“赌大小”中投注决策的优化问题

1“赌大小”中投注决策的优化问题北京师范大学珠海分校古冠华、卢亚楠、陈艺振【摘要】本文针对骰宝这个游戏，规定了四种投注方式，分别是“大小”“三军”“围骰”“点数”。计算出每个投注点的概率和赢面，根据模型假设建立了“不败”模型，并讨论了投注组合的优化问题。问题一中，根据题目要求计算出每个投注点的概率和赢面。首先将要对三个骰子的具体情况进行组合排列，然后定义出四种投注点的概率表达式，从而根据公式计算出“大小”概率：171148.61%iipp大，10448.61%iipp小，三军的概率：12391()42.13%216rrrr三军，围骰的概率1(1,2,3,4,5,6)216ici，和点数的概率：(4,5...17)216iinpi具体数值见图表一。再根据公式概率与该投注点的赔率相乘，从而得到每个投注点的赢面。问题二中，为了寻找到一个“不败”的模型，由第一问得出的概率中挑选出概率最大的“大小”作为投注点，连续押其中一个投注点，且投注额等于前几次投注额的总和再加一个单位，如：m为每盘的投注额，而且每盘都是压大，则111(1,2,3...)niiimmin，此模型是为了在第i+1次下注时不但挽回了前i次的损失，而且还赢得了一个单位的利益。问题三中，讨论组合投注，即下超过一注，且每注下相等的金额，定义一个输赢敏感系数(1)ipqxRpx赔赢总赢，表示组合赢得期望值和输得期望值之比，若R越大，人与赌场之间的公平程度越高，即赢的机会越大。进行模型分析发现投一注时，买大小时R值最大，投两注时，有十种情况，但由于三军的R值太小，所以不考虑在组合之内，最终确定了六种下注方法，并通过上面输赢敏感系数R的公式计算出各种组合的R值（见附表3）。其中R较大的组合是：买大和14点或者买小和7点R=0.878；结论发现，买7点和14点R=0.886；虽然得到的R值相对较大，但是在投注一注时R值可以达到0.9459，说明当加大投注的注数时R值在减小，在赌博的操作中应该尽量减少投的2注数。最后进行模型改进，主要是利用效用理论换个角度来考虑使用赌徒心态，并进行加权计算，得出结果。【关键字】概率输赢敏感系数投注决策1.问题重述：骰宝也叫赌大小，是中国古老相传的游戏。这个游戏的用具是个密封的骰盅，由各玩家选择筹码下注，猜测经机械摇动后骰子开出的点数或是点数总合。游戏玩法：开始新局后即开始下注倒数计时，您可以依照您的猜测，选择筹码下注。待骰盅停止后，视三颗骰子停留开出的点数，由荷官输入三点数，同时画面亮起灯光，可清楚看到胜出注码和赔率；是否与玩家押注的内容相同，来判定输赢。本论文只讨论以下四种投注方法：1小：“小”在三粒骰子之点数总和由4点至10点（也可以表示”小于11”），不包含围骰大：“大”在三粒骰子之点数总和由11点至17点（也可以表示”大于10”），不包含围骰2三军：任何一粒骰子出现选定之显示平面点数3围骰：三粒骰子平面与选定的点数相同4点数：由4至17点，三粒骰子之点数总和，不包含围骰投注的赔率见图表一：赌注类型支出小（4点至10点）1赔1大（11点至17点）1赔1三军：一骰数字1赔1二骰数字1赔2三骰数字1赔3围骰1赔150点数：点数41赔50点数51赔18点数61赔14点数71赔12点数81赔8点数91赔6点数101赔63点数111赔6点数121赔6点数131赔6点数141赔12点数151赔14点数161赔18点数171赔50图表一1．每个投注点的概率和赢面率是多大？2．某人想如果保证不输钱，应该进行怎样的投注快速并且有效。3．能否进行一个投注点的组合，使得赢得概率最大，或者输得概率最小。2.问题分析：本文主要将赌桌中由于骰子点数的随机性，从而出现多种投注点，导致在赌博中发生输赢结果。根据题目的需求建立一个模型，运用连接算法与C++进行求解，最终解决赌博中组合下注对输赢的关系。骰宝也叫赌大小，是中国古老相传的游戏。这个游戏的用具是个密封的骰盅，由各玩家选择筹码下注，猜测经机械摇动后骰子开出的点数或是点数总合。4问题一中仅考虑赌桌上每一个投注点赢面是多大，首先，根据实际情况计算出三个骰子出现的点数组合在不同投注点的概率。然后，把概率与该投注点的赔率相乘，从而得到每个投注点的赢面率。再考虑问题二的情况，当有一定量的资金时，可以实施一套“不败”策略。连续押一个投注点，且投注额等于前几次投注额的总和再加一个单位，如：m为每盘的投注额，而且每盘都是压大，则111(1,2,3...)niiimmin，直到开启的骰盅为大，即能保证最后不输一分一毫。前提是要有足够的资金使用。问题三中我们是寻找一种投注的组合，其情况由问题一中的单一问题多元化。还是从实际出发，我们可以把赌桌分成四个部分：大小、三军、围骰、点数，再由其概率和赔率乘积进行拟合，从而寻找赢面最大或者输面最小的组合。3.模型假设：【1】赌桌上的投注点只有四个部分组成，且四个部分并非相互独立。【2】有足够的资金在模型中运转【3】每次的骰子出现的点数都是随机的，且每一次开盘也是互相独立【4】投注点的最低额不小于100，最高投注额不超过80000【5】不存在若骰子靠在骰盎边缘上而造成有斜骰或迭骰情形发生，无法判断点数时，荷官得重骰一次，采用第二次骰出之结果。【6】赢面是概率乘以赔率【7】输赢敏感系数是指赢钱的期望值和输钱的期望值之比。4.符号系统：p大--骰子出现“大”的概率p小--骰子出现“小”的概率in--第i点出现的次数（去除围骰次数）ir--骰子出现“三军”的概率，其中i表示中出现所选点数的次数（p三军）5ic--骰子出现“围骰”的概率，其中i表示出现的点数（p围）ip--骰子出现“点数”的概率iq--i点出现的赔率q三军--三军出现的赔率q围--围骰出现的赔率R值--输赢敏感系数5.每个投注点的概率是多大本文讨论五种投注点，分别是“大”“小”“三军”“围骰”“点数”，为了便于讨论我们将其分为四个小部分：1.“大”“小”的概率2.“三军”的概率3.“围骰”的概率4.“点数”的概率要想求出概率先要对三个骰子的具体情况进行组合排列：点数和可能性总排列数所有可能的具体组合方式(排列数)31111(1)43112(3)56113(3)122(3)610114(3)123(6)222(1)715115(3)124(6)133(3)223(3)821116(3)125(6)134(6)224(3)233(3)925126(6)135(6)144(3)225(3)234(6)333(1)1027136(6)145(6)226(3)235(6)244(3)334(3)3-10总数1081127146(6)155(3)236(6)245(6)335(3)344(3)1225156(6)246(6)255(3)336(3)345(6)444(1)1321166(3)256(6)346(6)355(3)445(3)1415266(3)356(6)446(3)455(3)1510366(3)456(6)555(1)166466(3)556(3)173566(3)181666(1)611-18总数108总计216=6X6X65.1“大”和“小”的概率：“大”在三粒骰子之点数总和由11点至17点，其中去除三个骰子相同的概率（去除12点中组合“444”，15点中的组合“555”）171148.61%iipp大“小”在三粒骰子之点数总和由4点至10点，其中去除三个骰子相同的概率（去除6点中组合“222”，9点中的组合“333”）10348.61%iipp小5.2“三军”的概率任何一粒骰子出现选定之显示平面点数概率：113155750.34722666216rC223115150.06944666216rC33311110.00463666216rC因此，12391()0.4213216rrrr三军5.3“围骰”的概率：三粒骰子平面与选定的点数相同，将会出现6种情况（其中组合数为“111”“222”“333”“444”“555”“666”并且每一情况的概率都相等1(1,2,3,4,5,6)216ici5.4“点数”的概率：由4至17点，三粒骰子之点数总和，将会出现14种情况（点数和分别是4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15，16，17）根据公式(4,5...17)216iinpi可以计算出三个骰子点数和的概率。概率结果总结如表二，程序见附件：7赌注类型赢得概率赔率小（4点至10点）48.61%1赔1大（11点至17点）48.61%1赔1三军：一骰数字34.72%1赔1二骰数字6.94%1赔2三骰数字0.46%1赔3三种总和42.12%围骰0.46%1赔150点数：点数41.39%1赔50点数52.78%1赔18点数64.17%1赔14点数76.94%1赔12点数89.72%1赔8点数911.11%1赔6点数1012.50%1赔6点数1112.50%1赔6点数1211.11%1赔6点数139.72%1赔6点数146.94%1赔12点数154.17%1赔14点数162.78%1赔18点数171.39%1赔50表二6.建立一个“不败”的策略（模型一）本部分针对有限金额中，使赌博者取得一部分盈利，根据假设建立一个“不败”的模型。并且解释如何建立起这个模型，本部分共分为4小节：1.模型建立2.条件限制3.小概率事件4.结论6.1模型建立在赌博中赢钱是每个人的最终目的，但是事实往往并不如人所愿，为了在有限的金额中，取得最终的胜利，根据假设建立一个“不败”的模型。虽然在押注的时候有着多种不同的方8法，而且有些押注点的赔率很诱人，但是想在限额的条件下取得胜利就必须从赢得概率最大的方面入手，即大小投注点，又因为大小的赢得概率是一样，所以我们只需从一个入手即可。设：m为每盘的投注额，而且每盘都是压一个投注点，则111(1,2,3...)niiimmin，此模型是为了在第i+1次下注时不但挽回了前i次的损失，而且还赢得了一个单位的利益。6.2条件限制（投注点的金额【100，80000】，在此把金额降低100倍，方便书面表达）当im为第i盘的下注额，所以只要i盘中有一盘取胜，既能保证赢取一个单位。又由上述约束条件我们可以得出从第几次投注时押注额会超过限制额。约束条件：12800i解得i=10，即当i=11时，1024800，这个值不在押注额的范围内。6.3小概率事件：在概率事件中，一般把概率很小很接近零的事件称为小概率事件，日常生活中发生的小概率事件是非常小的，比如：雷电伤人，吃饭被鱼刺卡喉，某人因买彩票而中大奖，等等。虽然这些时间本身发生的概率较小，但往往具有一定的影响力，因此小概率事件是不可以忽略的，一般多采用0.01，0.05这两个阀值，即事件发生概率在0.0.1或者0.05以下的事件称为小概率事件，而在某些重要的试验或者场合，若事件一旦发生，后果不堪设想，那么小概率事件的阀值应选得比上述两个值都小。此模型中我们定义阀值S为0.01.再由问题一得知，每次开盘，出现大的概率p=48.61%，则可知每盘输的概率为1-p=51.39,而连续i次都输的概率可以表示为：(1)iiTpi1234567891011投注额12481632641282565121024T51.39%26.41%13.57%6.17%3.58%1.84%0.94%0.48%0.25%0.13%——表三9由上表可知，从第七局开始，T=0.00940.01已经开始小于阀值S，随后的概率只会越来越小，即可以认为是小概率事件了。而小概率事件一般来说在一次试验中是不应发生的。6.4结论：因为概率小到不应发生，所以我们认为这是一种“不败”的策略，但需说明的是，这种低风险也会导致回报的只有低利润，所以不败的模型有个必要的约束条件：只能进行低次的模型循环，否则会大大提高风险。7.根据模型假设确定组合决策本部分讨论