FHD高中数学球与多面体

考点、球体与多面体的组合问题设棱锥M-ABCD的底是正方形，且MA＝MD，MA⊥AB，如果ΔAMD面积为1，试求能够放入这个棱锥的最大球的半径.分析：关键是找出球心所在的三角形，求出内切圆半径.解：∵AB⊥AD，AB⊥MA，∴AB⊥平面MAD，由此，面MAD⊥面AC.记E是AD的中点，从而ME⊥AD.∴ME⊥平面AC，ME⊥EF.设球O是与平面MAD、平面AC、平面MBC都相切的球.不妨设O∈平面MEF，于是O是ΔMEF的内心.设球O的半径为r，则r＝MFEMEFSMEF△2设AD＝EF＝a,∵SΔAMD＝1.∴ME＝a2.MF＝22)2(aa,r＝22)2(22aaaa≤2222＝2-1。当且仅当a＝a2，即a＝2时，等号成立.∴当AD＝ME＝2时，满足条件的球最大半径为2-1.点评：涉及球与棱柱、棱锥的切接问题时一般过球心及多面体中的特殊点或线作截面，把空间问题化归为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系。注意多边形内切圆半径与面积和周长间的关系；多面体内切球半径与体积和表面积间的关系。考点、求棱长为a的正四面体外接球和内切球的体积解：如图设ABCD是棱长为a的正四面体作AO1⊥平面BCD于O1，则O1为ΔBCD的中心则BO1＝a33a2332＝∴AO1＝a36a33a22＝－在平面ABO1内作AB的垂直平分线交AO1于O，则AO＝BO＝CO＝DO且O到平面BCD、ABC、ACD、ABD的距离相等∴O是ΔACD的内切球，外接球球心∵1AOAEABAO，∴AO＝a46a36a2＝a∴OO1＝a126a46a36＝－∴ABCD的外接球的体积为33a86a4634π＝π,ABCD的内切球的体积为33a2166a12634π＝π。正四面体的内切球及外接圆的半径及其求法对于棱长为a的正四面体，有：1、侧面高为a3/2（）2、高为a6/3（）3、内切球半径a6/12（）4、外接球半径a6/4（）内切球根据球心到各个面的距离相等把正四面体分解成三个正三棱锥，首先计算出整体的体积V然后根据三个三棱锥的体积相等得v=V/3,又有三棱锥的体积计算公式有：1Sh3则有求出的h即为内切球的半径。外接球的半径算法我们可以很容易的知道外接球的球心至正四面体的每一个顶点的距离是相等的，所以继计算出内切球半径后再将分解出来的小的四面体的棱长计算出来即可内切球与外接球半径的联系：内切球半径+外接球半径=正四面体的高即a6/12（）+a6/4（）=a6/3（）考点、正四面体的外接球和内切球的半径是多少？分析：运用正四面体的二心合一性质，作出截面图，通过点、线、面关系解之。解：如图1所示，设点O是内切球的球心，正四面体棱长为a．由图形的对称性知，点O也是外接球的球心．设内切球半径为r，外接球半径为R．正四面体的表面积223434aaS表．正四面体的体积22221234331BEABaAEaVBCDA322212233123aaaaBCDAVrS表31，aaaSVrBCDA12631223323表在BEORt中，222EOBEBO，即22233raR，得aR46，得rR3【点评】由于正四面体本身的对称性可知，内切球和外接球的两个球心是重合的，为正四面体高的四等分点，即内切球的半径为4h(h为正四面体的高)，且外接球的半径43h，从而可以通过截面图中OBERt建立棱长与半径之间的关系。考点、构造直三角形，巧解正棱柱与球的组合问题正棱柱的外接球，其球心定在上下底面中心连线的中点处，由球心、底面中心及底面一顶点构成的直角三角形便可得球半径。例4.已知三棱柱111CBAABC的六个顶点在球1O上，又知球2O与此正三棱柱的5个面都相切，求球1O与球2O的体积之比与表面积之比。分析：先画出过球心的截面图，再来探求半径之间的关系。解：如图由题意得两球心1O、2O是重合的，过正三棱柱的一条侧棱1AA和它们的球心作截面，设正三棱柱底面边长为a，则aR632，正三棱柱的高为aRh3322，由ODARt11中，得22222221125633333aaaRaR，aR12511:5::222121RRSS，1:55:21VV【点评】“内切”和“外接”等有关问题，首先要弄清几何体之间的相互关系，主要是指特殊的点、线、面之间关系，然后把相关的元素放到这些关系中解决问题，作出合适的截面图来确定有关元素间的数量关系，是解决这类问题的最佳途径。棱锥具有的性质：①正棱锥各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰三角形，各等腰三角形底边上的高相等（它叫做正棱锥的斜高）.②正棱锥的高、斜高和斜高在底面内的射影组成一个直角三角形，正棱锥的高、侧棱、侧棱在底面内的射影也组成一个直角三角形.特殊棱锥的顶点在底面的射影位置：①棱锥的侧棱长均相等，则顶点在底面上的射影为底面多边形的外心.②棱锥的侧棱与底面所成的角均相等，则顶点在底面上的射影为底面多边形的外心.③棱锥的各侧面与底面所成角均相等，则顶点在底面上的射影为底面多边形内心.④棱锥的顶点到底面各边距离相等，则顶点在底面上的射影为底面多边形内心.⑤三棱锥有两组对棱垂直，则顶点在底面的射影为三角形垂心.⑥三棱锥的三条侧棱两两垂直，则顶点在底面上的射影为三角形的垂心.⑦每个四面体都有外接球，球心0是各条棱的中垂面的交点，此点到各顶点的距离等于球半径；⑧每个四面体都有内切球，球心I是四面体各个二面角的平分面的交点，到各面的距离等于半径.