多元GARCH模型结构特征_参数估计与假设检验研究综述

多元GARCH模型结构特征、参数估计与假设检验研究综述刘志东(中央财经大学)可以采用多元GARCH模型对金融市场的相关问题进行研究,例如对单个资产收益的波动率和不同资产收益之间的条件协方差矩阵的研究等。本文分别以多元GARCH模型结构特征、参数估计和假设检验等为线索,系统地回顾了国内外对于多元GARCH模型的发展与最新研究成果,并对相关成果进行了分析和评价。最后指出了现在和未来该领域研究的主要方向。!多元GARCH!波动率!参数估计!假设检验!F2240!!!AASurveyoftheStructureProperties,ParametersEstimationandHypothesisTestinMultivariateGARCHModels!!Abstract:Thestudyoftherelationsbetweenvolatilitiesandco-volatilitiesofseveralmarketsorassetsreturnsbymultivariateGARCHmodelshasbeenthehottopicsinfinancialeconometricsThispapercontainsasurveyofmostimportantandlatestmultivariateGARCHmodels,andtheirstructureproperties,parametersestimation,hypothesistestarediscussedFinally,thepaperpresentslikelydevelopingtrendsanddirectionsoffutureresearchintheconclusionKeywords:MultivariateGARCH;Volatility;ParametersEstimation;HypothesisTest多元GARCH模型最初在20世纪80年代末与90年代得到建立。一元GARCH模型的理论和应用研究都取得了很大进展,相对来说,多元GARCH模型的研究还处在一个初期阶段。由于涉及到对协方差矩阵建立动态模型,从技术上看主要的困难有两个:首先,随着维数的增加,需要估计大量的参数,在现有的非线性优化技术和计算机技术下实现起来通常很困难;其次是如何通过参数限定条件来保证协方差矩阵的正定性。Bauwens等(2006)、∀147∀多元GARCH模型结构特征、参数估计与假设检验研究综述本文获得中央财经大学#211工程∃三期以及国家自然科学基金项目(编号:70603034、70971145)资助。Silvennoinen和Tersvirta(2008)、李文君和尹康(2009)对多元GARCH模型进行了介绍与回顾。本文根据国内外最新的研究,从模型结构特征、参数估计和假设检验等角度对多元GARCH文献进行系统综述。、GARCH考虑N%1维向量随机过程xt,Át-1表示由直到t-1时间的信息产生的域流,表示有限参数向量,xt可以表示为:xt=t()+!t(1)这里t()是条件均值向量,!t=H1/2t()∀t,H1/2t()是N%N正定矩阵。假定N%1维随机向量∀t满足E(∀t)=0、Var(∀t)=IN。由于Var(xtÁt-1)=Vart-1(xt)=Vart-1(!t)=H1/2tVart-1(∀t)(H1/2t)&=Ht,因此,Ht是xt条件协方差矩阵。Ht和t都依赖于未知参数向量。可以单独采用VARMA方法(VectorialAutoregressiveMovingAverage)预测t,然后采用多元GARCH模型预测Ht,并根据!t=H1/2t()∀t预测!t。在接下来的部分中我们将回顾条件协方差矩阵Ht的不同表示方法。1VEC和BEKK模型Bollerslev等(1988)的VEC模型是一元GARCH模型的直接扩展。每个条件方差和协方差是所有滞后条件方差和协方差,以及滞后收益残差平方和收益交叉乘积的函数。该模型可以表示为:vech(Ht)=c+∋qj=1Ajvech(!t-j!&t-j)+∋pj=1Bjvech(Ht-j)(2)这里vech∀是一个算子,表示把一个N%N矩阵的下三角部分堆积成一个N(N+1)/2%1维向量。c是N(N+1)/2%1向量,Aj和Bj是N(N+1)/2%N(N+1)/2参数矩阵。尽管VEC模型的比较灵活,但它也具有一些不足。对于所有时间t,Ht为正定矩阵的充分条件非常严格。同时参数数量等于(p+q)(N(N+1)/2)2%N(N+1)/2,除非N很小,否则参数数量非常多,参数估计需要很大的计算量。通过假设Aj和Bj是对角矩阵,Bollerslev等(1988)提出了一种简化的对角VEC-GARCH模型(简称DVEC),该模型可以被表示为:vech(Ht)=c+∋qj=1diag(aj,1,(,aj,N(N+1)/2)vech(!t-j!&t-j)+∋pj=1diag(bj,1,(,bj,N(N+1)/2)vech(Ht-j)(3)其中,aj,1,(,aj,N(N+1)/2以及bj,1,(,bj,N(N+1)/2分别为Aj和Bj对角线中的元素,diag∀表示相应元素构成的矩阵。在这种情况下,能够得到满足所有Ht正定性的条件。由于DVEC模型简化了多个变量的相关关系,hij,t仅依赖于本身滞后项和以前时期的!it!jt,可能无法通过DVEC模型来研究多个变量之间的相互关系。同时,DVEC仍然需要很大的计算量,对于高维数模型也很难应用。VEC模型参数估计的数值计算非常耗时。假设误差项∀t服从多元正态分布,模型(1)的对数似然函数为:∀148∀)数量经济技术经济研究∗2010年第9期∋nt=1lt()=c-(1/2)∋nt=1lnHt-(1/2)∋nt=1!&tH-1t!t(4)参数必须通过迭代方法估计得到。从式(4)可以看到,在每次迭代中,需要对每个协方差矩阵Ht求逆运算,这需要很大的计算量。另外,更难的是如何确保协方差矩阵的正定性。在VEC模型中,这个问题没有一般的解决办法,通常采用估计的无条件协方差矩阵作为Ht的初始值。Baba-Engle-Kraft-Kroner(BEKK)模型是一个受限制的VEC模型。BEKK模型的优点在于它容易满足矩阵Ht的正定性,并且相对于VEC模型,它具有相对较少的参数。该模型形式为:Ht=CC&+∋qj=1∋Kk=1A&kj!t-j!&t-jAkj+∋pj=1∋Kk=1B&kjHt-jBkj(5)这里Akj、Bkj和C是N%N参数矩阵,并且C是下三角阵。把常数项分解成两个下三角矩阵的乘积是为了确保Ht的正定性。当且仅当∋qj=1∋Kk=1AkjAkj+∋pj=1∋Kk=1BkjBkj特征值的模小于1时,BEKK模型协方差是稳定的。这里表示两个矩阵的Kronecker乘积。当K1时,存在几种参数化方法产生相同的模型表达形式,因此,BEKK模型存在识别问题。一种简单的BEKK模型是假设A和B是对角阵,这时BEKK模型是对角VEC模型的一种特殊形式。条件最严格的对角BEKK模型是标量BEKK,满足A=aI,B=bI,a、b是标量。每个BEKK模型对应唯一的VEC模型,能生成正定条件协方差矩阵。BEKK模型仍旧需要很大的计算量,有时很难使参数收敛。BEKK模型的优点是模型的结构能自动确保Ht的正定性,不需要单独施加约束条件。由于BEKK模型估计的困难,通常假设p=q=K=1。总体而言,即使施加不同的约束条件,VEC或BEKK模型仍具有很大数量的未知参数。在序列的维数大于3或4的时候,这些模型很少被应用。因子或正交GARCH模型通过对Ht施加一些共同的动态结构约束条件,使模型具有很少的参数,能克服VEC或BEKK模型在参数估计上的困难。2因子GARCH、正交及广义正交GARCH模型(1)因子GARCH模型。因子GARCH模型(FactorGARCHModels)认为资产收益由一些未观测成分或因子决定。Engle等(1990)首先介绍因子GARCH模型。该模型假设观测变量由基础因子(UnderlyingFactors)决定,这些因子分别符合用GARCH模型表示的条件异方差过程。这种方法的优点是:当因子数量相对收益向量的维数很小时,能减少维数多带来的困难。假设Ht由m个基础因子产生(mN),定义条件协方差矩阵的因子结构如下:Ht=#+∋mk=1wkw&kfk,t(6)这里#是N%N半正定矩阵,wk是正交的N%1特征向量,fk,t是特征值或因子。这些特征值或因子没有必要不相关。可以假设这些因子具有一阶GARCH结构:fk,t=∃k+%k(&&k!t-1)2+∋kfk,t-1。这里∃k、%k、∋k是标量,&k是N%1权重向量。当N很大时,只有∀149∀多元GARCH模型结构特征、参数估计与假设检验研究综述因子数量mN时,模型计算才可行。通常Engle等(1990)因子GARCH模型中因子是相关的,不同因子描述数据的相同特征。如果因子是不相关的,则可以更好地表示驱动数据的公共因子。基于这种考虑,一些学者研究具有不相关因子模型的正交GARCH(OrthogonalGARCH,简称O-GARCH)或主成分GARCH模型。(2)正交和广义正交GARCH模型。Ding(1994)首先把主成分分析(PCA)应用到多元GARCH模型中,Alexander和Chibumba(1997)后来引入与其具有联系的正交GARCH模型(OrthogonalGARCH,简称O-GARCH)。O-GARCH模型采用PCA技术提取主成分yt=(y1t,(,ymt)&,满足yt=PTm!t,这里Pm是残差!t的无条件协方差矩阵的m个最大特征值对应的特征向量组成的N%m矩阵。可以用一元GARCH模型表示每个主成分的条件方差,构建m%m时变对角矩阵Hyt=diag(hy1t,(,hymt),然后得到!t的条件协方差矩阵为:Ht=PmHytPTm(7)由于完全基于无条件信息(样本协方差矩阵)估计正交矩阵,O-GARCH模型同样存在识别问题。当数据存在弱相关时,模型很难识别真正的正交矩阵。O-GARCH模型的有效性是建立在主成分是条件不相关的基础上的。然而,主成分之间的无条件不相关(unconditionallyuncorrelated)不能确保它们的条件不相关。由在O-GARCH模型中,假定原始观测序列与未观测变量或因子yt通过正交矩阵Pm联系在一起,这些未观测的变量或因子可以被解释为驱动特定经济或市场的不相关因子。然而,矩阵Pm是正交矩阵的假设条件非常严格。如果原始观测序列假定与未观测的不相关变量或因子存在联系,为什么联系矩阵必须是正交的?Weide(2002)提出广义正交GARCH(GO-GARCH)模型。对于N维向量时间序列!tt+1,Át-1表示由直到t-1时间的信息产生的域流。假设!t能被写成潜在因子yt=(y1t,y2t,(,ymt)&(其中成分是独立的)的非奇异变换:!t=Zyt=Z(Hyt)1/2∀t(8)这里,Z是N%m非奇异矩阵,满足可逆条件,不一定必须满足正交矩阵的条件。假设yt满足ytÁt-1,N(0,Hyt),其中Hyt=diag(hy1t,(,hymt),hyit=(1-%i-∋i)+%ky2i,t-1+∋ihyi,t-1。∀tt+1是向量鞅差序列,满足E∀tÁt-1=0,Var∀tÁt-1=IN。如果%i+∋i1,能确保具有不相关因子模型协方差的平稳性,这意味着!tÁt-1:N(0,Ht)。因此,!t的协方差矩阵能被表示为:Ht=ZHytZ&(9)Weide(2002)根据E(!t!&t)=ZZ&的奇异值分解(SingularValueDecomposition)构建线性映射Z。即Z=P(1/2U。这里P的列对应E(!t!&t)的特征向量,(对应它的特征值,因此,只利用了无条件信息。而U的估计需要利用条件信息。Weide(2002)采用两阶段估计程序对模型参数进行估计。首先令st=(-1/2P&!t,