《三维设计》3-3导数的应用(二)(含解析)=====

第十三节导数的应用(二)利用导数研究恒成立问题及参数求解典题导入[例1]已知函数f(x)＝x2lnx－a(x2－1)，a∈R.(1)当a＝－1时，求曲线f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；(2)若当x≥1时，f(x)≥0成立，求a的取值范围．1．设函数f(x)＝12x2＋ex－xex.(1)求f(x)的单调区间；(2)若当x∈[－2,2]时，不等式f(x)m恒成立，求实数m的取值范围．利用导数证明不等式问题[例2]已知f(x)＝ax－lnx，x∈(0，e]，g(x)＝lnxx，其中e是自然常数，a∈R.(1)讨论a＝1时，函数f(x)的单调性和极值；(2)求证：在(1)的条件下，f(x)g(x)＋12.2．已知f(x)＝xlnx.(1)求g(x)＝fx＋kx(k∈R)的单调区间；(2)证明：当x≥1时，2x－e≤f(x)恒成立．利用导数研究生活中的优化问题典题导入[例3]某物流公司购买了一块长AM＝30米，宽AN＝20米的矩形地块AMPN，规划建设占地如图中矩形ABCD的仓库，其余地方为道路和停车场，要求顶点C在地块对角线MN上，顶点B、D分别在边AM、AN上，假设AB的长度为x米．(1)要使仓库的占地面积不少于144平方米，求x的取值范围；(2)要规划建设的仓库是高度与AB的长度相同的长方体建筑，问AB的长度为多少时仓库的库容量最大．(墙地及楼板所占空间忽略不计)3．某城市在发展过程中，交通状况逐渐受到有关部门的关注，据有关统计数据显示，从上午6点到中午12点，车辆通过该市某一路段的用时y(分钟)与车辆进入该路段的时刻t之间关系可近似地用如下函数给出：y＝－18t3－34t2＋36t－6294，6≤t9，18t＋594，9≤t≤10，－3t2＋66t－345，10t≤12，求从上午6点到中午12点，通过该路段用时最多的时刻．1．f(x)是定义在(0，＋∞)上的非负可导函数，且满足xf′(x)＋f(x)≤0，对任意正数a，b，若ab，则必有()A．af(b)≤bf(a)B．bf(a)≤af(b)C．af(a)≤f(b)D．bf(b)≤f(a)2．(2012·山西适应性训练)若商品的年利润y(万元)与年产量x(百万件)的函数关系式y＝－x3＋27x＋123(x0)，则获得最大利润时的年产量为()A．1百万件B．2百万件C．3百万件D．4百万件3．已知函数f(x)是R上的偶函数，且在(0，＋∞)上有f′(x)0，若f(－1)＝0，那么关于x的不等式xf(x)0的解集是________．4．直线y＝a与函数f(x)＝x3－3x的图象有相异的三个公共点，则a的取值范围是________．5．已知函数f(x)＝x2＋lnx.(1)求函数f(x)在[1，e]上的最大值和最小值；(2)求证：当x∈(1，＋∞)时，函数f(x)的图象在g(x)＝23x3＋12x2的下方．6．(2012·乌鲁木齐诊断性测验)已知函数(理)f(x)＝ex－m－x，(文)f(x)＝1emex－x，其中m为常数．(1)若对任意x∈R有f(x)≥0成立，求m的取值范围；(2)当m1时，判断f(x)在[0,2m]上零点的个数，并说明理由．7．(2013·泰安模拟)某种产品每件成本为6元，每件售价为x元(6x11)，年销售为u万件，若已知5858－u与x－2142成正比，且售价为10元时，年销量为28万件．(1)求年销售利润y关于售价x的函数关系式；(2)求售价为多少时，年利润最大，并求出最大年利润．1．(2012·潍坊模拟)已知函数f(x)＝(x2－3x＋3)ex，x∈[－2，t](t－2)．(1)当t1时，求函数y＝f(x)的单调区间；(2)设f(－2)＝m，f(t)＝n，求证：mn.2．(2012·资阳模拟)已知函数f(x)＝x3－3ax＋b(a，b∈R)在x＝2处的切线方程为y＝9x－14.(1)求f(x)的单调区间；(2)令g(x)＝－x2＋2x＋k，若对任意x1∈[0,2]，均存在x2∈[0,2]，使得f(x1)g(x2)，求实数k的取值范围．1．已知向量m＝(x0，－1)，n＝12，y0，x0，334，y0成等差数列，2，x0，y0成等比数列．(1)求证：m⊥n；(2)若存在不为零的实数k与t，使得a＝(t2－3)m＋n，b＝tm－kn，且a⊥b，|a|≤37，试讨论函数k＝f(t)的单调性，并求出函数的极值．2．设函数f(x)＝lnx－p(x－1)，p∈R.(1)当p＝1时，求函数f(x)的单调区间；(2)设函数g(x)＝xf(x)＋p(2x2－x－1)，对任意x≥1都有g(x)≤0成立，求p的取值范围．