六年级奥数全教程

第一章数与计算第一单元同余问题1．知识前提。（1）整除：如果整数a除以自然数b,所得的商恰好是整数而没有余数(余数是0),我们就称a能被b整除或b能整除a。（2）乘方的意义：求n个相同因数的乘积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂。n个相同因数a相乘，即naaaa个，记做na。其中a叫做底，n叫做指数，na读做a的n次方。（3）幂的运算法则：①同底数的幂相乘，底数不变，指数相加。即mnmnaaa。②幂的乘方，底数不变，指数相乘。即mnnmaa。③积的乘方，等于把积的每一个因数分别乘方，再把所得的幂相乘。即nnnabab。2．同余如果两个整数的a、b除以同一个自然数m所得的余数相同，那么就说a、b对于m是同余的，记为a=‎h（modm）。我们把m称为模。如果a、b对于m是同余的，那么a与b的差能被m整除；反之，如果a与b的差能被M整除，那么a、b对于m是同余的。3．规律、方法应用。（1）反身性规律：a和a对于m同余。（2）对称性规律：a和b对于m同余，那么b和a对于m同余。（3）传递性规律：如果a和b对于m同余，b和c对于m同余，那么a和c对于m同余。（4）同余的加减法、乘法规律：如果a和b对于m同余，c和d对于m同余，那么a＋c，和b＋d，a－c和b－d，ac和bd对于m同余。（5）同余的乘方规律：如果a和b对于m同余，那么na和nb也对于m同余。（6）同余的连加规律：1a和1b对于m同余，2a和2b对于m同余，3a和3b对于m同余……na和nb对于m同余，那么123naaaa和123nbbbb也对于m同余。例1．有一个不等于1的整数，它除300，262，205得到的余数相同，这个整数是多少？拓展一如果某数除492,2241,3195都余15,那么这个数是几?拓展二自然数16520,14903,14177除以m的余数相同,m的最大值是多少?拓展三若2836,4582,5164,6522这4个数被同一个数相除,所得的余数相同且为两位数,则除数和余数的和为多少?例2．求200359除以7的余数。拓展一求18972531594除以13的余数。拓展二求281432338752413289786除以11的余数。拓展三求123456789123456789的结果除以3的余数。拓展四把1至2002这2002个自然数依次写下来，得到一个1234200020012002A试求A除以9的余数。例3．10010被7除的余数是多少？拓展一10002除以13的余数是多少？拓展二今天是星期日，过19912天是星期几？拓展三求3557的末两位数是多少？拓展四（1）2005年全年有几个星期日？全年有几个月有五个星期日？（2005年1月1日是星期六）（2）2008年全年有几个星期日？全年有几个月有五个星期日？（2008年1月1日是星期二）检测1．已知69,90,125被Ｎ除余数相同，求81被N除的余数是（）Ａ．４Ｂ．７Ｃ．５Ｄ．２２．1991和1769除以某一个自然数n,余数分别为2和1,n的最小值是()Ａ．23Ｂ．13Ｃ．17Ｄ．183．16173738除以13的余数是（）Ａ．12Ｂ．11Ｃ．9Ｄ．74．19991999除以3所得的余数是（）Ａ．1Ｂ．2Ｃ．0Ｄ．35．今天是星期二，再过200299天是星期（）Ａ．三Ｂ．四Ｃ．五Ｄ．六6．19991998的个位数字是（）Ａ．3Ｂ．2Ｃ．4Ｄ．67．19979951025111317的个位数字是（）Ａ．3Ｂ．1Ｃ．9Ｄ．68．505152533457的个位数字是（）Ａ．3Ｂ．1Ｃ．9Ｄ．59．在小于2002的自然数中，被18及33除以余数相同的数有（）个。Ａ．17Ｂ．198Ｃ．34Ｄ．5110．一个三位数，它的29倍加上5能被2002整除，这个三们数是（）。Ａ．345Ｂ．121Ｃ．150Ｄ．26711．一个整数乘以13后，积的最后三位数是123，这样的整数最小是（）。Ａ．157Ｂ．253Ｃ．942Ｄ．47112．用1，9，8，8这四个数能排出（）个被11除余8的四位数。Ａ．3Ｂ．4Ｃ．5Ｄ．613．7142719的积被7除的余数是（）。Ａ．1Ｂ．2Ｃ．3Ｄ．5二．解答题。14．试证明：111112113111112113能被10整除。15．求乘积34374143除以13所得的余数。16．今天是星期五，再过364365天是星期几？17．求12343979除以39所得的余数。18．求32319991999323的个位数字。19．131415131132133除以13余几？20．试证明：1990199034是5的倍数。21．70个数排成一行，除了两头的两个数以外，每个数的三倍恰好等于它两边两个数的和。这一行最左边的几个数是这样的：0，1，3，8，21，…，问最右边的一个数被6除余几？22．2002年全年有几个星期日？全年有几个月有5个星期日？（2002年1月1日是星期二）23．某年的10月有五个星期六，4个星期日，这年的10月1日是星期几？24．甲、乙两人轮流报数，必须报不大于2的自然数（零除外），把两人报出的数依次加起来，谁报数后加起来的数是20，谁就获胜，如甲要取胜，是先报还是后报？以后怎样报？25．设A是一个有35位循环节的循环小数123350.Aaaaa，把A的所有奇数位画去，得到一个新的无限小数：124680.Aaaaa再把1A的所有奇数位画去，得到一个新的无限小数：2480.nAaaa如此继续下去，能否仍得到原来的循环小数？第二单元分数的大小比较比较分数的大小，需要仔细观察每个分数的特点，根据不同的特点采用不同的方法进行比较。如果两个分数的分母相同，分子大的分数比较大；如果两个分数的分子相同，分母大的分数反而小。如果分数的分子分母都不相同，需要经过转化，利用分数的基本性质，把它们转化成分子或分母相同的分数，再进行比较。有时需要找到另外的途径进行比较，具体的方法有：1．相减法。把两个分数相减，如果差大于零，减数就小。2．相除法。把两个分数相除，若商是真分数，则被除数小于除数。3．交叉相乘法。分数ab和cd，如果ad＞bc，那么ab＞cd。4．倒数法。利用几个分数的倒数比较，倒数大的分数反而小。5．转化法。可以把分数转化成小数进行比较。6．中间数比较法。依据数据的特点，借助某一有规律的中间数，进行比较。此类比较，需要将已知的数或算式作适当的变形。解题时，要认真分析，要学会多角度、多侧面思考问题，灵活运用解题方法。例1比较1519、49、1225、2037这四个分数的大小。拓展一将下列的分数由小到大的排列起来。1017，1219，1523，2033拓展二21199819981A，2211998199719981997B。试比较A和B的大小。拓展三将下列分数由小到大排成一列不等式。23，58，1523，1017，1219拓展四将下列分数由小到大排成一列不等式。107、149、75、3523例2比较44435554，55576668，66687779三个分数的大小。拓展一比较77777757777777和66666616666663的大小。拓展二比较218191654321和152347456789的大小。拓展三将下列分数由小到大排成一列不等式。1727，1931，2338，101161例346810000005791000001A，试比较A与0.003谁大谁小。拓展一如果1357992468100A，试比较A与110的大小。拓展二用A表示下面的积：3571999946820000A，问：A与0.01相比,谁大谁小?拓展三比较111111124816321024与0.001的大小.检测1．在○中填入“＞”或“＜”。（1）680791○432543（2）117448○207808（3）1123412345○3345634567○5567856789（4）2399○23239999（5）3333333○333333333（6）23○47○311○415（7）5556666○555566666（8）71125○1312（9）3433127934331281○5149691751496919（10）1769○1567（11）2330○22312.比较555553555555和666664666666的大小。3.把27、49、38和611按从小到大的顺序排列。4.在512，1219，1023，47，1522五个分数中，最大的分数是谁？5.把下面的分数按从小到大的顺序排列。2123、8489、1213、2831、1415。6.比较111111110222222221和444444443888888887的大小。7.把9876598766、98769877、987988、9899按从小到大的顺序排列。8.下面四个算式谁最大。（1）1120719（2）11302429（3）11403137（3）115041479.下面两个算式谁大谁小？199319921995199419941995；19931992199619931994199510.把下面五个分数从大到小排列。10519、14725、15776、211088、351814。11.在47、1225、149300、59、2011814中，哪个分数最大？12.比较100000005100000008、800000003800000006的大小。13.222222220444444441和，333333334666666669谁大谁小？14.按下面各式值的大小，把A、B、C、D、E从小到大的顺序排列。1111110100100010000A1111110100100010000B1111110100100010000C1111110100100010000D1101001000100000E15.满足下面式子的n最小是多少？1111122334(1)nn＞1949199816.试比较1111111和111111111的大小。17.如果1229＜70＜2970，那么□中应填哪个自然数？18.已知：111123A，11112134B，1111213145C将A、B、C三个数从小到大排列。19.在下式中的□内填入7个互不相等且小于20的自然数，使等式成立。1111111120.下面给出6个分数算式：36724，37824，38925，391025，3101125，3111225，其中哪一个计算结果最小？并求出它的值。第三单元速算与巧算六年级所学习的简便计算主要是有关分数的巧算，除与整数、小数简便计算相同外，还有其独特的巧算方法。1．运算定律规律：加法的交换律、结合律，乘法的交换律、结合律和分配律，还有加、减法的运算性质、商不变的规律等。2．()abcdacb3．（1）111(1)1nnnn（2）11()dnndnnd（3）1111()()nnddnnd（4）1(1)(2)nnn1112(1)(1)(2)nnnn（5）将1A分拆成两个分数单位和的方法：先找出A的两个约数a和b，然后分子、分母分别乘()ab，再拆分，最后进行约分。11()()()()ababAAabAabAab4.等差数列求和法：（首项+末项）×项数2和。5.约分法简章：将写成分数形式的算式中的分子部分与分母部分同时除以它们的公有因数或公有因式，从而简化计算过程。例1．计算172928拓展一计算443745拓展二计算2255(97)()7979拓展三计算11664120拓展四计算1998199819981999拓展五计算577577(2890