TJ1-123二三行列式+逆序数+n阶行列式

前言非常广泛，如：运筹学、投入产出分析、计量经济学、统计学、保险精算、数值计算、计算机程序设计、电子线路、力学、工程等一、主要用途：二、考研占比：高等数学占50%、线性代数占25%、概率统计占25%讲授：以教学大纲（见邮箱）及考研大纲以教学内容三、课程特点：1、枯燥、抽象、难懂（尤其第三、四、五章)。2、概念多、定理多、性质多。3、计算麻烦(+-*/多)、错误不好发现（如矩阵运算）。四、学习要求：1、提前预习（非常重要）。2、紧扣概念、性质、定理。3、多做题，作业占各章习题的30%，其余习题自己练习。4、课后复习（尤其是PPT）。五、作业与考试：1、作业：A4纸单面做，抄题目，每周交一次，不准抄袭。2、考试：平时成绩占比30%，期末考试占比70%，旷课一次扣总分2分，迟到一次扣总分1分，无故旷课7次以上，最后成绩以0分计。六、课堂纪律要求：1、不迟到、不早退。2、不吃东西、可以喝水。3、不要说话。4、不准睡觉。5、不准玩手机及游戏设备。七、教材：八、参考资料：[1]王艳芳，李海燕．线性代数习题全解(人大·线性代数修订版).大连理工大学出版社，2003年9月.[2]赵树嫄，胡显佑，陆启良．线性代数学习与考试指导.中国人民大学出版社，1998年.[3]北京大学数学系．高等代数.高等教育出版社，1995年.（工程数学）线性代数（第五版）.同济大学数学系编，高等教育出版社，2007年5月.教学计划第一章行列式……………………………..…...….8学时第二章矩阵及其运算……………………………....8学时第三章矩阵的初等变换与线性方程组……..….….7学时第四章向量组的线性相关性……………………....9学时第五章相似矩阵及二次型…………………….....10学时（授课42学时，复习2学时）备注：根据教学大纲，第一章第4节、第六章不讲不考第一章行列式1.1二阶与三阶行列式1.2全排列及其逆序数1.3n阶行列式的定义…………………………...…….2学时1.5行列式的性质…………………………………......2学时1.6行列式按行（列）展开………………………......2学时1.7克拉默法则本章总结………………….………….……..……...2学时（教学计划：8学时）备注：1.4节（对换）不讲教学目标与教学要求：重点：行列式的性质；行列式按某一行（列）展开定理；齐次线性方程组有非零解（仅有零解）的结论。难点：n阶行列式的定义的理解；一般的n阶行列式计算。1.理解n阶行列式的定义及其性质;2.掌握用行列式的定义、性质和有关定理去计算有一定难度的n阶行列式的方法；3.掌握克拉默法则；4.知道齐次线性方程组有非零解（仅有零解）的判定。本章重点与难点：主要内容（2学时）一、二元线性方程组与二阶行列式二、三阶行列式三、全排列与逆序数四、n阶行列式的定义（重点）第1-3节二阶与三阶行列式、全排列及其逆序数、n阶行列式的定义11112212112222(1)(2)axaxbaxaxb求解二元线性方程组2211221122221221:aaaxaaxba1212211122222122:aaaxaaxba2:x两式相减消去1x类似消去，得:112212211122122aaaaxbaab（）112212212112121aaaaxabba（）解：利用消元法消去一个未知数一、二元线性方程组与二阶行列式122122111221221,baabxaaaa112212210aaaa当时，方程组解为:112121211221221abbaxaaaa结果不好记忆。为方便记忆，引入二阶行列式1112112212212122aaDaaaaaa其中元素aij的第一个下标i为行指标，第二个下标j为列指标。即aij位于行列式的第i行第j列。二阶行列式的定义主对角线副对角线二阶行列式的计算对角线法则例如132717(2)31322211211aaaa2211aa1221aa122122111221221baabxaaaa11222211122122babaaaaa11121211122122ababaaaa11112212112222axaxbaxaxb二元线性方程组112121211221221abbaxaaaa1DD2DD112212210aaaa当时例1（P2-例1）求解二元线性方程组12123212,21.xxxx解:1223D)4(3,07112121D,14121232D,21DDx11,2714DDx22.37212.310.0.DDD例2设问:(1)当为何值时(2)当为何值时解：231D0D(1)由23(3)03解得或0D(2)由03解得且111122133121122223323113223333axaxaxbaxaxaxbaxaxaxb系数行列式333231232221131211aaaaaaaaaD求解三元线性方程组二、三阶行列式三阶行列式定义：112233122331132132112332122133132231aaaaaaaaaaaaaaaaaa333231232221131211aaaaaaaaa对角线法则记忆332211aaa.322311aaa322113aaa312312aaa312213aaa332112aaa333231232221131211aaaaaaaaa共3!＝6项，每一项都是不同行不同列的三个元素乘积，其中三项为正，三项为负.12-4D-221-34-2例3（P3-例2）计算三阶行列式解：按对角线法则，有D4)2()4()3(12)2(21)3(2)4()2()2(241124843264.142111230.49Dxx例4(P3-例3）求解方程解：方程左端2234189212Dxxxx,652xx2560xx由解得3.2xx或111122133121122223323113223333axaxaxbaxaxaxbaxaxaxb系数行列式333231232221131211aaaaaaaaaD求解三元线性方程组,3333123221131112abaabaabaD.3323122221112113baabaabaaD,3332323222131211aabaabaabD则上述三元线性方程组解为:312123,,.DDDxxxDDD例5解三元线性方程组.0,132,22321321321xxxxxxxxx解：方程组的系数行列式111312121D1111321211111221315,0同理可得1103111221D,51013121212D,100111122213D,5故方程组的解为:,111DDx,222DDx.133DDx112233122331123321221132131332132231aaaaaaaaaaaaaaaaaa333231232221131211aaaaaaaaa中，6项的行下标全为123，而列下标分别为三阶行列式123，231，312此三项均为正号为了给出n阶行列式的定义，下面给出全排列及其逆序数的概念及性质。132，213，321此三项均为负号三、全排列及逆序数定义1由n个不同数1,2,…,n组成的有序数组i1i2···in称为这n个元素的全排列（简称排列）。例如32541是一个5级排列3级排列的全体共有6种，分别为n级排列的总数为(1)321!nPnnn83251467是一个8级排列123，231，312，132，213，321例如排列32514中规定各元素之间有一个标准次序,n个不同的自然数，规定由小到大为标准次序（自然排列：123…n）。1、排列的逆序数32514定义2在一个n级排列中，若数字,则称这两个数构成一个逆序。nstiiiii21stiitsii与定义3一个排列i1i2···in中所有逆序的总数称为此排列的逆序数。记为t(i1i2···in)从前向后分别计算原排列中每个元素的逆序数，各元素逆序数的总和即为原排列的逆序数.方法1在原排列中，分别计算个元素1,2,…,n的逆序数，各元素逆序数的总和即为原排列的逆序数.n2、计算排列逆序数的方法方法21212()()()()nntiiitititi(1)(2)()ttttn例6(P5-例4）求排列32514的逆序数。3251431010逆序数：t(32514)=0+1+0+3+1=53251431010逆序数：t(32514)=3+1+0+1+0=53251401202逆序数：t(32514)=2+1+2+0+0=5方法3：从前向后分别计算每数比后面数大的个数计算逆序数解:12,21nn当时为偶排列；14,4kkn当时为奇排列.34,24kkn1tn2n32121nnn1n2n定义4逆序数是奇数（偶数）的排列称为奇排列（偶）例7计算排列n(n-1)(n-2)…321的逆序数，并讨论它的奇偶性.(2)217986354(2)01001344518t课堂练习一：求以下排列的逆序数，并判断排列的奇偶性。(1)453162002349t解：(1)(3)13…(2n1)24…(2n)1312102()()()()...nntnn3、逆序数的性质(1)(12)0tn(1)(2)((1)321)2nntnn12(1)(3)0()2nnntiii四、n阶行列式的定义（重点）三阶行列式333231232221131211aaaaaaaaaD322113312312332211aaaaaaaaa332112322311312213aaaaaaaaa说明：（1）三阶行列式共有6项，即项．!3（2）每项都是位于不同行不同列的三个元素的乘积．（3）三阶行列式表示所有不同行、不同列的三个元素乘积的代数和．123123jjjaaa（4）展开式每项的正负号都取决于位于不同行不同列的三个元素的下标排列．例如322113aaa列标排列的逆序数为312112t112332aaa列标排列的逆序数为132101t偶排列奇排列正号负号tjjjjjjaaaaaaaaaaaa123123111213()212223123313233(1).ijaD简记作或ijaDij数为中第行第列的元素．2(,1,2,...,),ijnaijnnD由个元素组成的阶行定列式义5等于所有取自不同行、不同列的n个元素乘积的代数和.各项符号是：由列标排列的奇偶性决定(行标自然排列)111212122212nnnnnnaaaaaaDaaa1212()12(1)nntjjjjjnjaaa1212(),nntjjjnjjj用代表级排列的逆序数则说明:(1)行列式是一种特定的算式，它是根据求解方程个数和未知量个数相同的一次方程组的需要而定义的;(2)阶行列式是项的代数和;n!n(3)阶行列式的每项都是位于不同行、不同列个元素的乘积;nn(4)一阶行列式(不要与绝对值记号相混淆);aa(5)一般项的符号为1212njjnjaaa12()1.ntjjj例8计算上三角行列式?8000650012404321D443