“叉形线”在解题中的应用等论文

奇妙的数虽然人们对数学已有了很深的研究，但数学却仍无时无刻不带给我们惊喜，无意之中，我发现了一个有趣的规律：请看下面几组等式：（1）3×1.5；3＋1.5=4.5（2）5×1.25=6.25；5＋1.25=6.25（3）9×1.25=10.125；9＋1.125=10.125（4）17×1.0625=18.0625；17＋1.0265=18.0625（5）33×1.03125=34.03125；33＋1.03125=34.03125（6）65×1.015625=66.015625；65＋1.015625=66.015625（7）129×1.0078125=130.0078125；129＋1.0078125=130.007812不难发现，如果设第一个数为a，第二个数b,则有a×b=a＋b则数列1，3，5，9，17，……的通项可写成ab=1＋2n数列1.5,1.25，1.125，1.0625……的通项可写成bn=1＋n21这时我们可以看到原因很简单，因为（1＋2n）(1＋n21)=（1＋2n）＋(1＋n21)显然是成立的。从而可将其推广到由（1＋mn）(1＋nm1)=（1＋mn）＋(1＋nm1)得出许多这样奇妙的数组。数学的美丽，数学的惊喜是存在的，就看我们是否善于发现。湖北钟祥柳成兵“叉形线”在解题中的应用解析几何中常遇到两直线相交的问题，我发现这类问题可以把两相交直线看着一个曲线，以下称为“叉形线”。它的曲线方程是什么呢？一般地，如果直线A1＋B1y＋C1=0与直线A2＋B2y＋C2=0相交，则形成的“叉形线”的方程为（A1＋B1y＋C1）（A2＋B2y＋C2）=0且是二次曲线。下面用例子来说一下它的应用。例1、一条直线L被两条直线4x＋y＋6=0和3x－5y－6=0截得的线段中点恰好是坐标原点，则求直线L的方程。解：设L:y=kx(k显然存在)联立“叉形线”：（4x＋y＋6）(3x－5y－6)=0得（12－17k－5k2）x2－(6＋36k)x－36=0设L与“叉形线”相交于点（x1,y1）,(x2,y2)则有221xx=0即6＋36k=0,所以k=－61，故L方程为y=－61x例2、过点M（2，1）作直线L，交x,y轴正半轴于A、B两点，求|MA|·|MB|的最小值。分析与解：可设直线参数方程sin1cos2tytx（2＜＜）把两坐标轴看作“叉形线”，其方程为xy=0，联立直线方程得t2sincos＋t(2sin＋cos)＋2=0①其中方程的两解对应于直线与坐标轴的两交点，设MA=t1,MB=t2即方程①的两根|MA|·|MB|=|t1|·|t2|=|cossin|2=|2sin|4当=43时，|MA|·|MB|的最小值为4。实际上，“叉形线”也应是圆锥曲线的一种，当一平面过两相对圆锥顶点时得到的就是两相交直线形成的曲线即“叉形线”。如果把它和椭圆，抛物线等一样应用，那将是一片新天地吗？湖北钟祥柳成兵例谈数学思想和方法的教学——湖北钟祥柳成兵知识的记忆是暂时的，但数学的精神、思想和方法，以及由此而获得的能力是永存的。所谓数学思想、带有思想、观点的属性，是从具体的数学知识和对数学的认识过程中提炼、升华，在更高层次上抽象和概括的一种隐性的更本质的知识内容，具有宏观的指导意义，是用以建立数学和用数学解决问题的指导思想和数学意识。中学阶段，特别是高考中涉及的主要数学思想有：数形结合思想、函数与方程的思想、分类讨论的思想、化归的思想。所谓数学方法是数学思想的具体表现，因而指的是适用面宽广的数学基本方法，即通性通法，具有模式化和可操作性的特征，用作解题的手段，如消元降幂法、配方法、换元法、待定系数法，数学归纳法、参数法，构造法、几何变换法等。学生在做数学题中领悟、体验数学思想方法，教师在分析和处理问题的过程中揭示、强化数学思想方法，我们应不失时机，启发学生用数学的大脑去观察、分析、处理问题，揭示其数学思想方法，配合学生的体验，逐步强化，使之成为一种意识。请看下面一个例子：例1、P是双曲线22ax－22by=1(a＞0,b＞0)左支上一点。F1，F2分别在左、右焦点，焦距为2C，则△PF1F2的内切圆圆心的横坐标为（）A、－aB、－bC、－CD、a＋b－c分析：在双曲线左支上随便取一点P（x0,y0）计算，将不胜其繁，也是缺乏数学头脑的表现。观察选项的特征，均为定值。据此，可将问题特殊化。取双曲线的左正焦弦的上端点为P，此时△PF1F2为直角三角形，∠PF1F2=900，结合图形，只需求出内切圆半径即可。内切圆半径r=21(|PF1|＋|F1F2|－|PF2|),由双曲线的定义，|PF2|－|PF1|=2a，又|F1F2|=2c，r=21（2c－2a）=c－a，故内切圆圆心的横坐标为－[c－(c-a)]=－a,选A。特殊化处理起来竟如此轻松。极限化则更为巧妙，当点P在左支上向左顶点A1运动时，△PF1F2的内切圆逐渐变小，当点P无限趋近于A1时，其内切圆的极限位置可看作与线段A1F1，A1F2，F1F2同时“相切”，从而这个内切圆退缩为一个点A，它的横坐标为－a.特别在复习阶段对数学思想方法进行梳理、总结，逐步做到自觉性，灵活地施用所要解决的问题。显得特别重要。例2、设f(x)=ax2＋8x＋3（a＜0）,对于给定的负数a,有一个最大正数L(a),使得在整个区间[0,L(a)]上，不等式|f(x)|≤5都成立，同a为何值时L(a)最大？求出这个最大值L(a)，证明你的结论。分析：解决这一问题，对学生数学素质的要求较高，包括阅读理解和用数学的思想和方法去分析和处理问题。首先，区间[0，L(a)]的左端是固定的，而右端点是变动的。目的是要使得在整个区间上恒有－5≤f(x)≤5,区间的长度L(a)最大为多少？自觉施用数形结合的思想方法，借助图形的直观可以帮助我们进一步理解这个问题。抛物线开口向下，经配方，f(x)=a(x＋a4)2＋3－a16,其顶点（－a4，3－a16）是否在直线y=f(x)=5上方，直接影响到满足题设条件的区间的长度，因而又需分类讨论。（1）当3－a16＞5即－8＜a＜0时，区间的右端点不能超过y=f(x)与直线y=5的左交点的横坐标。L(a)是方程ax2＋8x＋3=5的较小根，即L(a)=aa28648=42162a＜42=21（2）当3－a16≤5即a≤－8时，区间的右端点不能超过y=f(x)与直线y=－5的右交点的横坐标L(a)是方程ax2＋8x＋3=－5的较大根，即L(a)=aa232648=2244a≤2204=215,当且仅当a=－8时等号成立。由于215＞21，因此当且仅当a=－8时，L(a)max=215。数形结合的思想，使得我们对讨论的问题了如指掌，化解了理解题意的困难；分类讨论并转化为方程来求解，既是重要的思维程序，也是实施时的具体操作程序。数学思想方法的指导在本题得到了充分的体现。数学的思想和方法，以及由此而形成的数学的精神、观点和态度，是数学知识内容的精髓，不仅关系到眼前的学习、解题和应试，而且作为一种素养，作为一种文化，使人受益终身。