44东北师大附属中学高三第一轮复习导学案-空间向量及应用(理)B

东北师大附中2012-2013高三数学(文理)第一轮复习导学案068A1空间向量及其应用一、知识梳理1．空间向量的概念向量：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。如位移、速度、力等。相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。表示方法：用有向线段表示，并且同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量。说明：①由相等向量的概念可知，一个向量在空间平移到任何位置，仍与原来的向量相等，用同向且等长的有向线段表示；②平面向量仅限于研究同一平面内的平移，而空间向量研究的是空间的平移。2．向量运算和运算率加法交换率：加法结合率：数乘分配率：说明：①引导学生利用右图验证加法交换率，然后推广到首尾相接的若干向量之和；②向量加法的平行四边形法则在空间仍成立。3．平行向量(共线向量)：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量。平行于记作∥。注意：当我们说、共线时，对应的有向线段所在直线可能是同一直线，也可能是平行直线；当我们说、平行时，也具有同样的意义。共线向量定理：对空间任意两个向量（≠）、，∥的充要条件是存在实数使＝注：⑴上述定理包含两个方面：①性质定理：若∥（≠0），则有＝，baABOAOBbaOBOABA)(RaOP.abba).()(cbacba.)(babaababababaa0babbaababa东北师大附中2012-2013高三数学(文理)第一轮复习导学案068A2其中是唯一确定的实数。②判断定理：若存在唯一实数，使＝（≠0），则有∥（若用此结论判断、所在直线平行，还需（或）上有一点不在（或）上）。⑵对于确定的和，＝表示空间与平行或共线，长度为||，当0时与同向，当0时与反向的所有向量。⑶若直线l∥，，P为l上任一点，O为空间任一点，下面根据上述定理来推导的表达式。推论：如果l为经过已知点A且平行于已知非零向量的直线，那么对任一点O，点P在直线l上的充要条件是存在实数t，满足等式①其中向量叫做直线l的方向向量。在l上取，则①式可化为②当时，点P是线段AB的中点，则③①或②叫做空间直线的向量参数表示式，③是线段AB的中点公式。注意：⑴表示式(﹡)、(﹡﹡)既是表示式①,②的基础，也是常用的直线参数方程的表示形式；⑵推论的用途：解决三点共线问题。⑶结合三角形法则记忆方程。4．向量与平面平行：如果表示向量的有向线段所在直线与平面平行或在平面内，我们就说向量平行于平面，记作∥。注意：向量∥与直线a∥的联系与区别。共面向量：我们把平行于同一平面的向量叫做共面向量。共面向量定理如果两个向量、不共线，则向量与向量、共面的充要条件是存在实数对x、y，使①baaabababbaabaaaaaalAOPaOAOPataaAB.)1(OBtOAtOP21t).(21OBOAOPaaaaaabpab.byaxp东北师大附中2012-2013高三数学(文理)第一轮复习导学案068A3注：与共线向量定理一样，此定理包含性质和判定两个方面。推论：空间一点P位于平面MAB内的充要条件是存在有序实数对x、y，使④或对空间任一定点O，有⑤在平面MAB内，点P对应的实数对（x,y）是唯一的。①式叫做平面MAB的向量表示式。又∵代入⑤，整理得⑥由于对于空间任意一点P，只要满足等式④、⑤、⑥之一（它们只是形式不同的同一等式），点P就在平面MAB内；对于平面MAB内的任意一点P，都满足等式④、⑤、⑥，所以等式④、⑤、⑥都是由不共线的两个向量、（或不共线三点M、A、B）确定的空间平面的向量参数方程，也是M、A、B、P四点共面的充要条件。5．空间向量基本定理：如果三个向量、、不共面，那么对空间任一向量，存在一个唯一的有序实数组x,y,z,使说明：⑴由上述定理知，如果三个向量、、不共面，那么所有空间向量所组成的集合就是，这个集合可看作由向量、、生成的，所以我们把{，，}叫做空间的一个基底，，，都叫做基向量；⑵空间任意三个不共面向量都可以作为空间向量的一个基底；⑶一个基底是指一个向量组，一个基向量是指基底中的某一个向量，二者是相关联的不同的概念；⑷由于可视为与任意非零向量共线。与任意两个非零向量共面，所以，三个向量不共面就隐含着它们都不是。推论：设O、A、B、C是不共面的四点，则对空间任一点P，都存在唯一的有序实数组，使6．数量积,MByMAxMP.MByMAxOMOP.,OMOAMA.,OMOBMB.)1(OByOAxOMyxOPMAMBabc.czbyaxpabcRzyxczbyaxpp、、,|abcabcabc00zyx、、.OCzOByOAxOP东北师大附中2012-2013高三数学(文理)第一轮复习导学案068A4（1）夹角：已知两个非零向量、，在空间任取一点O，作，，则角∠AOB叫做向量与的夹角，记作说明：⑴规定0≤≤,因而=；⑵如果=π2，则称与互相垂直，记作⊥；⑶在表示两个向量的夹角时，要使有向线段的起点重合，注意图（3）、（4）中的两个向量的夹角不同，图（3）中∠AOB=，图（4）中∠AOB=,从而有==.（2）向量的模：表示向量的有向线段的长度叫做向量的长度或模。（3）向量的数量积：叫做向量、的数量积，记作。即=，向量:（4）性质与运算率⑴。⑴⑵⊥=0⑵=abaOAbOBabba，ba，ba，ab，ba，ababOBOA,OBAO,OBOA,OBOA,OBOA,baba,cosabbabababa,cosAB方向上的正射影在eBAeaABea,cos||eaea,cos()()abababbababaAaBaOa（4）AaBaOa（3）ABABelaabaaabaAaBaOa（1）OaaabaaabaAaBa（2）东北师大附中2012-2013高三数学(文理)第一轮复习导学案068A5⑶⑶二、题型探究[题型一]：空间向量的概念及性质例1．有以下命题：①如果向量与任何向量不能构成空间向量的一组基底，那么的关系是不共线；②为空间四点，且向量不构成空间的一个基底，那么点一定共面；③已知向量是空间的一个基底，则向量，也是空间的一个基底。其中正确的命题是（）①②①③②③①②③例2．下列命题正确的是（）若与共线，与共线，则与共线；向量共面就是它们所在的直线共面；零向量没有确定的方向；若，则存在唯一的实数使得；[题型二]：空间向量的基本运算例3．如图：在平行六面体中，为与的交点。若，，，则下列向量中与相等的向量是（）2||.aaa()abcabac,ab,ab,,,OABC,,OAOBOC,,,OABC,,abc,,ababc()A()B()C()D()Aabbcac()B,,abc()C()D//abab1111DCBAABCDM11CA11DBABaADb1AAcBM()A1122abc()B1122abc()C1122abc()Dcba2121东北师大附中2012-2013高三数学(文理)第一轮复习导学案068A6例4．已知：且不共面.若∥,求的值.[题型三]：空间向量的坐标例5．（1）已知两个非零向量=（a1，a2，a3），=（b1，b2，b3），它们平行的充要条件是（）A.：||=：||B.a1·b1=a2·b2=a3·b3C.a1b1+a2b2+a3b3=0D.存在非零实数k，使=k（2）已知向量=（2，4，x），=（2，y，2），若||=6，⊥，则x+y的值是（）A.－3或1B.3或－1C.－3D.1（3）下列各组向量共面的是（）A.=(1，2，3)，=(3，0，2)，=(4，2，5)B.=(1，0，0)，=(0，1，0)，=(0，0，1)C.=(1，1，0)，=(1，0，1)，=(0，1，1)D.=(1，1，1)，=(1，1，0)，=(1，0，1)例6．已知空间三点A（－2，0，2），B（－1，1，2），C（－3，0，4）。设=，=，（1）求和的夹角；（2）若向量k+与k－2互相垂直，求k的值.,28)1(,0423pynmxbpnmapnm,,abyx,abaabbababaababcabcabcabcaABbACababab东北师大附中2012-2013高三数学(文理)第一轮复习导学案068A7[题型四]：数量积例7．(2000江西、山西、天津理，4)设、、c是任意的非零平面向量,且相互不共线,则①（·）－（·）=②||－|||－|③（·）－（·）不与垂直④（3+2）（3－2）=9||2－4||2中，是真命题的有（）A.①②B.②③C.③④D.②④例8．（1）（2002上海文，理2）已知向量和的夹角为120°，且||=2，||=5，则（2－）·=_____.（2）设空间两个不同的单位向量=(x1，y1，0)，=(x2，y2，0)与向量=(1，1，1)的夹角都等于。(1)求x1+y1和x1y1的值；(2)求，的大小(其中0＜，＜π。[题型五]：空间向量的应用例9．（1）已知a、b、c为正数，且a+b+c=1，求证：++≤4。（2）已知F1=i+2j+3k，F2=-2i+3j-k，F3=3i-4j+5k，若F1，F2，F3共同作用于同一物体上，使物体从点M1（1，-2，1）移到点M2(3，1，2)，求物体合力做的功。ababccab0ababbcacabcababababababaabc4abab)113a113b113c3东北师大附中2012-2013高三数学(文理)第一轮复习导学案068A8例10．如图,直三棱柱中,求证:三、方法提升空间直角坐标系，空间向量的坐标表示，空间向量的坐标运算，平行向量，垂直向量坐标之间的关系以及中点公式.空间直角坐标系是选取空间任意一点O和一个单位正交基底｛i，j，k｝建立坐标系，对于O点的选取要既有作图的直观性，而且使各点的坐标，直线的坐标表示简化，要充分利用空间图形中已有的直线的关系和性质；空间向量的坐标运算同平面向量类似，具有类似的运算法则.一个向量在不同空间的表达方式不一样，实质没有改变.因而运算的方法和运算规律结论没变。如向量的数量积a·b=|a|·|b|cosa，b在二维、三维都是这样定义的，不同点仅是向量在不同空间具有不同表达形式.空间两向量平行时同平面两向量平行时表达式不一样，但实质是一致的，即对应坐标成比例，且比值为，对于中点公式要熟记。1．选择、填空题型一般难度不大，用以解决有关长度、夹角、垂直、判断多边形形状等问题。2．向量在空间中的应用在空间坐标系下，通过向量的坐标的表示，运用计算的方法研究三维空间几何图形的性质。在复习过程中，抓住源于课本，高于课本的指导方针。本讲考题大多数是课本的变式题，即源于课本。因此，掌握双基、精通课本是本章关键。四、反思感悟：五、课时作业空间向量与立体几何I卷一、选择题1．点M在z轴上，它与经过坐标原点且方向向量为s＝(1，－1,1)的直线l的距离为6，则点M的坐标是()A．(0,0，±2)B．(0,0，±3)C．(0,0，±3)D．(0,0，±1)2．在空间四边形ABCD中，若，，，则等于(）111CBAABC,,1111CABCABBC.11CAABABaBDbACcCD东北师大附中2012-2013高三数学(文理)第一轮复习导学案068A9A．