《机械工程控制基础》(杨叔子主编)第五章+系统的稳定性

1第五章系统的稳定性◆系统稳定性的初步概念◆Routh（劳斯）稳定判据◆Nyquist（乃奎斯特）稳定判据◆Bode（伯德）稳定判据◆系统的相对稳定性◆利用MATLAB分析系统的稳定性习题：5.4，5.7，5.9（4），5.122控制系统能够在工程实际中应用的首要条件是系统必须稳定。控制系统的稳定性分析是控制理论的重要组成部分。分析系统的稳定性，提出保证系统稳定的措施，是控制工程的基本任务之一。稳定指控制系统在外作用消失后自动恢复原有平衡状态或自动地趋向于一个新的稳定平衡状态的能力。如果系统不能恢复稳定状态，则认为系统不稳定。5.1系统稳定性的初步概念35.1系统稳定性的初步概念一、系统不稳定现象得发生图a所示的摆假设受到扰动力而左右摆动，经过一定时间后，由于空气介质的阻尼作用，单摆将重新回到原来的平衡位置，此时称单摆是稳定的。图b为一个倒立摆，该摆在图示位置是平衡的，但是当受到扰动力而偏离平衡位置后，即使扰动力消失，摆也不能自动重新回到平衡位置，此时称倒立摆是不稳定的。45.1系统稳定性的初步概念55.1系统稳定性的初步概念上例中，系统是在输入撤销后，从偏离平衡位置所处得初始状态出发，因系统本身的固有特性而产生振动的，故线性系统的稳定性只取决于系统本身的结构与参数，而与输入无关。单位反馈系统分析P155控制理论中所讨论的稳定性其实都是指自由振荡下的稳定性，也就是说，是讨论输入为零，系统仅存在有初始状态不为零时的稳定性，即讨论系统自由振荡是收敛的还是发散的。65.1系统稳定性的初步概念二、稳定的定义75.1系统稳定性的初步概念85.1系统稳定性的初步概念95.1系统稳定性的初步概念所以：不稳定区不稳定区临界稳定稳定区稳定区s平面j105.1系统稳定性的初步概念（系统稳定的判别方法）115.2Routh（劳斯）稳定判据Routh判据是基于方程式根与系数的关系建立的，通过对系统特征方程式的各项系统进行代数运算，得出全部根具有负实部的条件，从而判断系统的稳定性。125.2Routh（劳斯）稳定判据二、系统稳定的充要条件13由此可见，应用Routh判据，可在不求系统特征根的情况下，判断系统的稳定性。5.2Routh（劳斯）稳定判据（判断系统稳定性）145.2Routh（劳斯）稳定判据（判断系统稳定性）155.2Routh（劳斯）稳定判据（判断系统稳定性）例5.4：设某系统的特征方程，以便使系统稳定。及试确定待定参数01)1()1()(23ssssD解：根据特征方程的各项系数，列出Routh表：。及的取值范围为：、所以，使系统稳定的。即即即＋）（条件，有：表，由系统稳定的充要根据101,01)3(;,0,0)()2(;1,011Routh参考教材P163图5.2.216例5-5：设线性系统特征方程式为：试判断系统的稳定性。5.2Routh（劳斯）稳定判据三、Routh判据的特殊情况1）劳斯表第一列出现系数为零。05422)(334sssssD0123450042521sssss若劳斯表某行第一列系数为零，则劳斯表无法计算下去，可以用无穷小的正数ε代替0，接着进行计算，劳斯判据结论不变。5104504252101234sssss由于劳斯表中第一列系数有负，系统是不稳定的。解：建立劳斯表：175.2Routh（劳斯）稳定判据2）劳斯表中出现某行系数全为零例5.6：设线性系统特征方程式为：试判断系统的稳定性。234560016122016122162081sssss01616201282)(23456sssssssD解：建立劳斯表：185.2Routh（劳斯）稳定判据Routh表中出现某行系数全为零，这是因为在系统的特征方程中出现了对称于原点的根（如大小相等，符号相反的实数根；一对共轭纯虚根；对称于原点的两对共轭复数根）。解决的办法：对称于原点的根可由全零行上面一行的系数构造一个辅助方程式F(s)=0求得，而全零行的系数则由全零行上面一行的系数构造一个辅助多项式F(s)对s求导后所得的多项式系数来代替，劳斯表可以继续计算下去。（s的次数为偶数）结论：一旦劳斯表中出现某行系数全为零，则系统的特征方程中出现了对称于原点的根，系统必是不稳定的。劳斯表中第一列系数符号改变的次数等于系统特征方程式根中位于右半s平面的根的数目。这些数值相同、符号相异的成对的特征根，可通过解由辅助多项式构成的辅助方程得到，即2p阶的辅助多项式有这样的p对特征根。195.2Routh（劳斯）稳定判据16616166248161220161221620810123456sssssss220)4)(2(0864,32,12224jsjsssss对于本例：ssss24816122324(2p=4,p=2)结论：系统是不稳定的(本题是临界稳定)。由辅助方程式可以求的系统对称于原点的根:这两对根是原方程的根的一部分。即：205.2Routh（劳斯）稳定判据例5.7：设线性系统特征方程式为：044732)(23456sssssssD试判断系统的稳定性。1610016664431043147210123456sssssssssss644332423126,54,32,1jsjss系统是不稳定的。特征方程共有6个根：解：建立劳斯表：215.3Nyquist（乃奎斯特）稳定判据前面介绍了判断系统稳定性的方法。代数判据法根据特征方程根和系数的关系判断系统的稳定性。本节介绍另一种重要并且实用的方法——乃奎斯特稳定判据。这种方法可以根据系统的开环频率特性，来判断闭环系统的稳定性，并能确定系统的相对稳定性。是频域分析法的重要成果。225.3nyquist（乃奎斯特）稳定判据下面简要介绍幅角定理：一、幅角定理（又称映射定理）如图所示的闭环系统，设其开环传递函数为：)())(()())(()()(2121nmpspspszszszsKsHsG)())(()())(()())(()())((1)(21212121nmnmpspspssssssspspspszszszsKsF可得：由上式可见，复变函数F(s)的零点为系统特征方程的根(闭环极点)s1、s2、…sn，而F(s)的极点则为系统的开环极点p1、p2、…pn。系统的特征方程为：F(s)=1+G(s)H(s)=0系统的闭环传递函数：它是建立在复变函数理论基础上的。235.3Nyquist（乃奎斯特）稳定判据（一）s平面与F(S)平面的映射关系245.3Nyquist（乃奎斯特）稳定判据255.3Nyquist（乃奎斯特）稳定判据265.3Nyquist（乃奎斯特）稳定判据275.3Nyquist（乃奎斯特）稳定判据285.3Nyquist（乃奎斯特）稳定判据Z=N+P295.3Nyquist（乃奎斯特）稳定判据305.3Nyquist（乃奎斯特）稳定判据315.3Nyquist（乃奎斯特）稳定判据32二、基于辅助函数F(S)的奈氏判据乃奎斯特轨迹由两部分组成：一部分是沿着虚轴由下向上移动的直线段L1，在此线段上s=jω，ω由-∞变到+∞。另一部分是半径为无穷大的半圆L2。如此定义的封闭曲线肯定包围了F(s)的位于右半部的所有零点和极点。5.3Nyquist（乃奎斯特）稳定判据335.3Nyquist（乃奎斯特）稳定判据34三、基于开环传递函数G(S)H(S)的奈氏判据5.3Nyquist（乃奎斯特）稳定判据35开环传递函数G(S)H(S)奈氏稳定判据：（1）如果开环系统是稳定的，即P＝0，则闭环系统稳定的充要条件是G(jw)H(jw)曲线不包围（－1，j0）点。（2）如果开环系统不稳定，且已知有p个开环极点在s的右半平面，则闭环系统稳定的充要条件是G(jw)H(jw)曲线按逆时针方向围绕（－1，j0）点旋转P周。5.3Nyquist（乃奎斯特）稳定判据365.3Nyquist（乃奎斯特）稳定判据应用奈氏判据判别闭环系统的稳定性步骤：1.作出开环系统的奈氏曲线G(jw)H(jw).2.计算奈氏曲线G(jw)H(jw）对点（－1,j0）按顺时针方向的包围圈数N.3.确定开环系统是否稳定，若不稳定，则确定开环系统在右半s平面上的极点数P。4.根据辐角原理确定z是否为零。如果z=0,表示闭环系统稳定。Z≠0,表示该闭环系统不稳定。Z的数值反映了闭环特征方程式的根在s右半面上的个数。375.3Nyquist（乃奎斯特）稳定判据下面两图为当P＝0时，系统的开环nyquist图，求系统的闭环稳定性。（a）图不包围（－1，j0）点，故相应的闭环系统稳定。（b）图包围（－1，j0）点，故相应的闭环系统不稳定。385.3Nyquist（乃奎斯特）稳定判据因为G(S)H(S)在[s]平面的右半平面有一个极点，为s＝1/T2,所以p＝1当w由－∞至＋∞时，由于开环nyquist轨迹逆时针包围（－1，j0）点一圈，所以闭环系统仍然是稳定的。例5－5下图为某系统的开环nyquist图，其开环传递函数为：395.3Nyquist（乃奎斯特）稳定判据405.3Nyquist（乃奎斯特）稳定判据首先画出开环系统的Nyquist图，然后，根据两个积分环节按顺时针从π到-π转过半径为无穷大的圆弧。当w由－∞到＋∞时，开环nyquist轨迹顺时针包围（－1，j0）点两圈,N=2。而p＝0，所以闭环不稳定。415.3Nyquist（乃奎斯特）稳定判据425.3Nyquist（乃奎斯特）稳定判据435.3Nyquist（乃奎斯特）稳定判据445.3Nyquist（乃奎斯特）稳定判据455.3Nyquist（乃奎斯特）稳定判据系统的特征方程465.4Bode（伯德）稳定判据Nyquist稳定判据是利用开环频率特性Gk(jw)的极坐标图（nyquist图）来判定闭环系统的稳定性。如果将开环极坐标图改画为开环对数坐标图，即bode图，同样可以利用它来判定系统的稳定性。这种方法称为对数频率特性判据，简称为对数判据或伯德判据。47一、nyquist图和bode图的对应关系5.4Bode（伯德）稳定判据485.4Bode（伯德）稳定判据ωc：开环频率特性幅值为1时所对应的角频率为幅值穿越频率或剪切频率Wc。在极坐标平面上，开环nyquist图穿越单位圆的点所对应的角频率就是幅值穿越频率Wc。在bode图上，开环幅频特性穿越0dB线的点所对应的角频率就是幅值穿越频率Wc。ωg：开环频率特性的相位等于－180°时，所对应的角频率称为相位穿越频率，记为Wg。495.4Bode（伯德）稳定判据二、穿越的概念505.4Bode（伯德）稳定判据51例系统开环传递函数为)1()()(TSsKsHsG试用对数稳定判据判断其稳定性。5.4Bode（伯德）稳定判据L()/dB－20dB/dec20lgK＝1/T－40dB/dec0()/(°)0°－90°－180°解开环系统伯德图如图所示。例5-12的伯德图此系统的开环传递函数在s平面右半部没有极点,即P=0,而在L(ω)≥0的频段内,相频特性φ(ω)不穿越－180°线,故闭环系统必然稳定。525.5系统的相对稳定性从nyquist稳定判据可推知：若p＝0的闭环系统稳定，且当开环nyquist轨迹离点（－1，j0）越远，则其闭环系统稳定性越高；反之越低。——系统的相对稳定性。535.5系统的相对稳定性545.5系统的相对稳定性555.5系统的相对稳定性565.5系统的相对稳定性575.5系统的相对稳定性585.5系统的相对稳定性开环频率特性幅值为1时所对应的角频率为幅值穿越频率或剪切频率Wc。开环频率特性的相位等于－180°时，所对应的角频率称为相位穿越频率，记为Wg，595.6利用matlab分析系统的稳定性在matlab中，如果已知系统的特征方程，极易求出系统的特征根。根