Matlab在概率统计中的应用

一、统计量的数字特征1．平均值11niixnMATLAB中mean(x)命令函数计算数据x的平均值调用格式为mean(x)或mean(x,dim)维数dim取值1,2例如x=[171;280;390;410;520;630];mean(x)ans=3.50005.00000.1667mean(x,2)ans=3.00003.33334.00001.66672.33333.00002．方差和标准差随机变量x的方差为2()var(){[()]}DxxExEx标准差()()xDx样本方差为2211()1niisxxnMATLAB的方差函数为Var调用格式为var(x)对于向量x，得到x的方差值；对于矩阵X，得到一行向量，它的每个值分别是矩阵X对应的列元素的方差值。var(x,1)得到向量（或矩阵）x的简单方差，即前置因子为1/n的方差var(x,w)得到向量（或矩阵）x以w为权的方差例如var(x)ans=3.500011.60000.1667var(x,1)ans=2.91679.66670.1389w=[0.06670.16670.23330.30000.03330.2000]var(x,w)ans=2.222511.38190.0623样本标准差211()1niisxxnMATLAB的标准差函数为std调用格式std(x)对向量x，得到x的样本标准差（前置因子为1/n-1）；对于矩阵X，得到一行向量，它的每个值分别是矩阵X对应的列元素的标准差std(x,1)得到向量（或矩阵）x的样本标准差（前置因子为1/n）std(x,flag,dim)得到向量（或矩阵）中以dim为维数的标准差。其中flag=0时，前置因子为1/n-1，否则前置因子为1/n例如std(x)ans=1.87083.40590.4082std(x,1)ans=1.70783.10910.3727std(x,0,1)ans=1.87083.40590.4082std(x,0,2)ans=3.46414.16334.58262.08172.51663.00003．协方差和相关系数二维随机变量(X,Y)的协方差为cov(,){[()][()]}xyExExyEy相关系数为cov(,)(,)()()xycofxyDxDyMATLAB中，协方差和相关系数函数cov和coffcoef实现协方差调用格式cov(x)当x是向量时，返回此向量的协方差；当x是矩阵时，返回此矩阵的协方差矩阵，其中x的每一行是一个观测值，x的每一列是一个变量。由Cov(x)的对角元素为构成的向量是x的各列的方差所构成的向量，是标准差向量(cov())diagxcov(x，y)返回向量x、y的协方差矩阵cov(x)或cov(x，0)返回向量x的样本协方差矩阵，前置因子为1/n-1cov(x，1)返回向量x的样本协方差矩阵，前置因子为1/ncov(x，y)，cov(x，y，1)的区别同上相关系数corrcoef(x)返回矩阵相关系数矩阵，其中x的每一行是一个观测值，x的每一列是一个变量corrcoef(x，y)返回向量x、y的相关系数例如X=[12345;1112357;24690;36979;109754];cov(X)ans=22.300017.9500-1.5500-3.50003.500017.950015.8000-0.4500-1.75004.7500-1.5500-0.45006.80002.75001.2500-3.5000-1.75002.75004.0000-3.00003.50004.75001.2500-3.000011.5000corrcoef(X)ans=1.00000.9563-0.1259-0.37060.21860.95631.0000-0.0434-0.22010.3524-0.1259-0.04341.00000.52730.1414-0.3706-0.22010.52731.0000-0.44230.21860.35240.1414-0.44231.0000x=[1,5,7,9,1,6];y=[1,2,1,5,2,1];cov(x,y,1)ans=8.80562.16672.16672.0000corrcoef(x,y)ans=1.00000.51630.51631.0000二、参数估计当总体分布的数学形式已知，且可以用有限个参数表示时，我们可以利用样本对参数进行估计，这便是参数估计参数估计一般可分为点估计和区间估计参数估计的方法：矩估计、最小二乘法和极大似然估计1．二项分布的参数估计MATLAB中由命令函数binofit来实现调用格式[p,pci]=Binofit(x,N,alpha)其中p为参数，pci为p的区间的端点，置信度为1-alphax=[6,8,9,4,6,7,9,3,7,5][p,pci]=binofit(x,10)p=0.60000.80000.90000.40000.60000.70000.90000.30000.70000.5000pci=0.26240.44390.55500.12160.26240.34750.55500.06670.34750.18710.87840.97480.99750.73760.87840.93330.99750.65250.93330.81292．正态分布的参数估计MATLAB中由命令函数normfit来实现调用格式[m,s,mci,sci]=normfit(x,alpha)例如[m,s,mci,sci]=normfit(x)m=6.4000s=2.0111mci=4.96147.8386sci=1.38333.67143．指数分布的参数估计MATLAB中由命令函数expfit来实现调用格式[mu,mci]=expfit(x,alpha)x=[0.15864.54071.54842.23690.35670.84222.431112.36830.60992.51211.50480.72310.25240.94095.3809][mu,mci]=expfit(x,0.01)mu=2.4271mci=1.11544.3423例如4．泊松分布的参数估计MATLAB中由命令函数poissfit来实现调用格式[Lamd,Lci]=poissfit(x,alpha)三、假设检验假设检验是统计推断的基本问题之一。在总体的分布函数完全未知或只知其形式但不只参数的情况下，为了推断总体的某些性质，提出某些关于总体的假设假设检验首先提出假设H0，然后检验这组数据是否支持这个假设。根据这组数据计算检验统计量以及显著性概率（p值）。如果p值很小，则所提出的假设是非常可疑的，并提供否定这个假设的证据。伴随假设H0，总能写出备择假设H1，备择假设也称对立假设1．σ已知时的检验（z检验）MATLAB中的z检验由命令函数ztest来实现调用格式[H,p,ci,zval]=ztest(x,m,s,a,t)说明x是样本值，m是平均值的评判标准，s是已知的标准差，alpha是显著水平，默认值为0.05，t为备择假设选项，只有三个值0，1和－1，其中t=0表示“期望值不等于m”,t=1表示“期望值大于m”,t=－1表示“期望值小于m”，t的默认值为0。H=0表示“在显著性水平a的情况下，不能拒绝原假设”。H=1表示“在显著性水平a的情况下，可以拒绝原假设”。P为显著性概率；ci表示置信水平为1－a的置信区间。zval是检验统计量。例如某糖厂用自动包装机将糖果装箱，已知规定每箱的标准重量为100公斤。设每箱重服从正态分布。由以往经验知重量的均方差为0.9公斤。某天开工后检验包装机是否正常，随机抽取该包装机所包装的9箱，称得净重为（公斤）99.3，98.7，100.5，101.2，98.3，99.7，105.1，102.6，100.5。取a=0.05，问机器是否正常？解可设σ=0.9，x~N（μ,0.92)，提出假设H0μ=μ0=100H1μ≠100x=[99.3,98.7,100.5,101.2,98.3,99.7,105.1,102.6,100.5][h,p,ci,t]=ztest(x,100,0.9,0.05,0)h=1p=0.0289ci=100.0676101.2435t=2.1852因此拒绝原假设H0，即自动包装机工作是不正常的2．σ未知时的检验（t检验）MATLAB中的t检验由命令函数ttest来实现调用格式[H,p,ci,tval]=ttest(x,m,a,t)例如某电子元件的寿命x（以小时计）服从正态分布，均未知。测得16只元件的寿命为159280101212224379179264222362168250149260485170问是否有理由认为电子元件的平均寿命大于225（小时）？解H0μ≤μ0=225H1μ225x=[159280101212224379179264222362168250149260485170]；[h,p,ci,t]=ttest(x,225,0.05,1)h=0p=0.2570ci=198.2321Inft=tstat:0.6685——检验统计量df:15——自由度（n-1）因此不能拒绝原假设，即可以认为电子元件的平均寿命不大于225小时3．两个正态总体均值差的检验（t检验）MATLAB中的由命令函数ttest2来实现调用格式[H,p,ci,zval]=ttest2(x,y,a,t)例如在漂白工艺中要考察温度对针制品断裂强力的影响，在70℃与80℃下分别作了7次和9次测试，其测试数据如下（单位：公斤）70℃20.518.820.921.519.521.621.880℃17.719.220.32018.61919.12018.1根据以往经验知两种温度下的断裂强力都服从正态分布，其方差相等且相互独立。试问两种温度下的平均断裂强力有无显著变化？解H0μ1=μ2H1μ1≠μ2x=[20.518.820.921.519.521.621.8]；y=[17.719.220.32018.61919.12018.1]；[h,p,ci,t]=ttest2(x,y,0.05,0)h=1p=0.0085ci=0.46262.6294t=tstat:3.0606df:14四、回归分析回归分析是研究变量之间关系的一种统计方法，即利用统计数据来寻求变量之间关系近似表达式（经验公式），并利用所得公式进行统计描述、分析和推断，以解决预测、优化和控制问题。线性回归的变量之间的关系为01122mmyxxx2(0,)N根据观测数据确定回归系数12(,,,,),1,2,,iiimixxxyin011221,2,,iiimimiyxxxin22010112211min(,,,)[()]nnmiiiimimiiQyxxxMATLAB中提供了多元线性回归函数regress调用格式b=regress(y,x,a)[b,bint,r,rint,stats]=regress(y,x,a)y为观察得到的随机变量，x为自变量矩阵。若回归系数中包含常数，则x的第一列应全部为1，y与x的行数相等，x的列数等于回归系数的个数。a为输出各种置信区间用的显著性水平。输出结果有5项：b是参数的点估计；bint为参数的区间估计；r为残差的点估计；rint为残差的区间估计，当点估计落在区间估计之外时，拒绝无效假设；stats中包含三个项:(,1)FFmnmR2是回归方程的相关系数R的平方;F是回归方程的F统计量，;P是拒绝无效假设的概率（显著性概率），当Pa时拒绝假设H0：，即接受y与x有线性关系。(,1)FFmnm120m例如为了研究钢材消费与国民收入之间的关系，在统计年鉴上查得一组历史数据如下表年份钢材消费量（万吨）国民收入（亿元）年份钢材消费量（万吨）国民收入（亿元）19646981097197317652286