matlab

1、Matlab在复变函数和积分变换中的应用一、拉式变换1、定义:Laplace变换dtetfsFst0)()(说明：f是符号表达式；t是符号变量，可忽略，当t省略默认自由变量为‘t’；s是符号变量，可忽略，省略时为‘s’。2、例题（1）求f(t)=t^2的拉式变换symstlaplace(t^2)ans=2/s^3（2）求单位脉冲函数的拉式变换symstlaplace(dirac(t))ans=1(3)求f(t)=u(3t-5)的拉式变换symstf=heaviside(t*3-5)f=heaviside(t-5/3)laplace(f)ans=1/(s*exp((5*s)/3))（4）求正弦函数f(t)=sinkt(k为实数)的拉式变换symstkf=sin(k*t)f=sin(k*t)laplace(f)ans=k/(k^2+s^2)（5）求f(t)=tcosat的拉式变换symst,af=t*cos(a*t)f=t*cos(a*t)laplace(f)ans=(2*s^2)/(a^2+s^2)^2-1/(a^2+s^2)(6)求f(t)=1-te^tsymstf=1-t。

2、*exp(t)f=1-t*exp(t)laplace(f)ans=1/s-1/(s-1)^23、matlab关键命令F=laplace(f,t,s)%求以t为变量f的LaplaceF二、拉式反变换1、定义:Laplace反变换dsesFjtfstjcjc)(21)(2、例题（1）求F(s)=1/（s(s-1)^2）的逆变换symssf=1/(s*(s-1)^2)f=1/(s*(s-1)^2)ilaplace(f)ans=t*exp(t)-exp(t)+1（2）求F(s)=1/((s+1)*(s-2)*(s+3))的逆变换symssf=1/((s+1)*(s-2)*(s+3))f=1/((s+1)*(s-2)*(s+3))ilaplace(f)ans=exp(2*t)/15-1/(6*exp(t))+1/(10*exp(3*t))（3）求F(s)=1/(s^2+a^2)的逆变换symssaf=1/(s^2+a^2)f=1/(a^2+s^2)ilaplace(f)ans=sin(t*(a^2)^(1/2))/(a^2)^(1/2)(4)求F(s)=s/((s-a)*(s-b)。

3、)的逆变换symsabsf=s/((s-a)*(s-b))f=s/((a-s)*(b-s))ilaplace(f)ans=(a*exp(a*t))/(a-b)-(b*exp(b*t))/(a-b)（5）求F(s)=(1+e^(-2*s))/s^2的逆变换symssf=(1+exp(-2*s))/s^2f=(1/exp(2*s)+1)/s^2ilaplace(f)ans=t+heaviside(t-2)*(t-2)（6）求F(s)=(s+1)/(9s^2+6s+5)的逆变换symssf=(s+1)/(9*s^2+6*s+5)f=(s+1)/(9*s^2+6*s+5)ilaplace(f)ans=(cos((2*t)/3)+sin((2*t)/3))/(9*exp(t/3))3、matlab关键命令F=ilaplace(F,s,t)%求以s为变量的F的Laplace反变换f三、傅立叶变换1、定义：傅里叶变换2、例题（1）求阶跃函数的傅里叶变换symsxfourier(heaviside(x))ans=pi*dirac(w)-i/w（2）求脉冲函数的傅立叶变换symsxfourier(dir。

4、ac(x))ans=1（3）求正弦函数f(t)=sinwot的傅里叶变换symswotf=sin(wo*t)f=sin(t*wo)fourier(f)ans=-pi*i*(dirac(t-w)-dirac(t+w))（4）求f=cos(wot)*u(t)的傅里叶变换symswotf=heaviside(t)f=heaviside(t)h=f*cos(wo*t)h=cos(t*wo)*heaviside(t)fourier(h)ans=pi*heaviside(t)*(dirac(t-w)+dirac(t+w))(5)求f(t)=e^(jwot)*u(t)的傅里叶变换symswotf=heaviside(t)f=heaviside(t)h=exp(wo*t)*fh=exp(i*t*wo)*heaviside(t)fourier(h)ans=2*pi*dirac(t-w)*heaviside(t)（6）求f(t)=e^(jwot)*u(t)*t的傅里叶变换symswotf=heaviside(t)f=heaviside(t)h=f*exp(i*wo*t)*th=t*exp(i*t*wo)*。

5、heaviside(t)fourier(h)ans=2*pi*t*dirac(t-wo)*heaviside(t)3、matlab关键命令F=fourier(f,t,w)四、傅立叶逆变换1、定义：傅立叶逆变换2、例题（1）求2*pi*t*dirac(t-wo)*heaviside(t)的傅立叶逆变换symswotf=2*pi*t*dirac(t-wo)*heaviside(t)f=2*pi*t*dirac(t-wo)*heaviside(t)ifourier(f)ans=t*exp(i*t*x)*heaviside(t)（2）求exp(i*t*wo)*heaviside(t)的傅里叶逆变换symswotf=exp(i*t*wo)*heaviside(t)f=exp(i*t*wo)*heaviside(t)ifourier(f)ans=dirac(t+x)*heaviside(t)3、matlab关键命令F=ifourier(F,w,t)%求以w为符号变量的F的fourier反变换f五、级数求和及敛散性判断1、定义级数：将数列un的项u1，u2，…，un，…依次用加号连接起来的函数。数项。

6、级数的简称。如：u1+u2+…+un+…，简写为∑un，un称为级数的通项，记Sn=∑un称之为级数的部分和。如果当n→∞时，数列Sn有极限S，则说级数收敛，并以S为其和，记为∑un=S；否则就说级数发散。级数求和：)133)(12)(1(30132124444nnnnnn为偶数为奇数nnnnnn,2),1(21)1(3211)1(21)1()1(321121222nnnnn为偶数为奇数nnnnnnnn),32(41,)1)(12(41)1(32122313332、例题（1）判断级数的收敛性，若收敛，求和函数symsnsymsum(1/n,1,inf)ans=Inf可知级数发散（2）判断级数的收敛性，若收敛，求和函数symsnsymsum(1/n^2,1,inf)ans=pi^2/6（3）求幂级数Z^n的和函数symsznf=z^nf=z^nsymsum(f,n,1,inf)ans=piecewise([1=z,Inf],[abs(z)1,-1/(z-1)-1])（4）求级数的前五。

7、项到前十项的和symsks=k^3s=k^3q=symsum(s,5,10)q=2925（5）求级数的收敛半径symsnzpf=z^n/n^pf=z^n/n^psymsum(f,n,1,inf)ans=piecewise([abs(z)=1andp=1andz1,-log(1-z)],[(abs(z)1andp=-1orabs(z)=1and2=p)andpinZ_,polylog(p,z)])可见，收敛半径为R=13、matlab关键命令symsum(s,x,a,b)%计算表达式s当x从a到b的级数和说明：s为符号表达式，x为符号变量，可省略，省略时使用默认自由变量；a和b为符号变量的范围，可省略，省略时范围是无限个级数。六、泰勒级数的展开1、定义：定义：如果在点x=x0具有任意阶微商，则幂级数称为在点x0处的泰勒级数。级数展开：,!!!21)102nnnznznzzze,111)202nnnzzzzz,)1()1(111)302nnnnnzzzzz,)!12()1(!5!3sin)41253。

8、nzzzzznn,)!2()1(!4!21cos)5242nzzzznn,1)1(32)1ln()6132nzzzzznn2、例题（1）对f(x)=tanx进行泰勒级数展开symsxf=tan(x)f=taylor(f)ans=(2*x^5)/15+x^3/3+x（2）对f(x)=ln(1+x)的8阶泰勒级数展开symsxf=log(1+x)f=log(x+1)taylor(f,8)ans=x^7/7-x^6/6+x^5/5-x^4/4+x^3/3-x^2/2+x（3）对f(x)=e^-tsin(t)进行泰勒级数展开symstf=exp(-t)*sin(t)f=sin(t)/exp(t)taylor(f)ans=t^3/3-t^5/30-t^2+t（4）把函数2)1(1z展开成z的幂级数symszf=1/(1+z)^2f=1/(z+1)^2taylor(f,z)ans=5*z^4-6*z^5-4*z^3+3*z^2-2*z+1（5）求对数函数的主值ln(1+z)在z=0处的泰勒展开式symszf=log(1+z)f=log(z+1)。

9、taylor(f,z,0)ans=z^5/5-z^4/4+z^3/3-z^2/2+z（6）把函数f(z)=1/(3z-2)展开成z的幂级数symszf=1/(3*z-2)f=1/(3*z-2)taylor(f,z)ans=-(243*z^5)/64-(81*z^4)/32-(27*z^3)/16-(9*z^2)/8-(3*z)/4-1/23、matlab关键命令taylor(f(x),x,n,a)%求泰勒级数以符号变量x在x0点展开n项。说明：f为符号表达式，x为符号变量，可省略，省略时使用默认自由变量，n是指f进行泰勒级数展开的项数，可省略，n省略则默认展开前5项，x0是泰勒级数展开。七、微分方程1、定义：含有未知函数的导数，如、的方程都是微分方程。一般的凡是表示未知函数、未知函数的导数与自变量之间的关系的方程，叫做微分方程。未知函数是一元函数的，叫常微分方程；未知函数是多元函数的叫做偏微分方程。微分方程有时也简称方程。2、例题（1）求y’-y=te2,y(0)=0的微分方程的解symsyty=dsolve('Dy-y=exp(2*t)','y(0)=0')y=exp(2*t)-ex。

10、p(t)（2）求ty”+y’+4ty=0,y(0)=3,y’(0)=0的微分方程的解symstyxy=dsolve('t*D2y+Dy+4*t*y=0','y(0)=3,Dy(0)=0','t')y=3*besselj(0,2*t)（3）求ty”+2（t-1）y’+(t-2)y=0,y(0)=2的微分方程的解symstyxy=dsolve('t*D2y+2*(t-1)*Dy+(t-2)*y=0','y(0)=2','t')y=2/exp(t)+(C10*t^3)/(3*exp(t))（4）求y”+4y’+29y=0，y(0)=0,y’(0)=15的微分方程的解symsxyy=dsolve(。