7.空间向量在立体几何中的应用答题模板

考情分析利用空间向量证明空间中的线面关系，计算空间的各种角是高考对立体几何的常规考法，它以代数运算代替复杂的空间想象，给解决立体几何带来了鲜活的方法。此类问题多以解答题为主，难度中档偏上，主要考查空间坐标系的建立及空间向量坐标的运算能力及应用能力，运算能力要求较高。［教你快速规范审题］［教你准确规范解题］［教你一个万能模版］“大题规范解答———得全分”系列之（七）空间向量在立体几何中的应用答题模版【典例】（2012安徽高考满分12分）·平面图形ABB1A1C1C如图①所示，其中BB1C1C是矩形，BC＝2，BB1＝4，AB＝AC＝，A1B1＝A1C1＝，现将该平面图形分别沿BC和B1C1折叠，使△ABC与△A1B1C1所在平面都与平面BB1C1C垂直，再分别连接A1A，A1B，A1C，得到如图②所示的空间图形．对此空间图形解答下列问题．(1)证明：AA1⊥BC；(2)求AA1的长；(3)求二面角ABCA1的余弦值．25返回［教你快速规范审题］平面图形ABB1A1C1C如图①所示，其中BB1C1C是矩形，BC＝2，BB1＝4，AB＝AC＝，A1B1＝A1C1＝，现将该平面图形分别沿BC和B1C1折叠，使△ABC与△A1B1C1所在平面都与平面BB1C1C垂直，再分别连接A1A，A1B，A1C，得到如图②所示的空间图形．对此空间图形解答下列问题．(1)证明：AA1⊥BC；(2)求AA1的长；(3)求二面角ABCA1的余弦值．25【审题规范】第一步：审条件，挖解题信息观察条件:四边形BB1C1C是矩形，面BCA⊥面BB1C1C，面A1B1C1⊥面BB1C1C取BC，B1C1的中点D，D1连DD1DD1，B1D1，A1D1两两垂直［教你快速规范审题］平面图形ABB1A1C1C如图①所示，其中BB1C1C是矩形，BC＝2，BB1＝4，AB＝AC＝，A1B1＝A1C1＝，现将该平面图形分别沿BC和B1C1折叠，使△ABC与△A1B1C1所在平面都与平面BB1C1C垂直，再分别连接A1A，A1B，A1C，得到如图②所示的空间图形．对此空间图形解答下列问题．(1)证明：AA1⊥BC；(2)求AA1的长；(3)求二面角ABCA1的余弦值．25【审题规范】第二步：审结论，明解题方向观察结论:(1)证明：AA1⊥BC；(2)求AA1的长；(3)求二面角ABCA1的余弦值．需建立空间直角坐标系正确找出相关点的坐标转化为向量运算问题［教你快速规范审题］平面图形ABB1A1C1C如图①所示，其中BB1C1C是矩形，BC＝2，BB1＝4，AB＝AC＝，A1B1＝A1C1＝，现将该平面图形分别沿BC和B1C1折叠，使△ABC与△A1B1C1所在平面都与平面BB1C1C垂直，再分别连接A1A，A1B，A1C，得到如图②所示的空间图形．对此空间图形解答下列问题．(1)证明：AA1⊥BC；(2)求AA1的长；(3)求二面角ABCA1的余弦值．25建联系，找解题突破口【审题规范】第三步：5242,,1111111111CABAACABBBBCADBDDD，，，两两垂直，所在直线以11111,,ADBDDD轴轴，轴，分别为yxz直角坐标系建立空间正确写出相关点的坐标根据平面法向量的夹角计算证明3201111AAAABCAA得相应结论［教你快速规范审题流程汇总］观察条件:四边形BB1C1C是矩形，面ABC⊥面BB1C1C，面A1B1C1⊥面BB1C1C取BC，B1C1的中点D，D1连DD1DD1，B1D1，A1D1两两垂直观察结论:(1)证明：AA1⊥BC；(2)求AA1的长；(3)求二面角ABCA1的余弦值．需建立空间直角坐标系正确找出相关点的坐标转化为向量运算问题5242,,1111111111CABAACABBBBCADBDDD，，，两两垂直，所在直线以11111,,ADBDDD轴轴，轴，分别为yxz直角坐标系建立空间正确写出相关点的坐标根据平面法向量的夹角计算证明3201111AAAABCAA得相应结论【审题规范】第一步：审条件，挖解题信息【审题规范】第二步：审结论，明解题方向建联系，找解题突破口【审题规范】第三步：…………3分………………6分返回［教你准确规范解题］解：(1)证明：取BC，B1C1的中点分别为D和D1，连接A1D1，DD1，AD.故以D1为坐标原点，可建立如图所示的空间直角坐标系D1－xyz.由题设，可得A1D1＝2，AD＝1.由以上可知AD⊥平面BB1C1C，A1D1⊥平面BB1C1C，于是AD∥A1D1.所以A(0，－1,4)，B(1,0,4)，A1(0,2,0)，C(－1,0,4)，D(0,0,4)，0),002(43011BCAABCAA，，，，，故BCAABCAA11,即因此又由A1B1＝A1C1知，A1D1⊥B1C1.坐标系建立不当，导致推证错误。由BB1C1C为矩形知，DD1⊥B1C1.因为平面BB1C1C⊥平面，所以DD1⊥平面A1B1C1.111ABC返回………8分………11分…………12分［教你准确规范解题］43021，，因为AA5511AAAA，即所以又因为4,2,1,4,2,111BAAC所以001111nBAnCA(3)设平面A1BC的法向量为1,1,11zyxnx1＝0，y1＝2z1x1＋2y1－4z1＝0，x1－2y1＋4z1＝0得令z1＝1，则又因为平面ABC⊥z轴，所以取平面ABC的法向量为(0,0,1)，2n1,2,01，，n5551212121,cosnnnnnn则551-的余弦值为所以二面角ABCA……10分求出cos〈n1，n2〉＝后55不判断二面角的大小直接得出结论从而失误。返回［教你一个万能模版］利用向量解决空间几何问题，一般分为以下几个步骤：第一步：利用条件分析问题，建立恰当的空间坐标系。第二步:结合建系过程与图形，准确地写出相关点的坐标。第三步：利用点的坐标求出相关平面的法向量，若已知某直线垂直某平面，可直接取直线的一个方向向量作为该平面的法向量。第四步：将空间关系转化为向量关系，空间角转化为向量的夹角问题去论证、求解。第五步：结合条件与图形，作出结论（注意角的范围）。第六步：回顾检查建系过程、坐标是否有错及是否忽视了所求角的范围而写错结论。