常微分方程第三版1.2

§1.2基本概念第一章绪论联系自变量、未知函数及未知函数导数（或微分）的关系式称为微分方程.;2)1(xdxdy;0(2)ydxxdy;0)3(322xdtdxtxdtxd;sin35)4(2244txdtxddtxd;)5(zyzxz.0)6(2222uzyxyuxu例1下列关系式都是微分方程一、常微分方程与偏微分方程如果在一个微分方程中，自变量的个数只有一个，则这样的微分方程称为常微分方程.;2)1(xdxdy;0(2)ydxxdy;0)3(322xdtdxtxdtxd4242(4)53sin.dxdxxtdtdt1.常微分方程如如果在一个微分方程中,自变量的个数为两个或两个以上,称为偏微分方程.;)5(zyzxz.0)6(2222uzyxyuxu注:本课程主要研究常微分方程,同时把常微分方程简称为微分方程或方程.2.偏微分方程如微分方程中出现的未知函数的最高阶导数或微分的阶数称为微分方程的阶数.2)1(xdxdy是一阶微分方程；0(2)ydxxdy是二阶微分方程；0)3(322xdtdxtxdtxd是四阶微分方程.sin35)4(2244txdtxddtxd二、微分方程的阶如:d(,,,,)0(1)dnnydyFxyxdxn阶微分方程的一般形式为ddy(,,,,)0,,,,,ddx,,.nnnnnnydydyFxyxyxdxdxdyyxdx这里是的已知函数而且一定含有是未知函数是自变量2)1(xdxdy是线性微分方程.0(2)ydxxdysin35)3(2244txdtxddtxd三、线性和非线性d(,,,,)0dnnydyFxyxdx如d,,,d.nnydyyxdxn的左端为及的一次有理式则称其为阶线性方程1.如果方程是非线性微分方程.如0)3(322xdtdxtxdtxd2.n阶线性微分方程的一般形式111()()()(2)nnnnndydyaxaxyfxdxdx.)(),(),(1的已知函数是这里xxfxaxan不是线性的方程称为非线性方程.四、微分方程的解(),,:yxxI如果函数满足条件(1)();yxIn在上有直到阶的连续导数'(2):(,(),(),())0,nxIFxxxx对有d()(,,,,)0dnnydyyxFxyxdxI则称为方程在上的一个解.1解和隐式解(,)0(),d(,,,,)0,(,)0dnnxyyxydyxIFxyxyxdx如果关系式所确定的隐函数为方程的解则称是方程的一个隐式解.注：以后我们不把解与隐式解加以区别，统称为微分方程的解.例如ddyxxy对一阶微分方程有解:2211.yxyx和而关系式:122yx就是方程的隐式解.2通解与特解如果微分方程的解中含有任意常数,且所含的相互独立的任意常数的个数与微分方程的阶数相同,则称这样的解为该方程的通解.例如:1212sincos,c,ycxcxc为任意常数,0.yy是微分方程的通解n阶微分方程通解的一般形式为),,,(1nccxy1,,ncc其中为相互独立的任常数.注1:使得行列式的某一邻域存在是指个独立常数含有称函数,),,,(,),,,(11nnccxnccxy0),,,(),,,()1(2)1(1)1('2'1'2121)1('nnnnnnnncccccccccccc.)(kkkdxd表示其中注2:类似可定义方程的隐式通解.如果微分方程的隐式解中含有任意常数,且所含的相互独立的任意常数的个数与微分方程的阶数相同,则称这样的解为该方程的隐式通解.以后不区分显式通解和隐式通解,统称为方程的通解.常见的定解条件是初始条件,阶微分方程的初始条件是指如下的个条件:3定解条件为了从通解中得到合乎要求的特解,必须根据实际问题给微分方程附加一定的条件,称为定解条件.求满足定解条件的求解问题称为定解问题.)1(01)1()1(000,,,,xxnnnydxydydxdyyy时当(1)(-1)00001.nxyyLyn这里,,,,是给定的个常数当定解条件是初始条件时,相应的定解问题称为初值问题.nn注1:阶微分方程的初始条件有时也可写为)1(010)1()1(0000)(,,)(,)(nnnydxxydydxxdyyxy(1)(1)(1)0000001(,,,,)0,()()(),,,.nnnnndydynFxydxdxdyxdyxyxyyydxdxCauchy求阶微分方程满足条件的解的初值问题也称问题注2:n在通解中给任意常数以确定的值而得到的解称为方程的特解.例如sin,cos0.yxyxyy都是方程的特解12sincosycxcx可在通解中分别取:,0,1c21得到c:,1,0c21得到csin,yxcos.yx例2-4'12'ce540(0)2,(0)1.xxyecyyyyy验证是方程的通解,并求满足初始条件的特解yy45y'-4x21)ec(cex)e16c(-4x21cex0'-4x21)ec(5cex)ec(4-4x21cex)e4c(5-4x21cex)ec(4-4x21cex解由于且xxxxeeee4442'1'21cccc0.045yecy'-4x21的通解是方程故yycex有由初始条件1)0(,2)0('yy221cc1421cc解以上方程组得1,321cc''y540(0)2,(0)1yyyy故方程满足初始条件的特解为-4xe3yxe五、积分曲线和方向场1积分曲线一阶微分方程d(,)dyfxyx(),yxxy的解所表示平面上的一条曲线称为微分方程的积分曲线.(x,c),.yxy而其通解对应平面上的一族曲线称这族曲线为积分曲线族2方向场(,),(,),(,),(,),d(,)dfxyDDxyfxyxyyDfxyx设函数的定义域为在内每一点处都画上一个以的值为斜率中心在点的线段称带有这种直线段的区域为方程在方向场中,方向相同的点的几何轨迹称为等斜线.所规定的方向场.d(,)(,),.dyfxyfxykkx方程的等斜线为其中为参数方向场示意图积分曲线例32d.dyxyx方程的方向场和积分曲线习惯将一般阶常微分方程写成为结出最高阶导数的形式六、微分方程组用两个及两个以上的关系式表示的微分方程称为微分方程组.n1;,,,.nnzgtzzz取变换112,y,,,nnyzzyz1211,,;,,.nnnndyydtdyydtdygtyydt则阶方程可以用一阶方程组表示为n即12d;,,,,1,2,,,diinyftyyyint或写成更简单的向量形式d;,dttyfy其中12,nyyyy11211;,,;,,;.;,,nnnnftyyftyytftyyfy如果方程组右端不含自变量，则称为驻定（自治）的，右端含自变量的微分方程组成为非驻定（非自治）的.七、驻定与非驻定，动力系统ttd,d.nDtyfyyR八、相空间、奇点和轨线不含自变量、仅有未知函数组成的空间称为相空间.积分曲线在相空间中的投影称为轨线.对驻定微分方程组的解表示相空间中的点，它满足微分方程组，故称为平衡解（驻定解，常数解），又称为奇点（平衡点）.0fy*yy