8-弹性力学-第6章6-1至6-6---用有限单元法求平面问题1-6

上堂课第五章主要内容差分公式及应力函数的差分解应力函数差分解的实例最小势能原理位移变分方程及位移变分法第六章有限单元法解平面问题（一）本堂课6-5单元的结点力列阵与劲度矩阵6-4单元的应变列阵和应力列阵6-3单元的位移模式与解答的收敛性6-2有限单元法的概念6-1基本量及基本方程的矩阵表示6-6荷载向结点移置单元的结点荷载列阵有限元法FEM的特点(1)具有通用性和灵活性。首先将连续体变换为离散化结构，然后再利用分片插值技术与虚功原理或变分方法进行求解。是弹性力学的一种近似解法。(2)对同一类问题,可以编制出通用程序,应用计算机进行计算。(3)只要适当加密网格，就可以达到工程要求的精度。基本原理关于有限单元法本章无特别指明,均表示为平面应力问题的公式。采用矩阵表示,可使公式统一、简洁,且便于编制程序。()Txyfff((,),(,))Tuxyvxyd()Txyxyεεγε。Txyyxτσσ)(σ()Tiijjuvuvδ()TixiyjxjyFFFFF1、基本物理量的矩阵表示()Txyfff体力:位移函数:应变:应力:结点位移列阵:结点力列阵:面力:6-1基本量及基本方程的矩阵表示(2)物理方程:(b)σDε21010(c)1001/2μEμμμD2、FEM中应用的方程(a)Tuvuvxyxyε(1)几何方程:应用的方程其中,D为弹性矩阵,对于平面应力问题是:(3)虚功方程:()()TTAdxdyt**δFεσ•为结点虚位移及对应的虚应变。*,*δε其中，3、整体分析。§6-2有限单元法的概念1、结构的离散化；2、单元分析；FEM的分析过程：有限单元法是将连续体变换成为离散化结构，然后再用结构力学解法或变分解法进行求解。即，采用有限自由度的离散单元组合体模型去描述实际具有无限自由度的研究对象，是一种在力学模型上进行近似的数值计算方法。•结构力学研究的对象是离散化结构。如桁架，各单元(杆件)之间除结点铰结外，没有其他联系(图(a))。弹力研究的对象，是连续体(图(b))。1.结构离散化•将连续体变换为离散化结构(图(c))：即将连续体划分为有限多个、有限大小的单元，并使这些单元仅在一些结点处用绞连结起来，构成所谓“离散化结构”。(c)深梁（离散化结构）•图(c)与图(a)相比,两者都是离散化结构；区别是，桁架的单元是杆件，而图(c)的单元是三角形块体（注意:三角形单元内部仍是连续体）。比如：将深梁划分为许多三角形单元，这些单元仅在角点用铰连接起来。(c)深梁（离散化结构）2.单元分析每个三角形单元仍然假定为连续的、均匀的、各向同性的完全弹性体。因单元内部仍是连续体，应按弹性力学方法进行分析。单元分析的基本过程如下：（1）取各结点位移为基本未知量，然后对每个单元,分别求出各物理量,并均用来表示。()(1,2,)Tiiiuviδ(1,2,)iiδ(2)应用插值公式,由单元结点位移,求单元的位移函数Tmjie)(δδδδ((,),(,))Tuxyvxyd.该插值公式称为单元的位移模式,记为edΝδ.(5)应用虚功方程,由单元的应力,求出单元的结点力表示为(4)应用物理方程,由单元的应变,求出单元的应力.eσSδεσ(eeijmFFFFkδ.其中，为结点对单元的作用力，作用于单元，称为结点力，以正标向为正。(TiixiyFFF(3)应用几何方程,由单元的位移函数d,求出单元的应变eεBδ.(6)将每一单元中的各种外荷载,按虚功等效原则移置到结点上,化为结点荷载(.TeLLiLjLmFFFF应力转换矩阵单元刚度矩阵环绕节点i的那些单元移置而来的结点荷载3.整体分析,iF,FLi,(1,2,,)iniLieeFFe周围单元对结点i的作用力（结点力）作用于结点i上的力有：其中,表示对围绕i结点的单元求和。列出各节点的平衡方程，组成整个结构的平衡方程组。结点i的平衡方程为：经过整理，上述平衡方程组可以表示为：LKF整体节点荷载列阵整体节点位移列阵整体节点刚度列阵首先,必须解决由单元的结点位移来求出单元的位移函数Tmjieδδδδ(((,)(,)Tuxyvxyd。§6-3单元的位移模式与解答的收敛性应用插值公式,可由求出位移。该插值公式表示了单元中位移的分布形式,因此称为位移模式（或位移函数）。eδd插值公式(a)在结点应等于结点位移值。由此可列出6个方程式，联立可求出•在结点三角形单元中,可以假定位移分量只是坐标的线性函数,也就是假定：123456,auxyvxy。),,(,mjiyxii,(,,)iiuvijm61~有限元解题的基本思路是先求节点处位移，再由插值求单元中任一点的位移，然后由几何方程求应变，最后由物理方程求应力。将式(a)按未知数归纳为:,,iivu,biijjmmiijjmmuNuNuNuvNvNvNv。或用矩阵表示为:000000iiijmjijmjmmuvNNNuuNNNvvuvedNδ.c()2,(,,)iiiiNabxcyAijm11,,,(,,)11jjjjiiimmmmxyyxabcijmxyyx•N称为形函数矩阵,其非零元素为•其中，A为△ijm的面积(图示坐标系中,i,j,m按逆时针编号),有：imjxyoi11121iijjmmxyAxyxy。•三结点三角形单元的位移模式，略去了2次以上的项，因而其误差量级是且其中只包含了x,y的1次项，所以在单元中Ni的分布如图(a)所示,u,v的分布如图(b)、(c)所示。);(2xo•FEM中以后的一系列工作，都是以位移模式为基础的。当单元趋于很小时，即时，为了使FEM之解逼近于真解（保证FEM收敛性）,位移模式应满足下列条件：0,yx因为当单元尺寸趋于0时，单元中的位移和应变都趋近于基本量－－刚体位移和常量位移。(1)位移模式必须能反映单元的刚体位移（与本单元的形变无关）。(2)位移模式必须能反映单元的常量应变（与坐标无关）。(3)位移模式必须尽可能反映位移的连续性（与本单元的形变无关）。相邻单元在受力以后既不互相脱离，也不互相侵入。充分条件必要条件。xxyvyyxu22,22353564353521,,00xvvyuu可见刚体位移项在式(a)中均已反映。而刚体位移形式为，将式(a)写成123456,auxyvxy。2635,,.xyxy可见常量应变也已反映。在三角形单元内部，位移为连续；在两单元边界ij上，之间均为线性变化，也为连续。ijδδ,对式(a)求应变,得：因此，（a）式给定的位移模式能满足有限单元法的解答在单元的尺寸逐步取小时能够收敛于正确解答的必要和充分条件。§6-4单元的应变列阵和应力列阵•应用几何方程，求出单元的应变列阵：。mmjjiimmjjiivNvNvNvuNuNuNu,()/2(,,)iiiiNabxcyAijm,其中，上节已给出了三角形单元中的位移函数用位移模式表示为()00010002TiiijmjijmjiijjmmmmuvvuxyxyuvbbbucccvAcbcbcbuveεBδ.a,1,11,(,,)1jjimmjimjimxyaxyybyxcijmx11121iijjmmxyAxyxy。()00010002TiiijmjijmjiijjmmmmuvvuxyxyuvbbbucccvAcbcbcbuveεBδ.a)(),(bmjiBBBB)(),,(0021cmjibccbAiiii。iB其中,B称为应变矩阵，用分块矩阵表示，,(d)eeσDεDBδSδ再应用物理方程，求出单元的应力列阵：其中,S称为应力转换矩阵，写成分块形式为,(d)eeσDεDBδSδ(),(e)ijmSSSS2(,,)(f)2(1)1122iiiiiiiibμcEμbcijmμAμμcbSDB.210101001/2μEμμμDD为弹性矩阵（平面应力）：对于平面应变问题，要把上式中的E和µ做如下替换：21,11EE•对于线性位移模式，求导后得到的应变和应力，均成为常量，因此，称为常应变（应力）单元。应变和应力的误差量级是,其精度比位移低一阶，且相邻单元的应力是跳跃式的。•为了提高有限单元法分析的精度，一般可采用两种方法：一是将单元的尺寸减小，以便更好地反映位移和应力的变化情况；二是采用包含更高次项的位移模式，使位移和应力的精度提高。()ox§6-5单元的结点力列阵与劲度矩阵现在来考虑其中一个单元：(2)单元与周围的单元在边界上已没有联系,只在结点i,j,m互相联系。(1)将作用于单元上的各种外荷载,按静力等效原则移置到结点上去,化为等效结点荷载。故单元内已没有外荷载。假想将单元与结点i切开，则：),,(,)(mjiFFTiyixiF),,(,)(mjiFFTiyixiF其数值与相同，而方向相反。iF以沿正坐标向为正。对单元而言,这是作用在其上的“外力”。(1)结点作用于单元上的力，称为结点力，(2)单元作用于结点的力，为：考察已与结点切开后的单元i,j,m，则此单元上作用有外力,即结点力,;)(TmjieFFFF().Txyxyσστσ而其内部有应力作用，应用虚功方程，求单元的结点力：•假设发生一组结点虚位移则单元内任一点(x,y)的虚位移为单元内任一点(x,y)的虚应变为代入虚功方程：在单元中，外力(结点力)在虚位移(结点虚位移)上的虚功，等于应力在虚应变上的虚功，即：,)(e*δ,)(e**δNd,)(e**δBεeF)(σ)(*εe)(*δ(())().aeTTAdxdyt*e*δFεσ,))(())(()(TTeTeTBδδBε***代入其中与x,y无关，故式(a)成为*()e(())(())eTeTAdxdyt*e*TδFδBσ.(())(())eTeTAdxdyt*e*TδFδBσ.因为是独立的任意的虚位移，虚功方程对任意的均应满足，故e)(*δe)(*δ式(b)是应力与结点力之间的一般关系式。TAdxdyteFBσ.beσDεDBδ考虑到下述应力公式式(c)是结点位移与结点力之间的一般关系式，k称为单元的劲（刚）度矩阵.其中,得[]ceTeeAdxdytFBDBδkδdTAdxdytkBDB对于三节点三角形单元，B矩阵内均为常数，而etATkBDBAdxdyA所以iiijimjijjjmmimjmmkkkkkkkkkk2221122=,114(1)22,,,;,,.rsrsrsrslnrsrsrsrsrsrsbbccbccbEtkμAcbbcccbbrsijmlnxyk将B，D的具体表达式代入即得平面应力问题中三结点三角形单元的刚(劲)度矩阵，可写成如下分块矩阵的形式：其中，(1)k是6×6的方阵,k中元素表示仅在单元结点s沿n方向产生单位位移时引起结点r沿l方向的结点力。(2)由反力互等定理，所以k是对称矩阵，以对角线为对称轴。,kkrssr单元劲度矩阵k的性质：(3)当单元作刚体平移时，如三角形内不产生应力和应变，结点力也为0。1,ijmuuu(4)由(3)可导出行列