2012年高三数学一轮复习资料第六章-数列第6讲--数列的综合问题

-1-第6讲数列的综合问题★知识梳理★1.等差数列的补充性质⑴若nSda,0,01有最大值，可由不等式组001nnaa来确定n；⑵若nSda,0,01有最小值，可由不等式组001nnaa来确定n.2.若干个数成等差、等比数列的设法⑴三个数成等差的设法：dxxdx,,；四个数成等差的设法：dxdxdxdx3,,,3.⑵三个数成等比的设法：qxxqx,,；四个数成等比的设法：32,,,xqxqxqx.3.用函数的观点理解等差、等比数列⑴等差数列na中，dadndnaan11)1(，当0d时，na是递增数列，na是n的一次函数；当0d时，na是常数列，na是n的常数函数；当0d时，na是递减数列，na是n的一次函数.⑵等比数列na中，11nnqaa，当1,01qa或10,01qa时，na是递增数列；当10,01qa或1,01qa时，na是递减数列；当1q时，na是一个常数列；当0q时，na是一个摆动数列.4.解答数列综合问题的注意事项⑴认真审题、展开联想、沟通联系；⑵将实际应用问题转化为数学问题；⑶将数列与其它知识（如函数、方程、不等式、解几、三角等）联系起来.★重难点突破★1.重点：掌握常见数列应用问题的解法；掌握数列与其它知识的综合应用.2.难点：如何将实际应用问题转化为数学问题，综合运用所学知识解决数列问题.★热点考点题型探析★考点数列的综合应用-2-题型1等差、等比数列的综合应用【例1】已知等差数列na与等比数列nb中，633221,,1ababab，求nb的通项.【解题思路】由等比数列nb知：321,,bbb成等比，从而找出da,1的关系.【解析】设等差数列na的公差为d，等比数列nb的公比为q，nb是等比数列，321,,bbb成等比，则)5)(()2(11216223dadadaaaa，解得0d或221ad.当0d时，1q，11b，1nb；当2d时，11b，321123dadaaaq，13nnb.【名师指引】综合运用等差、等比数列的有关公式和性质是解决等差、等比数列综合问题的关键.【例2】已知nS为数列na的前n项和，11a，24nnaS.⑴设数列nb中，nnnaab21，求证：nb是等比数列；⑵设数列nc中，nnnac2，求证：nc是等差数列；⑶求数列na的通项公式及前n项和.【解题思路】由于nb和nc中的项与na中的项有关，且241nnaS，可利用na、nS的关系作为切入点.【解析】⑴241nnaS，2412nnaS，两式相减，得nnnnnnnaaaaaSS444412112，)2(22112nnnnaaaa又nnnaab21，nnbb21，由11a，24nnaS，得52a32121aab，nb是等比数列，123nnb.⑵由⑴知，nnnaaa4412，且nnnac2.432232222211111111nnnnnnnnnnnnnbaaaaccnc是等差数列，4143ncn.-3-⑶nnnac2，且4143ncn，.2)13(414322nnnnnana当1n时，12112)13(a，22)13(nnna，.22)43(1nnnS【名师指引】⑴等差、等比数列的证明方法主要有定义法、中项法；⑵将“24nnaS”化归为)(1nnafa是解题的关键.题型2数列与函数、方程、不等式的综合应用【例3】（2008韶关模拟）设函数)(xf的定义域为R，当0x时，1)(xf，且对任意的实数Ryx,，有)()()(yfxfyxf．⑴求)0(f，判断并证明函数)(xf的单调性；⑵数列na满足)0(1fa,且)()2(1)(*1Nnafafnn①求na通项公式；②当1a时，不等式)1log(log35121...111221xxaaaaannn对不小于2的正整数恒成立，求x的取值范围.【解题思路】从已知得到递推关系式，再由等差数列的定义入手；恒成立问题转化为左边的最小值.【解析】⑴1)0(f，)(xf在R上减函数（解法略）⑵①)2()2(1)(,1)0(11nnnafafaffa由)(xf单调性2211nnnnaaaa，故na等差数列12nan②223212211...11,1...11nnnnnnnnaaabaaab则121341141111122121nnnaaabbnnnnn}{,0)12)(34)(14(1nbnnn是递增数列-4-当2n时，3512715111)(432minaabbn)1log(log351235121xxaa，即xxxxaaaaloglog11loglog11而1a，∴1x，故x的取值范围是,1【名师指引】数列与函数、方程、不等式的综合问题，要注意将其分解为数学分支中的问题来解决.题型3数列的应用问题【例4】在一直线上共插有13面小旗，相邻两面之距离为m10，在第一面小旗处有某人把小旗全部集中到一面小旗的位置上，每次只能拿一面小旗,要使他走的路最短，应集中到哪一面小旗的位置上?最短路程是多少?【解题思路】本题求走的总路程最短,是一个数列求和问题,而如何求和是关键,应先画一草图,研究他从第一面旗到另一面旗处走的路程,然后求和.【解析】设将旗集中到第x面小旗处,则从第一面旗到第x面旗处,共走路程为)1(10x,然后回到第二面处再到第x面处是),2(20x,从第x面处到第)1(x面处路程为20，从第x面处到第)2(x面取旗再到第x面处,路程为220，总的路程:22020120220)3(20)2(20)1(10xxxS)13(20x2)14)(13(202)2)(1(20)1(10xxxxx)14)(13()1)(2()1(10xxxxx4315)429(20)183292(1022xxx.由于Nx,当7x时,S有最小值)(780mS.答:将旗集中以第7面小旗处,所走路程最短.【名师指引】本例题是等差数列应用问题.应用等差数列前n项和的公式，求和后，利用二次函数求最短距离时，要特别注意自变量n的取值范围.【例5】用砖砌墙,第一层(底层)用去了全部砖块的一半多一块,第二层用去了剩下的一半多一块,…依次类推,每一层都用去了上次剩下的砖块的一半多一块,到第十层恰好把砖块用完，问共用了多少块?【解题思路】建立上层到底层砖块数na与nS的关系式是关键，应分清它是等差，还是数列等比数列.【解析】设从上层到底层砖块数分别为naaa,,,21,则121nnSa,易得nnnaaaa21,211,即12nnaa因此,每层砖块数构成首项为2,公比为2的等比数列,则204621)21(21010S(块)-5-答:共用2046块.【名师指引】建立na与nS的关系式后，转化为求数列通项的问题.【例6】2002年底某县的绿化面积占全县总面积的40％，从2003年开始,计划每年将非绿化面积的8％绿化,由于修路和盖房等用地,原有绿化面积的2％被非绿化.⑴设该县的总面积为1,2002年底绿化面积为1041a,经过n年后绿化的面积为1na,试用na表示1na；⑵求数列na的第1n项1na；⑶至少需要多少年的努力,才能使绿化率超过60%(参考数据:4771.03lg,3010.02lg)【解题思路】当年的绿化面积等于上年被非绿化后剩余面积加上新绿化面积.【解析】⑴设现有非绿化面积为1b,经过n年后非绿化面积为1nb.于是1,111nnbaba.依题意,1na是由两部分组成,一部分是原有的绿化面积na减去被非绿化部分na1002后剩余的面积na10098,另一部分是新绿化的面积nb1008,于是)1(1008100981008100981nnnnnaabaa252109na⑵)54(10954,25210911nnnnaaaa.数列54na是公比为109,首项5254104541a的等比数列.∴nna)109)(52(541.⑶,21)109(,53)109)(52(54%,601nnna5720.63lg212lg,2lg)19(lgnn.答:至少需要7年的努力,才能使绿化率超过60％.【名师指引】解答数列应用性问题，关键是如何建立数学模型，将它转化为数学问题.【新题导练】1.四个实数，前三个数成等比数列，其和为19，后三个数成等差数列，其和为12，求原来的四个数.【解析】设后三个数分别为dxxdx,,，则412)()(xdxxdx前三个数成等比数列，第一个数为4)4(2d，194)4(4)4(2dd，解得2,1421dd，当14d时，254)4(2d；当2d时，94)4(2d.原来的四个数分别为18,4,10,25或2,4,6,9.-6-2.已知nS为数列na的前n项和，点nnSa,在直线nxy32上．⑴若数列can成等比，求常数的值；⑵求数列na的通项公式；⑶数列na中是否存在三项，它们可以构成等差数列？若存在，请求出一组适合条件的项；若不存在，请说明理由．【解析】⑴由题意知naSnn32，)1(3211naSnn，得321nnaa，2331nnaa，3c；⑵32111aSa，31a，由⑴知：3232)3(311nnnnaaa3232)3(311nnnnaaa；⑶设存在)(,,rpsNrps，使rpsaaa,,成等差数列，rspaaa2即)323()323()323(2rsp，rsp2221，srsp2121（※），因为)(,,rpsNrps，srsp2,21为偶数，sr21为奇数，这与（※）式产生矛盾．所以这样的三项不存在．3.(2009金山中学)数列na首项11a，前n项和nS与na之间满足22(2)21nnnSanS（1）求证：数列1nS是等差数列（2）求数列na的通项公式（3）设存在正数k，使1211121nSSSkn对于一切nN都成立，求k的最大值。【解析】（1）因为2n时，211221nnnnnnnSaSSSSS得112nnnnSSSS由题意0(2)nSn11122nnnSS又111Sa1nS是以111S为首项，2为公差的等差数列.（2）由（1）有11(1)221nnnS121nSnNn-7-2n时，1112212(1)1(21)(23)nnnaSSnnnn.又111aS1(1)2(2)(21)(23)nnannn（3）设12111()21nSSSFnn则212(1)21(1)224841()232123483nSnFnnnnFnnnnnn()Fn在nN上递增故使()Fnk恒成立只需min(