]2011年高考数学一轮复习专题09_三角恒等变换(学生版)

三角恒等变换专题【整体感知】：三角恒等变换是我们学习了三角函数之后的两角和差公式以及二倍角公式的运用。所以在考试中经常和三角函数的图像与性质一起考查。尤其是二倍角公式的运用。【热点点击】：高考中对于三角恒等变换中的二倍角公式考查的是比较多的，也是高考的一个热点。注意公式的正用和逆用以及变用。【本章考点】:两角和差的三角函数公式、二倍角公式、三角恒等变换的化简与证明。【高考命题趋势】：1.考查两角和差的三角函数公式，经常以小题形式出现，难度不大；2考查二倍角公式的运用，题型可以是小题，也可以是大题，为中档题；3.考查三角恒等变换的化简与求值问题，一般都放在大题中进行考查；4.解答题数中高档题目.对三角恒等变换的考查形式有稳重求变、求活，以“能力立意”的命题趋势.【高考复习建议】：1.首先熟练记忆三角函数的两角和差的正弦公式和余弦公式、正切公式；2.联系三角函数的有关的图像以及性质，往往先化简后，然后利用三角函数的性质求解，因此化简的过程就是三角恒等变换的重要体现。特别是二倍角的余弦公式。注重通法通解的训练，不要只注重技巧.第1讲两角和差的正弦、余弦、正切公式【知识精讲】两角和、差的正弦，余弦、正切公式及其变形；二倍角、半角的正弦、余弦、正切公式；升降幂公式；万能公式；.【基础梳理】1.两角和与差的三角函数sincoscossinsinsincoscossinsincoscoscossinsinsinsincoscoscos2.二倍角公式：cossin22sin22222cossin12sin2cos11tancos22tantan23.半角公式2cos12sin2cos12cos1costan21cossincos1cos1sin4.万能公式：22tan2sin1tan2221tan2cos1tan222tan2tan1tan25.积化和差：sinsin21cossinsinsin21sincoscoscos21coscoscoscos21sinsin6.和差化积：2cos2sin2sinsinyxyxyx2sin2cos2sinsinyxyxyx2cos2cos2coscosyxyxyx2sin2sin2coscosyxyxyx7.三角形内角定理的变形由A＋B＋C＝π，知A＝π－（B＋C）可得出：sinA＝sin（B＋C），cosA＝－cos（B＋C）．而222CBA．有：2cos2sinCBA，2sin2cosCBA．8.方法：1.三角函数式的化简：（1）常用方法：①直接应用公式进行降次、消项；②切割化弦，异名化同名，异角化同角；③三角公式的逆用等。（2）化简要求：①能求出值的应求出值；②使三角函数种数尽量少；③使项数尽量少；④尽量使分母不含三角函数；⑤尽量使被开方数不含三角函数2.三角函数的求值类型有三类：（1）给角求值：一般所给出的角都是非特殊角，要观察所给角与特殊角间的关系，利用三角变换消去非特殊角，转化为求特殊角的三角函数值问题；（2）给值求值：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题的关键在于“变角”，如2(),()()等，把所求角用含已知角的式子表示，求解时要注意角的范围的讨论；（3）给值求角：实质上转化为“给值求值”问题，由所得的所求角的函数值结合所求角的范围及函数的单调性求得角。10.重要结论：1．sinα±cosα＝2sin()4．sin()2.tantantan()(1tantan)coscos3．asinα＋bcosα＝22absin（α＋φ）＝22abcos（α－φ1），．4．(sinα±cosα)2＝1±sin2.5．21cossin22.6．21coscos22.7.1tantan().1tan4【要点解读】要点一三角函数两角和差公式【例1】不查表求sin220°+cos280°+3cos20°cos80°的值.【命题立意】本题主要考查两角和、二倍角公式及降幂求值的方法，对计算能力的要求较高【标准解析】熟知三角公式并能灵活应用【误区警示】公式不熟，计算易出错.【变式训练】已知tan2=2，求（I）tan()4的值；（II）6sincos3sin2cos的值．【标准解析】考查两角公式和同角公式的综合运用【技巧点拨】注意名称间的转换，以及两角和公式的运用。【例2】已知02，且129cos()，223sin()，求cos()的值.【命题立意】考查三角函数的两角和差公式的运用.【标准解析】先构造角，然后结合函数名称进行求值。【误区警示】两角和差公式的准确应用.【变式训练】已知35sin()coscos()sin，那么2cos的值为（）A、725B、1825C、725D、1825【标准解析】考查两角公式的变用【技巧点拨】注意角的整体性，以及两角和公式的运用。要点二三角函数二倍角公式【例3】已知α为第二象限角，且sinα=,415求12cos2sin)4sin(的值奎屯新疆王新敞【命题立意】考查三角函数的二倍角公式的运用.【标准解析】先分析角，然后结合函数名称进行化简求值。【误区警示】二倍角余弦公式的准确应用.【变式训练】已知在△ABC中，sinA（sinB＋cosB）－sinC＝0，sinB＋cos2C＝0，求角A、B、C的大小.【标准解析】考查在三角形中的二倍角共识的运用。【技巧点拨】先统一角，然后结合两角和差公式求解运算。【例4】)12sin12)(cos12sin12(cos（）A．23B．21C．21D．23【命题立意】考查三角函数的二倍角公式的逆用.【标准解析】先分析角，然后结合二倍角的余弦公式进行化简求值。【误区警示】二倍角余弦公式的准确应用.【变式训练】已知14462sin(x)sin(x),x(,)，则4sinx＿＿＿＿。【标准解析】考查在三角形中的二倍角公式的运用。【技巧点拨】先统一角，然后结合两角和差公式求解运算。【原创题探讨】【原创精典1】(2009年广东卷文)函数1)4(cos22xy是A．最小正周期为的奇函数B.最小正周期为的偶函数C.最小正周期为2的奇函数D.最小正周期为2的偶函数【原创精典2】（2009江西卷理）若函数()(13tan)cosfxxx，02x，则()fx的最大值为A．1B．2C．31D．32新动向前瞻【样题1】已知关于x的方程22(31)0xxm的两根为sin,cos,(0,2)，求：（1）sincos1cot1tan的值；（2）m的值；（3）方程的两根及此时的值．【样题2】(1tan20)(1tan21)(1tan24)(1tan25)（）()A2()B4()C8()D16第2讲简单的三角恒等变换【知识精讲】1.利用三角公式进行恒等变形的方法(变角、变次数、变函数名称、变运算关系等)；2.证明角相等的方法和证明三角恒等式的方法；.【知识梳理】三角等式的证明：（1）三角恒等式的证题思路是根据等式两端的特征，通过三角恒等变换，应用化繁为简、左右同一等方法，使等式两端的化“异”为“同”；（2）三角条件等式的证题思路是通过观察，发现已知条件和待证等式间的关系，采用代入法、消参法或分析法进行证明。【要点解读】要点三三角函数两角和差公式求值【例5】已知1cos(75)3，是第三象限角，求cos(15)sin(15)的值．【命题立意】本题主要考查两角和公式及诱导公式的求值的方法，对计算能力的要求较高【标准解析】熟知三角公式并能灵活应用【误区警示】公式不熟，计算易出错.【答案】【变式训练】已知8cos(2)5cos0，求tan()tan的值．【标准解析】考查在三角形中的两角和差的运用。【技巧点拨】先统一角，然后结合两角和差公式求解运算。【答案】要点四三角函数的化简与证明【例6】化简：（1）23tan123sin12(4cos122)；（2）(cottan)(1tantan)222；（3）(1sincos)(sincos)22(0)22cos．【命题立意】本题主要考查两角和公式及二倍角公式的化简的方法【标准解析】熟知三角公式并能灵活应用，多个名称要切化弦进行。【误区警示】公式的准确运用使我们解决问题的关键。【变式训练】1sin4cos41sin4cos4（）()Acot()Bcot2()Ctan()Dtan2a【标准解析】考查在三角函数的二倍角公式的化简的运用。【技巧点拨】先合理组合表达式，运用三角公式进行化简求解。【例7】证明：（1）222(3cos4)tancot1cos4xxxx；（2）sin(2)sin2cos()sinsinABBABAA．【命题立意】本题主要考查两角和公式证明恒等式。【标准解析】由等式两边的差异知：若选择“从左证到右”，必定要“切化弦”；若“从右证到左”，必定要用倍角公式．【误区警示】公式不熟，计算易出错.【变式训练】222cos12tan()sin()441．【标准解析】考查在三角函数的两角和差的运用。【技巧点拨】分析分子和分母的名称，弦切化弦，然后利用二倍角公式化简变形证明【原创题探讨】【原创精典3】（2009辽宁卷文）已知tan2，则22sinsincos2cos（A）43（B）54（C）34（D）45新动向前瞻【样题3】求值：2sin50sin80(13tan10)1cos10．