小231221122ctctcx结果解释•/是火势不继续蔓延的最少队员数dtdBb0t1t2tx其中c1,c2,c3,t1,,为已知参数模型应用c1,c2,c3已知,t1可估计,c2xc1,t1,xc3,x结果解释231221122ctctcxc1~烧毁单位面积损失费,c2~每个队员单位时间灭火费,c3~每个队员一次性费用,t1~开始救火时刻,~火势蔓延速度,~每个队员平均灭火速度.为什么?,可设置一系列数值由模型决定队员数量x3.4最优价格问题根据产品成本和市场需求，在产销平衡条件下确定商品价格，使利润最大假设1）产量等于销量，记作x2）收入与销量x成正比，系数p即价格3）支出与产量x成正比，系数q即成本4）销量x依赖于价格p,x(p)是减函数建模与求解pxpI)(收入qxpC)(支出)()()(pCpIpU利润进一步设0,,)(babpapx求p使U(p)最大0*ppdpdU使利润U(p)最大的最优价格p*满足**ppppdpdCdpdI最大利润在边际收入等于边际支出时达到pxpI)(qxpC)(bpapx)())((bpaqp)()()(pCpIpUbaqp22*建模与求解边际收入边际支出结果解释baqp22*0,,)(babpapx•q/2~成本的一半•b~价格上升1单位时销量的下降幅度（需求对价格的敏感度）•a~绝对需求(p很小时的需求)bp*ap*思考：如何得到参数a,b?3.5血管分支背景机体提供能量维持血液在血管中的流动给血管壁以营养克服血液流动的阻力消耗能量取决于血管的几何形状在长期进化中动物血管的几何形状已经达到能量最小原则研究在能量最小原则下，血管分支处粗细血管半径比例和分岔角度问题模型假设一条粗血管和两条细血管在分支点对称地处于同一平面血液流动近似于粘性流体在刚性管道中的运动血液给血管壁的能量随管壁的内表面积和体积的增加而增加，管壁厚度近似与血管半径成正比qq1q1ABB´CHLll1rr1q=2q1r/r1,?考察血管AC与CB,CB´粘性流体在刚性管道中运动lprq84p~A,C压力差，~粘性系数克服阻力消耗能量4218dlqpqE提供营养消耗能量21,2lbrE管壁内表面积2rl管壁体积(d2+2rd)l,管壁厚度d与r成正比模型假设qq1q1ABB´CHLll1rr1模型建立qq1q1ABB´CHLll1rr14218dlqpqE克服阻力消耗能量21,2lbrE提供营养消耗能量11412142212)/()/(lbrrkqlbrrkqEEEsin/,/1HLltgHLlsin/2)/()tan/)(/(),,(14121421HbrrkqHLbrrkqrrE机体为血流提供能量模型求解qq1q1ABB´CHLll1rr10,01rErE0/40/451211521rkqrbrkqrb4114rr0E412cosrr442cos210014937,32.1/26.1rrsin/2)/()tan/)(/(),,(14121421HbrrkqHLbrrkqrrE模型解释生物学家：结果与观察大致吻合大动脉半径rmax,毛细血管半径rmin大动脉到毛细血管有n次分岔4114rr4minmax4nrr5minmax41000/rr21