5路在何“方”-从三个版本教材比较谈小学数学“方程”教学

1路在何“方”——从三个版本教材比较谈小学数学“方程”教学浙江省温州市瓯海区实验小学孙丹摘要：“方程”是“数和代数”领域中重要的内容。新教材在方程内容编排上与以前老教材有着较大的差别，由此引出了教师教学中的许多困惑。本文从三个不同版本的教材比较入手进行调查，旨在通过调查，了解教师的需求、认识教材的编排特点，并针对这些特点提出一些建议，以便我们的“方程”教学能更好的体现《课标》所倡导的理念。关键词：方程教材教学一、满园春色关不住：研修——“聊”出一个新问题一位同事要参加市课堂教学展示活动，内容是人教版五年级上册《较复杂的方程》。于是“任务驱动式”校本研修活动在这种背景下应运而生，大家就有了关于对“新课程方程教学”的研讨机会。然而，在《较复杂的方程》课堂中我们发现，学生在列方程和解方程这两个环节上“困难重重”，这使我们在研讨时针对方程“用等式的性质解”以及“教材解决问题的编排”这两个问题上产生了争议，更多地还是对教材编排的困惑。问题的缘起还在于2000年3月教育部制订的《九年义务教育全日制小学数学教学大纲（使用修订版）》（以下简称大纲）和2001年教育部制订的《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》（以下简称课标）之间的差异，对比如下：教学理念方程的解法依据《大纲》(原)对于难点，可以采取适当分散，预作准备，多举实例等办法解决。初步掌握加减乘除法算式中各部分之间关系，推导出6条关系式，根据关系式求未知数X《课标》（实验）运用所学知识解决实际问题的过程，避免将运算与应用割裂开来。先学习理解等式的性质，再用等式的性质解简单的方程教材既然是遵循《课标》的理念、要求和建议编写，为什么老师们还会有这么多的困惑？是老师们不理解教材编排的意图，还是教材所体现的理念与《课标》所倡导的理念尚存在距离？带着这些疑问笔者开始走进“方程”方面的调查。二、乱花渐欲迷人眼：比较——“查”出一串新思考调查主要从三个不同版本的教材比较入手，将现行三个不同版本教材（人教版、杭州现代版和苏教版）的“方程”内容编排情况进行比较，同时对使用五年级人教版教材的28名一线老师进行问卷调查与个别访谈。（一）解题依据——“三版本”如出一辙三个版本的教材在现行“方程”编排中均引入“等式的基本性质”，并以此为基础导出解方程的方法。一改以前旧教材中“加减乘除法各部分之间的关系”作为方程变形的依据。这种解题依据也为广大教师所接受，经笔者调查，100%的老师对“利用等式的性质解方全国小数会第十四届年会浙江省送评论文编号：520246810题数例题求解练习判断练习程”表示理解，他们认为无论是中小学数学知识系统的衔接上，还是从中小学数学教材的编排体系上，都可以说是不可否认的创新。因此，完全可以理解教材所提出的有利于加强中小学数学教学的衔接。（二）内容编排——“三版本”各自为营三个版本教材区别最大的是它们的内容编排，一线老师争议最大的也是关于教材的内容编排，主要有以下两点：1.“未知数作为减数或除数”的内容编排从内容编排看（表1），苏教版教材未出现形如a-x=b和a÷x=b的简易方程，人教版教材只在一处“你会自己写出一些方程吗？”出现一题（图2），但没要求学生求出方程的解。而且这两个版本教材也明确指出在小学阶段暂不出现此类方程进行计算求解，依据是小学生还没有学习正负数的四则运算，若利用等式的基本性质解a-x=b，方程变形的过程及其算理解释比较麻烦。至于形如a÷x=b的方程，本质上是分式方程，若依据等式的基本性质解需要先去分母，因此，教材认为同样不适合在小学阶段学习。表1：未知数是减数或除数的方程编排情况图2：人教版只在“举例中”出现一道（P58）现代版教材在编排中出现形如a-x=b和a÷x=b的简易方程共11题（不包括总复习）。其中有1题在解决问题例题中出现，有2题要求学生判断是否是方程，有8题要求学生求出方程的解（图4）。现代版教材虽然出现此类方程，但仅有的一道例题其解法依据是“等式的基本性质”还是另有其法书上没作说明（图3）。图3：现代版（P67例2中解法二）图4：现代版出现形如a-x=b和a÷x=b的方程情况（共三种解法）从使用人教版教材的教师调查来看,有92.9%的老师对教材在小学阶段暂不出现形如a-x=b和a÷x=b的简易方程提出异议，理由是在教学过程中学生利用方程解决问题时，不可能不出现未知数是减数或除数的方程。虽然人教版教材的例题编排力图避免这一情况，但实版本苏教版现代版人教版题数01113际上这种情况不可避免。虽然人教版在教学建议中指出“当需要列出形如a-x=b或a÷x=b的方程时，总可以根据实际问题的数量关系，列成形如x+b=a或bx=a的方程”。但有60.7%的老师认为这样会给学生造成了一定的思维障碍，因为想要学生从几种数量关系中列出一种最佳的能够解决的方程，并避免出现形如a-x=b或a÷x=b的方程难度较大。2.“列方程解决问题”的内容编排虽然三个版本教材均把“简易方程”内容安排在第二学段，但三版本在年级编排和整合编排情况上不尽相同，具体如下：表5：三个版本内容编排比较人教版（均编排在五上）苏教版（编排在五上和六上）现代版（均编排在五上）例题方程的解→解方程解方程（五下）方程的解→解方程解方程x+b=c解方程x+b=c（五下）解方程x+b=c解方程Ax=b解一步方程及其应用（五下）解方程x÷b=c列方程解一步应用题解方程ax+b=cax－b=c及其应用ax－b=c及其应用（六上）解方程ax－bx=c用方程解决问题（一）ax+ab=c及其应用Ax+bx=c及其应用Ax+bx=c及其应用（六上）用方程解决问题（二）（1）年级编排情况人教版和现代版教材的“简易方程”所有内容均编排在五年级上册，苏教版分三个年级编排：四年级（下册）编排“用字母表示数”，五年级（下册）编排“方程的意义、用等式的性质解一步计算方程，列方程解答简单的实际问题”；六年级（上册）编排“类似于ax±b=c、ax±bx=c的方程，并用于解决稍复杂的实际问题”。（2）整合编排情况人教版和苏教版教材为了突出教学与实际生活的联系，将“解方程与列方程解决问题”的内容整合在一起进行编排。特别是形如ax－b=c和Ax+bx=c的较复杂的方程，每道例题都担负着教学列方程和教学解方程的双重任务。人教版教材还唯独出现了形如“ax+ab=c及其应用”的方程内容编排（表5）。现代版教材是将“解方程与列方程解决问题”分开编排的，先编排“解方程”的内容，再编排“列方程解决问题”的内容。现代版虽分开编排，但它在编排“解方程”的内容时却非常注重与现实生活的联系，总是置方程于具体的情境之中（图6），用方程表示直观情境里的相等关系，再让学生求出方程的解，只不过它的重点在于“解方程”，而“列方程解决问题”的重点在于找出数量关系并列出方程（图7）。这样处理同样体现《课标》所倡导的“避免将运算与应用割裂开来”的理念。图6：现代版“解方程”例题（P60）图7：现代版“用方程解决问题”例题（P66—67）4从使用人教版教材的教师调查来看，有71.4%的老师认为人教版这样的整合编排对学生来说难度较大。原因是教学中要把ax看作一个整体进行教学是个难点；找等量关系、列方程又是个难点，两个难点集中在一起很难解决问题。而且它不像苏教版那样分五下和六上循序渐进，而是所有任务都集中在五年级上册一个年段进行教学，这样很容易造成学生对方程的感知认识不够充分。（三）书写格式——“三版本”各有千秋虽然三个版本教材在解题依据上大同小异，但它们书写格式却不相同。图8：人教版方程书写格式（P58）图9：现代版方程书写格式（P60）从图8和图9中可以看出，人教版教材（苏教版同人教版）在解方程过程中两边都写出“同时减去的数”，而现代版教材在解方程过程中只在一边写出“同时减去的数”，可见思路相同，书写格式不同。笔者认为，现代版教材这样的书写格式意义更大，因为这样的书写格式不仅与中学方程教学衔接，还考虑到小学生原有的知识储备。其实在学生原有的知识储备中解方程“x+8=12”大致有以下几种：一是利用加减法的关系；二是观察后找出一个x的值代入方程看看左边是否等于12；三是把12看成8＋4，再利用等式性质从两边减去8；四是直接从两边减去8。所以现代版这样的书写格式使学生的思路更广，思考方法更多，掌握更灵活。但值得一提的是，现代版“较复杂的方程”教学中（图10）如此格式笔者却不敢苟同，要使学生的思路在一步之内完成，较其它两个版本难度显然偏大，很容易出错。倘若作以下改动（图10改为图11），是否更好？图10：现代版（P67例2中解法一）图11：将图10改成以下书写格式5（四）检验方法——“苏教版”独辟蹊径三个版本都非常注重对方程解的过程的检验。但相比较而言，苏教版删繁就简，不像人教版和现代版十分强调格式（图12）。如苏教版五下第4页例4（图13）中指出了解方程的检验方法：“把x＝40代入原方程，看看左右两边是不是相等”，至于检验的过程则不要求写出来。又如苏教版五下第8页例7（图14）的检验不是代入原方程，因为代入原方程只能检验解方程，不能检验列出的方程是否符合实际问题的数量关系。这道题要检验算得的小军跳高成绩是不是比小刚多0.06米，可以利用1.45-1.39、1.39+0.06或者1.45-0.06中的任何一个算式进行检验。检验方程不仅是检验解方程是否正确，而且是检验实际问题的答案是否合理。图12：人教版（五上P58）图13：苏教版（五下P4）图14：苏教版（五下P8）值得一提的是，三个版本的“简易方程”教材编排均没有提到过“估计方程解的过程”，若增加一些估计的内容，是否能做到锦上添花呢？三、立根原在破岩中：建议——“谈”出一些新需求（一）教材——没有最好，只有更好《数学课程标准（修订稿）》已于2007年4月定稿，不久将正式出台。随着修订稿的出台，相信各种版本的教材也会随之相应的进行调整与完善。作为一线教师，很希望我们所用的教材实用、有效，能真正反映《课标》所倡导的基本课程理念。因此，也想对人教版教材的调整与完善谈点我们真实的想法。1.相辅而行——添“加减乘除法各部分关系”解题依据07年4月定稿的《数学课程标准（修订稿）》已经对《数学课程标准（实验稿）》中“理解等式的性质，会用等式的性质解简单方程”进行修改，改为“能理解简单的方程（如3x+2=5,2x-x=3）”。显然，今后利用“等式的性质解方程”已不再是小学生解方程的唯一依据。虽然我们一线老师还没能真正解读《数学课程标准（修订稿）》修改的全部目的，但从学生实际出发，在教学时以“等式的性质”解答方法为重要依据，再以“加减乘除法各部6分关系”解答方法为辅助依据进行教学，与学生原有的知识经验相融合，不能说不是一种好策略。2.返本还原——留“X作为除数或减数的方程”一席之地倘若增添“加减乘除法各部分关系”为方程的解题依据，学生在解决问题时就不会只能选择当前能够计算的思路列方程，可以从不同的角度去思考，列出任何一种数量关系的方程，包括形如a-x=b和a÷x=b的简易方程，也不必要转换就能直接计算出来。这样不仅可以拓展学生的思维，还能使学生的知识更系统，“X作为除数或减数”的方程的存在也显得必要了。3.各得其所——调“解方程和列方程解决问题”合理位置解方程与解决实际问题的有机整合教学体现了《课标》指出的“避免将运算与应用割裂开来”的理念，这是我们大家所希望的。但如果在整合中从学生的实际出发，将教学难点进行分散，要么如苏教版那样分年段进行教学，要么如现代版那样既注重与生活的联系，又在重难点上有所侧重，做到循序渐进，是不是更有利于学生的能力形成呢？4.删繁就简——裁“方程解的过程和检验过程”书写步骤众所周知，就书写习惯来说，都有必要从一开始就强化书写规范，以发挥首次感知先入为主的强势效应，促进良好的书写习惯的形成。但是，一个很现实的问题是，由于它格式繁琐致使很多学生不愿意使用方程，就五年级学生的思维特点来说，在价值观判断上更容易受方程外在的格式繁琐的影响，而忽视方程内在的顺向思维。如果能分别像现代版“解方程的过程书写”和苏教版“检验方程的过程