§4-8拉氏变换与傅氏变换的关系

《信号与系统》《Signals&Systems》大连海事大学信息科学技术学院§4-8拉氏变换与傅氏变换的关系§4-8拉普拉斯变换与傅里叶变换的关系由第一节我们知道，拉普拉斯变换是傅里叶变换由实频率Ω至复频率s=σ+jΩ上的推广，傅里叶变换是拉普拉斯变换在s平面虚轴上的特例。)(sXℒ)}({txℱtetx)()(jX许多信号，将其傅里叶变换式中的jΩ换成s就是它的拉普拉斯变换，反之亦然。例如：单边指数衰减信号jtueFTt1)(stueLTt1)(然而，并非所有信号的傅里叶变换与它的拉普拉斯变换都有这种规律。例如：单位阶跃信号jtuFT1)()(stuLT1)(《信号与系统》《Signals&Systems》大连海事大学信息科学技术学院§4-8拉氏变换与傅氏变换的关系一、拉普拉斯变换收敛域包含虚轴此时，信号的拉普拉斯变换的极点在s平面上虚轴的左半平面。例如，上述的单边指数衰减的信号，其极点位于负实轴上。j)(tuet拉氏变换收敛域此时，信号的拉普拉斯变换的收敛域包含了jΩ轴。负实轴上的重极点的例子：2)(1)(jtuteFTt2)(1)(stuteLTt负实部的共轭复数极点的例子：2020)()()cos(jjtuteFTt2020)()()cos(sstuteLTt《信号与系统》《Signals&Systems》大连海事大学信息科学技术学院§4-8拉氏变换与傅氏变换的关系二、拉普拉斯变换收敛域不包含虚轴此时，信号的拉普拉斯变换的极点在s平面上虚轴的右半平面。例如，单边指数增长的信号，其极点位于正实轴上。其拉氏变换：j)(tuet的拉氏变换收敛域stueLTt1)(此时，由于信号是指数增长的，不满足绝对可积的条件，其傅里叶变换不存在。从s域看，信号的拉普拉斯变换的收敛域不包含虚轴，不能由其拉氏变换将s代以jΩ求得其傅里叶变换。《信号与系统》《Signals&Systems》大连海事大学信息科学技术学院§4-8拉氏变换与傅氏变换的关系三、拉普拉斯变换的极点位于虚轴上例如：单位阶跃信号u(t)显然，当信号的拉普拉斯变换的极点是位于s平面虚轴上的极点，不能简单地将jΩ代替s已得到它的傅里叶变换。stuLT1)(jtuFT1)()(设信号x(t)的拉普拉斯变换为X(s)，它有虚轴上的单极点:jΩiNiiijsAsXsX11)()(NitjitueAtxtxi11)()()(NiiijAjXjX11]1)([)()()(《信号与系统》《Signals&Systems》大连海事大学信息科学技术学院§4-8拉氏变换与傅氏变换的关系NiiijAjXjX11]1)([)()()(NiiiNiiiAjAjX111)()()(NiiijsAsX1)(|)(此时，信号的傅里叶变换包含两部分：一部分是将信号的拉氏变换X(s)中的s代以jΩ的到的，另一部分是对应于虚轴上单极点的冲激信号。设信号x(t)的拉普拉斯变换为X(s)，它有虚轴上的k重极点:jΩikiijsAsXsX)()()(1《信号与系统》《Signals&Systems》大连海事大学信息科学技术学院§4-8拉氏变换与傅氏变换的关系可以证明，此是对应的傅里叶变换为：)()!1(|)()()1(1ikkijskjAsXjX注意：本章所讲的拉氏变换，除了定义与收敛域一节之外，均是指单边拉氏变换。单边拉氏变换在系统分析时，我们均设定系统是因果的。单边拉氏变换在系统的瞬态分析，系统函数及其s域分析应用十分普遍。但是系统函数反映的是系统零状态端特性，不反映系统内部全部特性；另外，在很多情况之下，系统函数不易确定，于是此分析方法也就失效。《信号与系统》《Signals&Systems》大连海事大学信息科学技术学院§4-8拉氏变换与傅氏变换的关系例如：已知一线性时不变系统，当输入x(t)=u(t)时，其零状态响应，设此时有零输入响应。试求：1、系统函数，2、系统的输入输出方程，3、画出系统的一个模拟框图。)()312161()(32tueetyttzstttzieeety32253)(解：1、由系统函数的定义)()()(sXsYsHzsssss1)3(31)2(2161)3(3)2(261ssss6512ss2、系统的输入输出方程。由零输入响应可知，系统还有一个特征根α=-1，系统函数的分母多项式中没有出现。若加上《信号与系统》《Signals&Systems》大连海事大学信息科学技术学院§4-8拉氏变换与傅氏变换的关系特征根α=-1，系统函数为：)1)(65(1)(2sssssH676123ssss于是系统方程为：)()()(6)(7)(6)(2233txdttdxtydttdydttyddttyd3、系统的模拟框图如下：1s1s1s676)(sX)(sY