7.备课资料(3.4.2基本不等式的应用(一))

中鸿智业信息技术有限公司备课资料备用习题1.已知a、b是正实数，试比较an+bn与an-1·b+abn-1的大小解：an+bn-an-1b-abn-1=an-1(a-b)+bn-1(b-a)=(a-b)(an-1-bn-1①当a＞b＞0时，a-b＞0,an-1-bn-1＞0,得(a-b)(an-1-bn-1)＞②当b＞a＞0时，a-b＜0,an-1-bn-1＜0,得（a-b）(an-1-bn-1)＞③当b=a＞0时，（a-b）(an-1-bn-1所以当a≠b时，an+bn＞an-1b+abn-1当a=b时,an+bn=an-1b+abn-12.已知△ABC内接于单位圆，且(1+tanA)(1+tanB)=2，（1）求证:内角C为定值；（2）求△ABC面积的最大值（１）证明：由(1+tanA)(1+tanB)=21+tanAtanB+tanA+tanB=2(1-)tan(1BA)(tanA+taB)=0.∵(tanA+tanB)∴0)tan(11BA，即tan(A+B)=1.∴∠（2）解析：由题意,可得S△AB=21AC×BCsinC=42AC×BC≤42(2BCAC)2.当AC=BC时，S△ABC有最大值，最大值为S△ABC=42(AC)2再作辅助线如图，连结OC、OA，OC交AB于D得AB⊥OC，所以AD=BD=22,CD=1-22AC2=AD2+CD2=2-2,所以S△ABC的最大值=42(AC)2=212－3.一批救灾物资随26辆汽车从某市以xkm/h的速度匀速开往400km处的灾区，为安全起见，每两辆汽车的前后间距不得小于2)20x（km，问这批物资全部到达灾区，最少要多少小时？解析：设全部物资到达灾区所需时间为t小时，由题意可知t相当于：最后一辆车行驶了25个2)20x（+400km所用的时间，因此，10400400252400)20(252xxxxxt.当且中鸿智业信息技术有限公司仅当xx40040025,即x=80时取答：这些汽车以80km/h的速度匀速行驶时，所需时间最少，最少时间是10小时4.如图，为处理含有某种杂质的污水，要制造一个底宽2米的无盖长方体的沉淀箱，污水从A孔流入，经沉淀后从B孔流出，设箱体的长度为a米，高度为b米，已知流出的水中该杂质的质量分数与a、b的乘积ab成反比.现有制箱材料60平方米，问a、b各为多少米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小？(A、B孔面积忽略不计分析：应用题的最值问题，主要是选取适当的变量，再依据题设，建立数学模型(即函数关系式)，由变量和常量之间的关系，选取基本不等式求最值解法一：设y为流出的水中杂质的质量分数，根据题意可知abky,其中k＞0且k是比例系数.依题意要使y最小，只需求ab的最大值.由题设得4b＋2ab＋2a＝６0（a＞0，b＞0），即a＋2b＋ab＝30（a＞0，b＞0），∵a＋2b≥2ab2,∴22·ab＋ab≤30.当且仅当a＝2b时取“＝”，ab有最大值.∴当a＝2b时有22·ab＋ab＝30，即b2＋2b－1５＝0.解之，得b1＝3，b2＝－５（舍去）.∴a＝2b＝６.故当a＝６米，b＝3米时，经沉淀后流出的水中杂质最少解法二：设y为流出的水中杂质的质量分数，由题意可知4b＋2ab＋2a＝６0（a＞0，b＞0），∴a＋2b＋ab＝30（a＞0，b＞0）.∴aab230（0＜a＜30).由题设abky，其中k＞0且k是比例系数，依题只需ab取最大值.∴18264)2(234]264)2[(34264322302kaakaakaakaaakabky.当且仅当a＋2＝264a时取“＝”，即a＝６，b＝3时ab有最大值18.故当a＝６米，b＝3米时经沉淀后流出的水中杂质最少点评：均值不等式在实际问题中的应用相当广泛，解题过程为(1)先构造定值；(2)出现关系式；(3)验证“＝”成立5.如图，在△ABC中，∠Ｃ＝９0°，AC＝3，BＣ＝4，一条直线分△ABＣ的面积为相等的两部分，且夹在AB与BC之间的线段最短，求此线段长分析：本题的关键在于恰当地选取变量表示夹在AB与BC之间的线段EF，同时考虑到题设中鸿智业信息技术有限公司中的等量关系，即S△BＥＦ＝21S△ABＣ，因此，所选变量还应便于求两个三角形的面积，于是考虑设BE＝x，BＦ＝y解：设BＥ＝x，BＦ＝y(0＜x＜4，0＜y＜５），则S△BＥＦ＝21BＥ·BＦsinB＝21xysinB又S△ABＣ＝21BＣ·AＣ＝21×3×4＝６,依题意可知S△BＥＦ＝21S△ABＣ.∴21xysinB＝21×６＝∵53sinBCACB，xy＝10,又54cosABBCB,∴在△BＥＦ中，由余弦定理得ＥＦ2＝BＥ2＋BＦ2－2BＥ·BＦ·cosB＝x2＋y2－2xy·54＝x2＋y2－1６≥2xy－1６＝4，当且仅当x＝y＝10时，等号成立.故此时线段EF的长为点评：本题从求线段的长度问题转化为求函数的最值问题.而求函数最值是不等式的重要应用，当解析式比较复杂时，利用三角函数的有关知识，巧妙地寻求等量关系，合理变形，是我们常用的一惯手法.从而使我们注意到：数形结合思想是中学数学中的一种重要的数学思想方法