Fibonacci数列在初等数学上的应用

Fibonacci数列在初等数学上的应用作者：摘要意大利数学家比萨的列奥纳多，又称斐波那契（LeonardoPisano,Fibonacci,LeonardoBigollo，1175年-1250年）在一本题为《算盘书》的数学著作中，给出了著名的Fibonacci数列。它的许多有趣性质，引起了许多人的兴趣，由于它在数论、几何、概率、数据处理、信息检索等数学中有很多应用，因此有人说：Fibonacci以他的兔子问题猜中了大自然的奥秘，本文主要研究了元素为广义Fibonacci数的行列式的性质以及广义Fibonacci数在初等数学上的应用，给出了一些有用的结果.关键词：Fibonacci数列；递归序列目录1Fibonacci数列的引入...................................................31.1有趣的兔子问题...................................................31.2应用辗转相除法...................................................31.3一些其他问题.....................................................32Fibonacci数列的基本定义和性质.........................................42.1Fibonacci数列的定义..............................................42.2Fibonacci数列的性质..............................................63Fibonacci数列更广义的定义及其性质....................................114元素为广义Fibonacci数列的行列式的性质...............................131Fibonacci数列的引入1.1有趣的兔子问题有这样一个有趣的问题：“有人养了一对兔子，一个月后长大并开始每月生下一对小兔子。新的每对小兔子也是按此规律繁衍.若兔子都不死亡，问一年后总共有多少对兔子？”这是一道很有意思的算术问题，结果也不难逐月算出来，但对由此问题产生出来的Fibonacci数列的研究至今仍有相当价值，它最早出自1202年，意大利比萨市的数学家费波那契写的一本书《算经》中.由于Fibonacci数列在理论上的严谨性及应用上的广泛性，近年来越来越引起人们的研究兴趣.1963年开始出版的专门性杂志《FibonacciQuarterly》标志着对其性质及应用研究进入了一个崭新的历史阶段.在我国自八十年代以来也加大了对它的研究力度，主要标志是一批中青年数学工作者加入研究行列，陆续发表了一些研究文章.出版两部专著：吴振奎教授的《斐波那契数列》，周持中教授的《Fibonacci数，Lucas数及其应用》.1.2应用辗转相除法Fibonacci数列的应用是研究工作中的一个重要方面，早在1854年，法国数学家拉姆就利用Fibonacci数列证明了“应用辗转相除（欧几里得除法）法的步骤（既辗转相除的次数）不大于较小的那个数的位数的五倍”.这是Fibonacci数列第一次有价值的应用.后来，鲁卡斯利用Fibonacci数列的性质证明2127-1是一个质数.这在当时是人们所知的最大素数.1.3一些其他问题它的完美的前后项之比的极限2/)15(使其在历史上赢得黄金分割的美誉.古埃及的金字古希腊雅典的他农神庙、巴黎的圣母院、印度的泰姬陵以至近世纪的埃菲尔铁塔等建筑中都有不少与黄金分割率相关的尺寸数据；桌面的长宽比、围巾的折叠围起位置、报幕员在前台上午站立点，以至弦乐器琴弦下声码的放置点也都以黄金分割点最佳.运筹学方面单因数优选法中的“分数法”则是一种直接应用费波那契数列作为试验区间长度序列的方法，它可以做到在尽量少的试验次数内寻求出最佳的投产方案.费波那契数列还在估计辗转相除法的步骤，表示真分数为单位分数之和以及发现梅森素数等方面显示了威力.它甚至还被应用到平面正方形铺砌、火柴游戏、象棋马步以及一些几何图形的研究方面.更有趣的是：植物的生长也与费波那契数列有关.2Fibonacci数列的基本定义和性质2.1Fibonacci数列的定义文献[3]探讨了Fibonacci数列在研究一些特殊行列式值方面的应用，为了后文讨论的需要本文将其叙述如下：定义1]1[满足递推关系21nnnFFF，及初始条件0F=1，1F=1的关系式称为Fibonacci关系式，0F，1F，,2F,nF称为Fibonacci数，0nF称为Fibonacci数列，即1，1，2，3，5，8，13，21，34该数列的通项为n),2,1,0(n，那么0=1，1=1，且i=1i+2i，)2(i，并且我们知道该数列的通项公式为n=])251()251[(5111nn.(a)n还有一些其他的表达式n=01rrrn，)1(n，(b)n=11nnnnFFFF=n1111，)2(n，(c)n=1111111111，)2(n.(d)[3]费波那契数列还有很多有趣的性质：1.11nnFFnF2n)1(；2.nkkF112nF；3.nkkF12112nF，nkkF112nF2；4.；nkkF121nnFF；5.12nF12nFnF2；6.1nmFFnmFF1nmF；7.31nnFF2nnFFn)1(2；8.nF2+12nF=12nF.费波那契数列还有一些更深刻的性质，比如它的数论性质、倒数性质、与连分数及循环小数的关联等等.也正因为它的这些性质，使得它在许多方面有着广泛的应用.这里对这些性质暂时不加研究.在高等代数中n阶行列式nD1000001000100011nn)(将行列式nD按第一行展开可得：nD)(1nD2nD，若令=1，=1，则上面的递推关系式变为：nD1nD+2nD，且易知1D=1，如果再令0D1，那么易见数列nD与n完全相同.从而有：n=11000001100011100011这就是说Fibonacci数列的通项可以用行列式来表示，同上(d)式.这样就把行列式和Fibonacci数列两个似乎风马牛不相及的东西有机地联系在一起了.我们可以利用矩阵对Fibonacci数列的性质进行证明.其中0111A称为Fibonacci矩阵2.2Fibonacci数列的性质性质1]5[11nnFFnF2n)1(；证明：nAn)1(即得性质2]5[nkkF112nF证明：)(AI)(2nAAA)(nAIA1)(AIAnAAA222AAnnkkF112nF性质3]5[nkkF12112nF，nkkF112nF2证明：)(2AI)(242nAAA)(22nAIA又2AIAnAAA242AAn12nkkF12112nFnkkF112nF2性质4]5[nkkF121nnFF证明：由IFAFAnnn1)2(nIFFAFAFnnnnn12同样IFFAFAFnnnnn212111IFFAFAF122222把这些式子相加nnAF11nnAF22AF2(nF12nFIFFFFAFnn)()12122nkkF121nnFF上面我们用行列式表示了Fibonacci数列的通项，下面考虑一个n阶行列式的元素都是Fibonacci数列的项时，n阶行列式值的情形.首先考察n阶行列式：22113211210nnnnnn(1)当3n时，由i=1i+2i)2(i，将行列式(1)的第一列加到第二列上去，则行列式(1)变为：221113311220nnnnnn(1)行列式()1的第二列与第三列完全相同，当3n时，行列式(1)为0，即行列式(1)为0；当n=2，n=1时易见行列式(1)均为1.从而得到下面的结论：命题1n阶行列式22113211210nnnnnn=).3(.0),2,1,1(,1nnn（）下面再考察n阶行列式3321222365414321210nnnnnnn(2)当3n时，将行列式(2)的第一列加到第二列上去可得到第二列与第三列完全相同，从而行列式为0；当n=2，n=1时易见行列式(2)均为1.从而得到下面的结论：命题2n阶行列式3321222365414321210nnnnnnn=).3(0),21,1(1时当时（当时）当nnn由上面两个命题我们得到启发：只要行列式每行n个元素是Fibonacci数列连续的n项，那么这类行列式当3n时必为0.即有下面的结论：命题3设naaa,,,21是任意非负整数，当3n时，n阶行列式：12112112122221111naaaanaaaanaaaannnn=0(3)证明：将第一列加到第二列上去，则第二列与第三列完全相同，所以当3n时，行列式为0.上面我们讨论的行列式的每一行的元素在Fibonacci数列中的位置是连续的，下面考虑每行元素在数列中的位置是不连续的情形.先考虑行列式：442222222864264222420nnnnnnn(4)因为22n12nn2，所以22nn212n，先将行列式(4)的第二列乘(-2)加到第三列上再将第一列加到第二列上去可得：44222222664244222220nnnnnnn，此行列式有两列相同，则行列式必为0.所以有下面的结论：命题4当3n时，n阶行列式442222222864264222420nnnnnnn=0一般地有先面的结论：命题5设naaa,,,21是任意非负整数，r为不小于1的整数，当3n时，n阶行列式rnararaarnararaarnararaannnn)1(2)1(2)1(222221111(5)的值为零.证明：因为ra21121ra221ra2212ra321ra3213ra4212ra4214ra5213rarar1111rar),,2,1(ni所以ra21rar1111rar),,2,1(ni因此将行列式(5)的第二列的(r)倍加到第三列上去，行列式(5)变为：rnararraarnararraarnararraannnn)1(11)1(11)1(1122221111==========1rrnara