mathematica数学实验报告实验四

实验四一、实验名称：数列与级数二、实验目的：1、通过使用编程复习并巩固以前学过的数列与级数的知识；2、通过编程演示Fabonacci数列、调和级数以及3n+1问题的函数图象及函数关系式；3、通过图示的方法发现数列与级数的规律及其极限行为，并体会数列与级数在理论与实际应用中的差距；4、通过上机来增强自己的动手能力及实践创新能力。三、实验环境：学校机房，Mathematica4.0软件四、实验基本理论和方法：1、Mathematica中常用的函数及函数调用的方法；2、对Fabonacci数列、调和级数以及3n+1问题规律的掌握。五、实验的内容、步骤和结果分析内容一：Fibonacci数列练习1、实验内容：分别取N=20，50，100，200，500，观察Fibonacci数列的折线图。Fibonacci数列是否单调增？它是否趋于无穷？它增加的速度是快还是慢？你能否证实你的观察？实验步骤：方法一：画Fibonacci数列的折线图语句1：n20;FibShown_IntegerModulet,i,Fori1,in,i,AppendTot,i,Fibonaccii;ListPlott,PlotJoinedTrue结果：51015201000200030004000图一：N=20时，Fibonacci数列的折线图语句2：n50;FibShown_IntegerModulet,i,Fori1,in,i,AppendTot,i,Fibonaccii;ListPlott,PlotJoinedTrue结果：1020304050110821083108410851086108图二：N=50时，Fibonacci数列的折线图语句3：n100;FibShown_IntegerModulet,i,Fori1,in,i,AppendTot,i,Fibonaccii;ListPlott,PlotJoinedTrue结果：2040608010051016110171.51017210172.51017图三：N=100时，Fibonacci数列的折线图语句4：n200;FibShown_IntegerModulet,i,Fori1,in,i,AppendTot,i,Fibonaccii;ListPlott,PlotJoinedTrue结果：5010015020051033110341.51034210342.5103431034图四：N=200时，Fibonacci数列的折线图语句5：n500;FibShown_IntegerModulet,i,Fori1,in,i,AppendTot,i,Fibonaccii;ListPlott,PlotJoinedTrue结果：10020030040050051085110861.5108621086图五：N=500时，Fibonacci数列的折线图结果分析：从实验得出的五个图像可以看出，Fibonacci数列得变化速度非常快，数列单调递增而且趋于无穷大。n的取值越大，图像越陡峭，即递增越快。方法二：语句1：Fn_:Fn1Fn2;F01;F11;fibTableFi,i,1,20ListPlotfib,PlotStylePointSize0.01ListPlotfib,PlotStyleBlue,PlotJoinedTrue;结果：1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377,610,987,1597,2584,4181,6765,1094651015201000200030004000500060005101520100020003000400050006000语句2：Fn_:Fn1Fn2;F01;F11;fibTableFi,i,1,30ListPlotfib,PlotStylePointSize0.01ListPlotfib,PlotStyleBlue,PlotJoinedTrue结果：1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377,610,987,1597,2584,4181,6765,10946,17711,28657,46368,75025,121393,196418,317811,514229,832040,134626951015202530500001000001500002000002500003000005101520253050000100000150000200000250000300000语句3：Fn_:Fn1Fn2;F01;F11;fibTableFi,i,1,40ListPlotfib,PlotStylePointSize0.01ListPlotfib,PlotStyleBlue,PlotJoinedTrue结果：1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377,610,987,1597,2584,4181,6765,10946,17711,28657,46368,75025,121393,196418,317811,514229,832040,1346269,2178309,3524578,5702887,9227465,14930352,24157817,39088169,63245986,102334155,16558014110203040210641066106810611071.21071.410710203040210641066106810611071.21071.4107结果分析：从实验得出图像可以看出，方法二的结果不太明显，而且运行时间慢，n越大，运行时间越慢。练习2：用直线去拟合（iFilog,），ni,2,1实验内容：分别取N=2000，5000，10000，用直线去拟合数据（nFnlog,），Ni,2,1，由此求数列nF的近似表示。注意观察nFlog的线性项的系数，它与黄金分割数有何联系？实验步骤：语句1：n2000;FibFitn_IntegerModulet,i,Fori1,in,i,AppendTot,i,Fibonaccii;Fitt,1,x,x结果：1.103354101289929104151.65554625780944710412x语句2：n5000;FibFitn_IntegerModulet,i,Fori1,in,i,AppendTot,i,Fibonaccii;Fitt,1,x,x结果：4.0581641353042421010412.435200314448982101038x语句3：n10000;FibFitn_IntegerModulet,i,Fori1,in,i,AppendTot,i,Fibonaccii;Fitt,1,x,x结果：1.7608075452118601020865.282749575266229102082x结果分析：从实验结果可以看出，当给点n的值越大，线性拟合的结果越趋于稳定，而且nFlog的线性项的系数与黄金分割数的和近似等于1。内容二、调和级数熟知，无穷级数11nn（11）当1时收敛，当1时发散，特别地，当1示时，级数（11）称为调和级数。一个令人感兴趣的问题是，调和级数发散到无穷的速度有多快？或者说数列nSn131211趋于无穷的速度有多快？一个直观的方法仍然是画出有点NnSnn,2,1),,(，构成的折线图。练习1：实验内容：首先画出点列))sin(,(ii的函数图象；实验步骤：语句1：n50;PlotListn_IntegerModulet,i,Fori1,in,i,AppendTot,i,Sini;ListPlott,PlotJoinedTrue结果：1020304050-1-0.50.51语句2：n100;PlotListn_IntegerModulet,i,Fori1,in,i,AppendTot,i,Sini;ListPlott,PlotJoinedTrue结果：20406080100-1-0.50.51实验结果分析：从上图可看出，))sin(,(ii的函数图像总在1和-1之间摆动。练习2：实验内容：写出调和级数（11）的部分和。实验步骤：语句1：HamoSumn_Integer,m_IntegerModulei,Sum1i^m,i,1,nHamoSum10,1结果：12m3m4m5m6m7m8m9m10m11m12m13m14m15m16m17m18m19m20m21m22m23m24m25m26m27m28m29m30m31m32m33m34m35m36m37m38m39m40m41m42m43m44m45m46m47m48m49m50m51m52m53m54m55m56m57m58m59m60m61m62m63m64m65m66m67m68m69m70m71m72m73m74m75m76m77m78m79m80m81m82m83m84m85m86m87m88m89m90m91m92m93m94m95m96m97m98m99m100m144666362795203511602215180431041314477112788815009188499086581352357412492142272结果：12m3m4m5m6m7m8m9m10m11m12m13m14m15m16m17m18m19m20m21m22m23m24m25m26m27m28m29m30m31m32m33m34m35m36m37m38m39m40m41m42m43m44m45m46m47m48m49m50m51m52m53m54m55m56m57m58m59m60m61m62m63m64m65m66m67m68m69m70m71m72m73m74m75m76m77m78m79m80m81m82m83m84m85m86m87m88m89m90m91m92m93m94m95m96m97m98m99m100m144666362795203511602215180431041314477112788815009188499086581352357412492142272实验结果分析：以上的是调和级数（11）的部分和。内容三、3n+1问题13n问题的提法是：任给自然数n，如果n是偶数，则将n除2；如果n是奇数，则将n乘3家1，重复上述过程得到一个无穷数列。例如，1248165.上述数列可递归地定义为.13.,21偶数，如果为奇数如果nanaannn结果分析：以上的是级数（13）的部分积，可以看出对n取不同的值，结果误差很大，当n越大时，结果误差越小，即：n越大时，结果越精确。本次上机实验，通过Fibonacci数列、调和级数以及3n+1问题借助计算机图示进行了实验操作，发现了数列与级数的规律。虽然在语句过程中存在语句写错的问题，但是经过不断的分析改正最终达到了预期的效果。通过此次实验复习巩固了以前所学的知识，开阔了数学思维，培养数学素养，同时提升了上机操作能力。